Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omeiunlempt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omeiunlempt 46476
Description: The outer measure of the indexed union of a countable set is the less than or equal to the extended sum of the outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omeiunlempt.nph 𝑛𝜑
omeiunlempt.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omeiunlempt.x 𝑋 = dom 𝑂
omeiunlempt.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
omeiunlempt.e ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐸𝑋)
Assertion
Ref Expression
omeiunlempt (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 𝐸) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂𝐸))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem omeiunlempt
StepHypRef Expression
1 omeiunlempt.nph . . 3 𝑛𝜑
2 nfmpt1 5256 . . 3 𝑛(𝑛𝑍𝐸)
3 omeiunlempt.o . . 3 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
4 omeiunlempt.x . . 3 𝑋 = dom 𝑂
5 omeiunlempt.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
6 omeiunlempt.e . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐸𝑋)
73, 4unidmex 44990 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ V)
87adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑋 ∈ V)
9 ssexg 5329 . . . . . . 7 ((𝐸𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐸 ∈ V)
106, 8, 9syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐸 ∈ V)
11 elpwg 4608 . . . . . 6 (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋𝐸𝑋))
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋𝐸𝑋))
136, 12mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
14 eqid 2735 . . . 4 (𝑛𝑍𝐸) = (𝑛𝑍𝐸)
151, 13, 14fmptdf 7137 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍𝐸):𝑍⟶𝒫 𝑋)
161, 2, 3, 4, 5, 15omeiunle 46473 . 2 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 ((𝑛𝑍𝐸)‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘((𝑛𝑍𝐸)‘𝑛)))))
17 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
1814fvmpt2 7027 . . . . . . 7 ((𝑛𝑍𝐸 ∈ V) → ((𝑛𝑍𝐸)‘𝑛) = 𝐸)
1917, 10, 18syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍𝐸)‘𝑛) = 𝐸)
2019eqcomd 2741 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐸 = ((𝑛𝑍𝐸)‘𝑛))
211, 20iuneq2df 44986 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 𝐸 = 𝑛𝑍 ((𝑛𝑍𝐸)‘𝑛))
2221fveq2d 6911 . . 3 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 𝐸) = (𝑂 𝑛𝑍 ((𝑛𝑍𝐸)‘𝑛)))
2320fveq2d 6911 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑂𝐸) = (𝑂‘((𝑛𝑍𝐸)‘𝑛)))
241, 23mpteq2da 5246 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑂𝐸)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘((𝑛𝑍𝐸)‘𝑛))))
2524fveq2d 6911 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂𝐸))) = (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘((𝑛𝑍𝐸)‘𝑛)))))
2622, 25breq12d 5161 . 2 (𝜑 → ((𝑂 𝑛𝑍 𝐸) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂𝐸))) ↔ (𝑂 𝑛𝑍 ((𝑛𝑍𝐸)‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘((𝑛𝑍𝐸)‘𝑛))))))
2716, 26mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 𝐸) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963  𝒫 cpw 4605   cuni 4912   ciun 4996   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cfv 6563  cle 11294  cuz 12876  Σ^csumge0 46318  OutMeascome 46445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-sumge0 46319  df-ome 46446
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator