Theorem n0p 45616

Description: A polynomial with a nonzero coefficient is not the zero polynomial. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
n0p	⊢ ((𝑃 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) ≠ 0) → 𝑃 ≠ 0𝑝)

Proof of Theorem n0p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (coeff‘𝑃) = (coeff‘0𝑝))
2		coe0 26323	. . . . . . . . 9 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
3	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0}))
4	1, 3	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (coeff‘𝑃) = (ℕ0 × {0}))
5	4	fveq1d 6869	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → ((coeff‘𝑃)‘𝑁) = ((ℕ0 × {0})‘𝑁))
6	5	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = 0𝑝) → ((coeff‘𝑃)‘𝑁) = ((ℕ0 × {0})‘𝑁))
7		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		c0ex 11184	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
9	8	fvconst2 7188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘𝑁) = 0)
10	7, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘𝑁) = 0)
11	10	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = 0𝑝) → ((ℕ0 × {0})‘𝑁) = 0)
12	6, 11	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = 0𝑝) → ((coeff‘𝑃)‘𝑁) = 0)
13	12	3ad2antl2 1201	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) ≠ 0) ∧ 𝑃 = 0𝑝) → ((coeff‘𝑃)‘𝑁) = 0)
14		neneq 2964	. . . . 5 ⊢ (((coeff‘𝑃)‘𝑁) ≠ 0 → ¬ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) = 0)
15	14	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((((coeff‘𝑃)‘𝑁) ≠ 0 ∧ 𝑃 = 0𝑝) → ¬ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) = 0)
16	15	3ad2antl3 1202	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) ≠ 0) ∧ 𝑃 = 0𝑝) → ¬ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) = 0)
17	13, 16	pm2.65da 826	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) ≠ 0) → ¬ 𝑃 = 0𝑝)
18	17	neqned 2965	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑁) ≠ 0) → 𝑃 ≠ 0𝑝)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  {csn 4583   × cxp 5646  ‘cfv 6521  0cc0 11084  ℕ₀cn0 12491  ℤcz 12578  0_𝑝c0p 25738  Polycply 26251  coeffccoe 26253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-inf2 9594  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9456  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-rp 13004  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13812  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15136  df-re 15137  df-im 15138  df-sqrt 15272  df-abs 15273  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-0p 25739  df-ply 26255  df-coe 26257  df-dgr 26258

This theorem is referenced by:  etransc  46848