Theorem omeiunlempt 43948

Description: The outer measure of the indexed union of a countable set is the less than or equal to the extended sum of the outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omeiunlempt.nph	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
omeiunlempt.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omeiunlempt.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omeiunlempt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
omeiunlempt.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐸 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omeiunlempt	⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘𝐸))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem omeiunlempt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omeiunlempt.nph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		nfmpt1 5178	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)
3		omeiunlempt.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
4		omeiunlempt.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
5		omeiunlempt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
6		omeiunlempt.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐸 ⊆ 𝑋)
7	3, 4	unidmex 42487	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑋 ∈ V)
9		ssexg 5242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐸 ∈ V)
10	6, 8, 9	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐸 ∈ V)
11		elpwg 4533	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐸 ⊆ 𝑋))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐸 ⊆ 𝑋))
13	6, 12	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
14		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)
15	1, 13, 14	fmptdf 6973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸):𝑍⟶𝒫 𝑋)
16	1, 2, 3, 4, 5, 15	omeiunle 43945	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛)))))
17		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
18	14	fvmpt2 6868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐸 ∈ V) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛) = 𝐸)
19	17, 10, 18	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛) = 𝐸)
20	19	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐸 = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛))
21	1, 20	iuneq2df 42483	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸 = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛))
22	21	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸) = (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛)))
23	20	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑂‘𝐸) = (𝑂‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛)))
24	1, 23	mpteq2da 5168	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘𝐸)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛))))
25	24	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘𝐸))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛)))))
26	22, 25	breq12d 5083	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘𝐸))) ↔ (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)‘𝑛))))))
27	16, 26	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘𝐸))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1787   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  ∪ cuni 4836  ∪ ciun 4921   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ‘cfv 6418   ≤ cle 10941  ℤ_≥cuz 12511  Σ^{^}csumge0 43790  OutMeascome 43917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-ac2 10150  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-ac 9803  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-sumge0 43791  df-ome 43918

This theorem is referenced by: (None)