Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omeiunlempt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omeiunlempt 44835
Description: The outer measure of the indexed union of a countable set is the less than or equal to the extended sum of the outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omeiunlempt.nph β„²π‘›πœ‘
omeiunlempt.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
omeiunlempt.x 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
omeiunlempt.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘)
omeiunlempt.e ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐸 βŠ† 𝑋)
Assertion
Ref Expression
omeiunlempt (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜πΈ))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem omeiunlempt
StepHypRef Expression
1 omeiunlempt.nph . . 3 β„²π‘›πœ‘
2 nfmpt1 5218 . . 3 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)
3 omeiunlempt.o . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
4 omeiunlempt.x . . 3 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
5 omeiunlempt.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘)
6 omeiunlempt.e . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐸 βŠ† 𝑋)
73, 4unidmex 43332 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
87adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑋 ∈ V)
9 ssexg 5285 . . . . . . 7 ((𝐸 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ 𝐸 ∈ V)
106, 8, 9syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐸 ∈ V)
11 elpwg 4568 . . . . . 6 (𝐸 ∈ V β†’ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐸 βŠ† 𝑋))
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐸 βŠ† 𝑋))
136, 12mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
14 eqid 2737 . . . 4 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)
151, 13, 14fmptdf 7070 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸):π‘βŸΆπ’« 𝑋)
161, 2, 3, 4, 5, 15omeiunle 44832 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›)))))
17 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
1814fvmpt2 6964 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐸 ∈ V) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›) = 𝐸)
1917, 10, 18syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›) = 𝐸)
2019eqcomd 2743 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐸 = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›))
211, 20iuneq2df 43328 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸 = βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›))
2221fveq2d 6851 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸) = (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›)))
2320fveq2d 6851 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘‚β€˜πΈ) = (π‘‚β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›)))
241, 23mpteq2da 5208 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜πΈ)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›))))
2524fveq2d 6851 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜πΈ))) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›)))))
2622, 25breq12d 5123 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜πΈ))) ↔ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐸)β€˜π‘›))))))
2716, 26mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐸) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜πΈ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  βˆͺ cuni 4870  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  β€˜cfv 6501   ≀ cle 11197  β„€β‰₯cuz 12770  Ξ£^csumge0 44677  OutMeascome 44804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-ac2 10406  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-ac 10059  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-sumge0 44678  df-ome 44805
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator