Theorem n0p 45476

Description: A polynomial with a nonzero coefficient is not the zero polynomial. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
n0p	⊢ ((𝑃 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) ≠ 0) → 𝑃 ≠ 0𝑝)

Proof of Theorem n0p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (coeff‘𝑃) = (coeff‘0𝑝))
2		coe0 26221	. . . . . . . . 9 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
3	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0}))
4	1, 3	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (coeff‘𝑃) = (ℕ0 × {0}))
5	4	fveq1d 6843	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → ((coeff‘𝑃)‘𝑁) = ((ℕ0 × {0})‘𝑁))
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = 0𝑝) → ((coeff‘𝑃)‘𝑁) = ((ℕ0 × {0})‘𝑁))
7		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		c0ex 11138	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
9	8	fvconst2 7159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘𝑁) = 0)
10	7, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘𝑁) = 0)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = 0𝑝) → ((ℕ0 × {0})‘𝑁) = 0)
12	6, 11	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = 0𝑝) → ((coeff‘𝑃)‘𝑁) = 0)
13	12	3ad2antl2 1188	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) ≠ 0) ∧ 𝑃 = 0𝑝) → ((coeff‘𝑃)‘𝑁) = 0)
14		neneq 2939	. . . . 5 ⊢ (((coeff‘𝑃)‘𝑁) ≠ 0 → ¬ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) = 0)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((coeff‘𝑃)‘𝑁) ≠ 0 ∧ 𝑃 = 0𝑝) → ¬ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) = 0)
16	15	3ad2antl3 1189	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) ≠ 0) ∧ 𝑃 = 0𝑝) → ¬ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) = 0)
17	13, 16	pm2.65da 817	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) ≠ 0) → ¬ 𝑃 = 0𝑝)
18	17	neqned 2940	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) ≠ 0) → 𝑃 ≠ 0𝑝)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {csn 4568   × cxp 5629  ‘cfv 6499  0cc0 11038  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  0_𝑝c0p 25636  Polycply 26149  coeffccoe 26151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-0p 25637  df-ply 26153  df-coe 26155  df-dgr 26156

This theorem is referenced by:  etransc  46711