Theorem coe1sclmulval 49633

Description: The value of the coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a scalar. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sclmulval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1sclmulval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sclmulval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1sclmulval.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
coe1sclmulval.s	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠 ‘𝑃)
coe1sclmulval.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
coe1sclmulval.u	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1sclmulval	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑌𝑆𝑍))‘𝑁) = (𝑌 · ((coe1‘𝑍)‘𝑁)))

Proof of Theorem coe1sclmulval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simp2l 1218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐾)
3		simp2r 1219	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		coe1sclmulval.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		coe1sclmulval.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		coe1sclmulval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
8		coe1sclmulval.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠 ‘𝑃)
9		coe1sclmulval.t	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
10		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
11		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
12		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	ply1sclrmsm 49632	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (((algSc‘𝑃)‘𝑌) ∙ 𝑍) = (𝑌𝑆𝑍))
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((algSc‘𝑃)‘𝑌) ∙ 𝑍) = (𝑌𝑆𝑍))
15	14	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑌𝑆𝑍) = (((algSc‘𝑃)‘𝑌) ∙ 𝑍))
16	15	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝑌𝑆𝑍)) = (coe1‘(((algSc‘𝑃)‘𝑌) ∙ 𝑍)))
17	16	fveq1d 6892	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑌𝑆𝑍))‘𝑁) = ((coe1‘(((algSc‘𝑃)‘𝑌) ∙ 𝑍))‘𝑁))
18		coe1sclmulval.u	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19	5, 6, 4, 12, 9, 18	coe1sclmulfv 22611	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(((algSc‘𝑃)‘𝑌) ∙ 𝑍))‘𝑁) = (𝑌 · ((coe1‘𝑍)‘𝑁)))
20	17, 19	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑌𝑆𝑍))‘𝑁) = (𝑌 · ((coe1‘𝑍)‘𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℕ₀cn0 12613  Basecbs 17396  ._rcmulr 17438   ·_𝑠 cvsca 17441  ._gcmg 19286  mulGrpcmgp 20369  Ringcrg 20468  algSccascl 22169  var₁cv1 22503  Poly₁cpl1 22504  coe₁cco1 22505

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-sup 9441  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-hash 14482  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-prds 17627  df-pws 17629  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-mulg 19287  df-subg 19342  df-ghm 19437  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-subrng 20807  df-subrg 20831  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-ascl 22172  df-psr 22226  df-mvr 22227  df-mpl 22228  df-opsr 22230  df-psr1 22507  df-vr1 22508  df-ply1 22509  df-coe1 22510

This theorem is used by: (None)