Theorem ontanhsq 51145

Description: Hyperbolic tangent/secant identity: 1 - tanh^2 = sech^2 (or 1 / cosh^2). (Contributed by Jon Pennant, 27-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ontanhsq	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cosh‘𝐴) ≠ 0) → (1 − ((tanh‘𝐴)↑2)) = (1 / ((cosh‘𝐴)↑2)))

Proof of Theorem ontanhsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tanhval 51131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cosh‘𝐴) ≠ 0) → (tanh‘𝐴) = ((sinh‘𝐴) / (cosh‘𝐴)))
2	1	oveq1d 7461	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cosh‘𝐴) ≠ 0) → ((tanh‘𝐴)↑2) = (((sinh‘𝐴) / (cosh‘𝐴))↑2))
3	2	oveq2d 7462	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cosh‘𝐴) ≠ 0) → (1 − ((tanh‘𝐴)↑2)) = (1 − (((sinh‘𝐴) / (cosh‘𝐴))↑2)))
4		coshcl 51128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cosh‘𝐴) ∈ ℂ)
5	4	sqcld 14317	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cosh‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cosh‘𝐴) ≠ 0) → ((cosh‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
7		sqne0 14296	. . . . . . . 8 ⊢ ((cosh‘𝐴) ∈ ℂ → (((cosh‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (cosh‘𝐴) ≠ 0))
8	4, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cosh‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (cosh‘𝐴) ≠ 0))
9	8	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cosh‘𝐴) ≠ 0) → ((cosh‘𝐴)↑2) ≠ 0)
10	6, 9	dividd 12121	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cosh‘𝐴) ≠ 0) → (((cosh‘𝐴)↑2) / ((cosh‘𝐴)↑2)) = 1)
11	10	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cosh‘𝐴) ≠ 0) → 1 = (((cosh‘𝐴)↑2) / ((cosh‘𝐴)↑2)))
12		sinhcl 51124	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sinh‘𝐴) ∈ ℂ)
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cosh‘𝐴) ≠ 0) → (sinh‘𝐴) ∈ ℂ)
14	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cosh‘𝐴) ≠ 0) → (cosh‘𝐴) ∈ ℂ)
15		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cosh‘𝐴) ≠ 0) → (cosh‘𝐴) ≠ 0)
16	13, 14, 15	sqdivd 14332	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cosh‘𝐴) ≠ 0) → (((sinh‘𝐴) / (cosh‘𝐴))↑2) = (((sinh‘𝐴)↑2) / ((cosh‘𝐴)↑2)))
17	11, 16	oveq12d 7464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cosh‘𝐴) ≠ 0) → (1 − (((sinh‘𝐴) / (cosh‘𝐴))↑2)) = ((((cosh‘𝐴)↑2) / ((cosh‘𝐴)↑2)) − (((sinh‘𝐴)↑2) / ((cosh‘𝐴)↑2))))
18	13	sqcld 14317	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cosh‘𝐴) ≠ 0) → ((sinh‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
19	6, 18, 6, 9	divsubdird 12162	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cosh‘𝐴) ≠ 0) → ((((cosh‘𝐴)↑2) − ((sinh‘𝐴)↑2)) / ((cosh‘𝐴)↑2)) = ((((cosh‘𝐴)↑2) / ((cosh‘𝐴)↑2)) − (((sinh‘𝐴)↑2) / ((cosh‘𝐴)↑2))))
20		coshsinhsq 51144	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cosh‘𝐴)↑2) − ((sinh‘𝐴)↑2)) = 1)
21	20	oveq1d 7461	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((cosh‘𝐴)↑2) − ((sinh‘𝐴)↑2)) / ((cosh‘𝐴)↑2)) = (1 / ((cosh‘𝐴)↑2)))
22	21	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cosh‘𝐴) ≠ 0) → ((((cosh‘𝐴)↑2) − ((sinh‘𝐴)↑2)) / ((cosh‘𝐴)↑2)) = (1 / ((cosh‘𝐴)↑2)))
23	17, 19, 22	3eqtr2d 2804	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cosh‘𝐴) ≠ 0) → (1 − (((sinh‘𝐴) / (cosh‘𝐴))↑2)) = (1 / ((cosh‘𝐴)↑2)))
24	3, 23	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cosh‘𝐴) ≠ 0) → (1 − ((tanh‘𝐴)↑2)) = (1 / ((cosh‘𝐴)↑2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  0cc0 11230  1c1 11231   − cmin 11571   / cdiv 12003  2c2 12427  ↑cexp 14234  sinhcsinh 51113  coshccosh 51114  tanhctanh 51115

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-ico 13512  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-seq 14175  df-exp 14235  df-fac 14448  df-bc 14477  df-hash 14505  df-shft 15252  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-limsup 15670  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886  df-ef 16265  df-sin 16267  df-cos 16268  df-sinh 51116  df-cosh 51117  df-tanh 51118

This theorem is used by: (None)