Theorem omeiunlempt 47099

Description: The outer measure of the indexed union of a countable set is the less than or equal to the extended sum of the outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omeiunlempt.nph	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
omeiunlempt.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omeiunlempt.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omeiunlempt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
omeiunlempt.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐸 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omeiunlempt	⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘𝐸))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem omeiunlempt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omeiunlempt.nph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		nfmpt1 5201	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)
3		omeiunlempt.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
4		omeiunlempt.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
5		omeiunlempt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
6		omeiunlempt.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐸 ⊆ 𝑋)
7	3, 4	unidmex 45635	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
8	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑋 ∈ V)
9		ssexg 5281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐸 ∈ V)
10	6, 8, 9	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐸 ∈ V)
11		elpwg 4560	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐸 ⊆ 𝑋))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐸 ⊆ 𝑋))
13	6, 12	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
14		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)
15	1, 13, 14	fmptdf 7100	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸):𝑍⟶𝒫 𝑋)
16	1, 2, 3, 4, 5, 15	omeiunle 47096	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛)))))
17		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
18	14	fvmpt2 6989	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐸 ∈ V) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛) = 𝐸)
19	17, 10, 18	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛) = 𝐸)
20	19	eqcomd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐸 = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛))
21	1, 20	iuneq2df 45632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸 = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛))
22	21	fveq2d 6873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸) = (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛)))
23	20	fveq2d 6873	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑂‘𝐸) = (𝑂‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛)))
24	1, 23	mpteq2da 5194	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘𝐸)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛))))
25	24	fveq2d 6873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘𝐸))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛)))))
26	22, 25	breq12d 5115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘𝐸))) ↔ (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛))))))
27	16, 26	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘𝐸))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562  Ⅎwnf 1805   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5649  ‘cfv 6523   ≤ cle 11219  ℤ_≥cuz 12841  Σ^{^}csumge0 46941  OutMeascome 47068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-ac2 10422  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-oadd 8443  df-omul 8444  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10074  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14346  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-clim 15517  df-sum 15716  df-sumge0 46942  df-ome 47069

This theorem is referenced by: (None)