Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omeiunlempt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omeiunlempt 45222
Description: The outer measure of the indexed union of a countable set is the less than or equal to the extended sum of the outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omeiunlempt.nph β„²π‘›πœ‘
omeiunlempt.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
omeiunlempt.x 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
omeiunlempt.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘)
omeiunlempt.e ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐸 βŠ† 𝑋)
Assertion
Ref Expression
omeiunlempt (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜πΈ))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem omeiunlempt
StepHypRef Expression
1 omeiunlempt.nph . . 3 β„²π‘›πœ‘
2 nfmpt1 5255 . . 3 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)
3 omeiunlempt.o . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
4 omeiunlempt.x . . 3 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
5 omeiunlempt.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘)
6 omeiunlempt.e . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐸 βŠ† 𝑋)
73, 4unidmex 43722 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
87adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑋 ∈ V)
9 ssexg 5322 . . . . . . 7 ((𝐸 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ 𝐸 ∈ V)
106, 8, 9syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐸 ∈ V)
11 elpwg 4604 . . . . . 6 (𝐸 ∈ V β†’ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐸 βŠ† 𝑋))
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐸 βŠ† 𝑋))
136, 12mpbird 256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
14 eqid 2732 . . . 4 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)
151, 13, 14fmptdf 7113 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸):π‘βŸΆπ’« 𝑋)
161, 2, 3, 4, 5, 15omeiunle 45219 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›)))))
17 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
1814fvmpt2 7006 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐸 ∈ V) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›) = 𝐸)
1917, 10, 18syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›) = 𝐸)
2019eqcomd 2738 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐸 = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›))
211, 20iuneq2df 43718 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸 = βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›))
2221fveq2d 6892 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸) = (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›)))
2320fveq2d 6892 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘‚β€˜πΈ) = (π‘‚β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›)))
241, 23mpteq2da 5245 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜πΈ)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›))))
2524fveq2d 6892 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜πΈ))) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›)))))
2622, 25breq12d 5160 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜πΈ))) ↔ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›))))))
2716, 26mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜πΈ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  β€˜cfv 6540   ≀ cle 11245  β„€β‰₯cuz 12818  Ξ£^csumge0 45064  OutMeascome 45191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-sumge0 45065  df-ome 45192
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator