MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2detleiblem5 21772
Description: Lemma 5 for m2detleib 21778. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem1.n 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem1.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem1.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
m2detleiblem1.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
m2detleiblem1.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = 1 )

Proof of Theorem m2detleiblem5
StepHypRef Expression
1 1ex 10972 . . . . 5 1 ∈ V
2 2nn 12046 . . . . 5 2 ∈ ℕ
3 prex 5359 . . . . . . 7 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V
43prid1 4704 . . . . . 6 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
5 eqid 2740 . . . . . . 7 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
6 m2detleiblem1.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
7 m2detleiblem1.n . . . . . . 7 𝑁 = {1, 2}
85, 6, 7symg2bas 18998 . . . . . 6 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
94, 8eleqtrrid 2848 . . . . 5 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ 𝑃)
101, 2, 9mp2an 689 . . . 4 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ 𝑃
11 eleq1 2828 . . . 4 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄𝑃 ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ 𝑃))
1210, 11mpbiri 257 . . 3 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → 𝑄𝑃)
13 m2detleiblem1.y . . . 4 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
14 m2detleiblem1.s . . . 4 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
15 m2detleiblem1.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
167, 6, 13, 14, 15m2detleiblem1 21771 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g𝑅) 1 ))
1712, 16sylan2 593 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g𝑅) 1 ))
18 fveq2 6771 . . . . 5 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}))
1918adantl 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}))
20 eqid 2740 . . . . 5 ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
21 eqid 2740 . . . . 5 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
227, 5, 6, 20, 21psgnprfval1 19128 . . . 4 ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1
2319, 22eqtrdi 2796 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = 1)
2423oveq1d 7286 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g𝑅) 1 ) = (1(.g𝑅) 1 ))
25 eqid 2740 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2625, 15ringidcl 19805 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
2726adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
28 eqid 2740 . . . 4 (.g𝑅) = (.g𝑅)
2925, 28mulg1 18709 . . 3 ( 1 ∈ (Base‘𝑅) → (1(.g𝑅) 1 ) = 1 )
3027, 29syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → (1(.g𝑅) 1 ) = 1 )
3117, 24, 303eqtrd 2784 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  Vcvv 3431  {cpr 4569  cop 4573  ran crn 5591  cfv 6432  (class class class)co 7271  1c1 10873  cn 11973  2c2 12028  Basecbs 16910  .gcmg 18698  SymGrpcsymg 18972  pmTrspcpmtr 19047  pmSgncpsgn 19095  1rcur 19735  Ringcrg 19781  ℤRHomczrh 20699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-addf 10951  ax-mulf 10952
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1507  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-tpos 8033  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-oadd 8292  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-dju 9660  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-rp 12730  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-exp 13781  df-fac 13986  df-bc 14015  df-hash 14043  df-word 14216  df-lsw 14264  df-concat 14272  df-s1 14299  df-substr 14352  df-pfx 14382  df-splice 14461  df-reverse 14470  df-s2 14559  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-submnd 18429  df-efmnd 18506  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-mulg 18699  df-subg 18750  df-ghm 18830  df-gim 18873  df-oppg 18948  df-symg 18973  df-pmtr 19048  df-psgn 19097  df-cmn 19386  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-cring 19784  df-rnghom 19957  df-subrg 20020  df-cnfld 20596  df-zring 20669  df-zrh 20703
This theorem is referenced by:  m2detleib  21778
  Copyright terms: Public domain W3C validator