MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2detleiblem5 21990
Description: Lemma 5 for m2detleib 21996. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem1.n 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem1.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem1.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
m2detleiblem1.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
m2detleiblem1.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = 1 )

Proof of Theorem m2detleiblem5
StepHypRef Expression
1 1ex 11156 . . . . 5 1 ∈ V
2 2nn 12231 . . . . 5 2 ∈ ℕ
3 prex 5390 . . . . . . 7 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V
43prid1 4724 . . . . . 6 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
5 eqid 2733 . . . . . . 7 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
6 m2detleiblem1.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
7 m2detleiblem1.n . . . . . . 7 𝑁 = {1, 2}
85, 6, 7symg2bas 19179 . . . . . 6 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
94, 8eleqtrrid 2841 . . . . 5 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ 𝑃)
101, 2, 9mp2an 691 . . . 4 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ 𝑃
11 eleq1 2822 . . . 4 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄𝑃 ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ 𝑃))
1210, 11mpbiri 258 . . 3 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → 𝑄𝑃)
13 m2detleiblem1.y . . . 4 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
14 m2detleiblem1.s . . . 4 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
15 m2detleiblem1.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
167, 6, 13, 14, 15m2detleiblem1 21989 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g𝑅) 1 ))
1712, 16sylan2 594 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g𝑅) 1 ))
18 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}))
1918adantl 483 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}))
20 eqid 2733 . . . . 5 ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
21 eqid 2733 . . . . 5 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
227, 5, 6, 20, 21psgnprfval1 19309 . . . 4 ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1
2319, 22eqtrdi 2789 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = 1)
2423oveq1d 7373 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g𝑅) 1 ) = (1(.g𝑅) 1 ))
25 eqid 2733 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2625, 15ringidcl 19994 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
2726adantr 482 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
28 eqid 2733 . . . 4 (.g𝑅) = (.g𝑅)
2925, 28mulg1 18888 . . 3 ( 1 ∈ (Base‘𝑅) → (1(.g𝑅) 1 ) = 1 )
3027, 29syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → (1(.g𝑅) 1 ) = 1 )
3117, 24, 303eqtrd 2777 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  {cpr 4589  cop 4593  ran crn 5635  cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057  cn 12158  2c2 12213  Basecbs 17088  .gcmg 18877  SymGrpcsymg 19153  pmTrspcpmtr 19228  pmSgncpsgn 19276  1rcur 19918  Ringcrg 19969  ℤRHomczrh 20916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-word 14409  df-lsw 14457  df-concat 14465  df-s1 14490  df-substr 14535  df-pfx 14565  df-splice 14644  df-reverse 14653  df-s2 14743  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-efmnd 18684  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-gim 19054  df-oppg 19129  df-symg 19154  df-pmtr 19229  df-psgn 19278  df-cmn 19569  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-rnghom 20153  df-subrg 20234  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920
This theorem is referenced by:  m2detleib  21996
  Copyright terms: Public domain W3C validator