Theorem omeiunlempt 42801

Description: The outer measure of the indexed union of a countable set is the less than or equal to the extended sum of the outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omeiunlempt.nph	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
omeiunlempt.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omeiunlempt.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omeiunlempt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
omeiunlempt.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐸 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omeiunlempt	⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘𝐸))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem omeiunlempt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omeiunlempt.nph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		nfmpt1 5163	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)
3		omeiunlempt.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
4		omeiunlempt.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
5		omeiunlempt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
6		omeiunlempt.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐸 ⊆ 𝑋)
7	3, 4	unidmex 41310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
8	7	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑋 ∈ V)
9		ssexg 5226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐸 ∈ V)
10	6, 8, 9	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐸 ∈ V)
11		elpwg 4541	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐸 ⊆ 𝑋))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐸 ⊆ 𝑋))
13	6, 12	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
14		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)
15	1, 13, 14	fmptdf 6880	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸):𝑍⟶𝒫 𝑋)
16	1, 2, 3, 4, 5, 15	omeiunle 42798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛)))))
17		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
18	14	fvmpt2 6778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐸 ∈ V) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛) = 𝐸)
19	17, 10, 18	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛) = 𝐸)
20	19	eqcomd 2827	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐸 = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛))
21	1, 20	iuneq2df 41306	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸 = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛))
22	21	fveq2d 6673	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸) = (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛)))
23	20	fveq2d 6673	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑂‘𝐸) = (𝑂‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛)))
24	1, 23	mpteq2da 5159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘𝐸)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛))))
25	24	fveq2d 6673	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘𝐸))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛)))))
26	22, 25	breq12d 5078	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘𝐸))) ↔ (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛))))))
27	16, 26	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘𝐸))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  𝒫 cpw 4538  ∪ cuni 4837  ∪ ciun 4918   class class class wbr 5065   ↦ cmpt 5145  dom cdm 5554  ‘cfv 6354   ≤ cle 10675  ℤ_≥cuz 12242  Σ^{^}csumge0 42643  OutMeascome 42770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-ac2 9884  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-omul 8106  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-acn 9370  df-ac 9541  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-sum 15042  df-sumge0 42644  df-ome 42771

This theorem is referenced by: (None)