Theorem opsrso 21965

Description: The ordered power series structure is a totally ordered set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrso.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrso.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Toset)
opsrso.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrso.w	⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
opsrso.l	⊢ ≤ = (lt‘𝑂)
opsrso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
opsrso	⊢ (𝜑 → ≤ Or 𝐵)

Proof of Theorem opsrso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrso.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
2		opsrso.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		opsrso.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Toset)
4		opsrso.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
5		opsrso.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
6	1, 2, 3, 4, 5	opsrtos 21964	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Toset)
7		opsrso.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
8		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
9		opsrso.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (lt‘𝑂)
10	7, 8, 9	tosso 18378	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ Toset → (𝑂 ∈ Toset ↔ ( ≤ Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ (le‘𝑂))))
11	10	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ Toset → ( ≤ Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ (le‘𝑂)))
12	6, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ≤ Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ (le‘𝑂)))
13	12	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → ≤ Or 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   I cid 5532   Or wor 5545   We wwe 5590   × cxp 5636   ↾ cres 5640  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  lecple 17227  ltcplt 18269  Tosetctos 18375   ordPwSer copws 21817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-seqom 8416  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-oexp 8440  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-cnf 9615  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-ple 17240  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-toset 18376  df-psr 21818  df-ltbag 21821  df-opsr 21822

This theorem is referenced by: (None)