Theorem m2detleiblem5 21772

Description: Lemma 5 for m2detleib 21778. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem1.n	⊢ 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem1.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
m2detleiblem1.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
m2detleiblem1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem5	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = 1 )

Proof of Theorem m2detleiblem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 10972	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
2		2nn 12046	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		prex 5359	. . . . . . 7 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V
4	3	prid1 4704	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
5		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
6		m2detleiblem1.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
7		m2detleiblem1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = {1, 2}
8	5, 6, 7	symg2bas 18998	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
9	4, 8	eleqtrrid 2848	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ 𝑃)
10	1, 2, 9	mp2an 689	. . . 4 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ 𝑃
11		eleq1 2828	. . . 4 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄 ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ 𝑃))
12	10, 11	mpbiri 257	. . 3 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → 𝑄 ∈ 𝑃)
13		m2detleiblem1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
14		m2detleiblem1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
15		m2detleiblem1.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
16	7, 6, 13, 14, 15	m2detleiblem1 21771	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
17	12, 16	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
18		fveq2 6771	. . . . 5 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}))
19	18	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}))
20		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
21		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
22	7, 5, 6, 20, 21	psgnprfval1 19128	. . . 4 ⊢ ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1
23	19, 22	eqtrdi 2796	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = 1)
24	23	oveq1d 7286	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ) = (1(.g‘𝑅) 1 ))
25		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26	25, 15	ringidcl 19805	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
27	26	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
28		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
29	25, 28	mulg1 18709	. . 3 ⊢ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) → (1(.g‘𝑅) 1 ) = 1 )
30	27, 29	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → (1(.g‘𝑅) 1 ) = 1 )
31	17, 24, 30	3eqtrd 2784	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  Vcvv 3431  {cpr 4569  ⟨cop 4573  ran crn 5591  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  1c1 10873  ℕcn 11973  2c2 12028  Basecbs 16910  ._gcmg 18698  SymGrpcsymg 18972  pmTrspcpmtr 19047  pmSgncpsgn 19095  1_rcur 19735  Ringcrg 19781  ℤRHomczrh 20699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-addf 10951  ax-mulf 10952

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1507  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-tpos 8033  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-oadd 8292  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-dju 9660  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-rp 12730  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-exp 13781  df-fac 13986  df-bc 14015  df-hash 14043  df-word 14216  df-lsw 14264  df-concat 14272  df-s1 14299  df-substr 14352  df-pfx 14382  df-splice 14461  df-reverse 14470  df-s2 14559  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-submnd 18429  df-efmnd 18506  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-mulg 18699  df-subg 18750  df-ghm 18830  df-gim 18873  df-oppg 18948  df-symg 18973  df-pmtr 19048  df-psgn 19097  df-cmn 19386  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-cring 19784  df-rnghom 19957  df-subrg 20020  df-cnfld 20596  df-zring 20669  df-zrh 20703

This theorem is referenced by:  m2detleib  21778