Theorem n0p 44410

Description: A polynomial with a nonzero coefficient is not the zero polynomial. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
n0p	⊢ ((𝑃 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) ≠ 0) → 𝑃 ≠ 0𝑝)

Proof of Theorem n0p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (coeff‘𝑃) = (coeff‘0𝑝))
2		coe0 26208	. . . . . . . . 9 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
3	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0}))
4	1, 3	eqtrd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (coeff‘𝑃) = (ℕ0 × {0}))
5	4	fveq1d 6902	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → ((coeff‘𝑃)‘𝑁) = ((ℕ0 × {0})‘𝑁))
6	5	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = 0𝑝) → ((coeff‘𝑃)‘𝑁) = ((ℕ0 × {0})‘𝑁))
7		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		c0ex 11244	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
9	8	fvconst2 7220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘𝑁) = 0)
10	7, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘𝑁) = 0)
11	10	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = 0𝑝) → ((ℕ0 × {0})‘𝑁) = 0)
12	6, 11	eqtrd 2767	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = 0𝑝) → ((coeff‘𝑃)‘𝑁) = 0)
13	12	3ad2antl2 1183	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) ≠ 0) ∧ 𝑃 = 0𝑝) → ((coeff‘𝑃)‘𝑁) = 0)
14		neneq 2942	. . . . 5 ⊢ (((coeff‘𝑃)‘𝑁) ≠ 0 → ¬ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) = 0)
15	14	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((((coeff‘𝑃)‘𝑁) ≠ 0 ∧ 𝑃 = 0𝑝) → ¬ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) = 0)
16	15	3ad2antl3 1184	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) ≠ 0) ∧ 𝑃 = 0𝑝) → ¬ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) = 0)
17	13, 16	pm2.65da 815	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) ≠ 0) → ¬ 𝑃 = 0𝑝)
18	17	neqned 2943	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) ≠ 0) → 𝑃 ≠ 0𝑝)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2936  {csn 4630   × cxp 5678  ‘cfv 6551  0cc0 11144  ℕ₀cn0 12508  ℤcz 12594  0_𝑝c0p 25616  Polycply 26136  coeffccoe 26138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-clim 15470  df-rlim 15471  df-sum 15671  df-0p 25617  df-ply 26140  df-coe 26142  df-dgr 26143

This theorem is referenced by:  etransc  45673