Theorem opsrso 22100

Description: The ordered power series structure is a totally ordered set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrso.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrso.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Toset)
opsrso.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrso.w	⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
opsrso.l	⊢ ≤ = (lt‘𝑂)
opsrso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
opsrso	⊢ (𝜑 → ≤ Or 𝐵)

Proof of Theorem opsrso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrso.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
2		opsrso.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		opsrso.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Toset)
4		opsrso.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
5		opsrso.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
6	1, 2, 3, 4, 5	opsrtos 22099	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Toset)
7		opsrso.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
8		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
9		opsrso.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (lt‘𝑂)
10	7, 8, 9	tosso 18477	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ Toset → (𝑂 ∈ Toset ↔ ( ≤ Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ (le‘𝑂))))
11	10	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ Toset → ( ≤ Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ (le‘𝑂)))
12	6, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ≤ Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ (le‘𝑂)))
13	12	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → ≤ Or 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963   I cid 5582   Or wor 5596   We wwe 5640   × cxp 5687   ↾ cres 5691  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  ltcplt 18366  Tosetctos 18474   ordPwSer copws 21946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-seqom 8487  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-oexp 8511  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-cnf 9700  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-ple 17318  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-toset 18475  df-psr 21947  df-ltbag 21950  df-opsr 21951

This theorem is referenced by: (None)