Theorem coe1sclmulval 49165

Description: The value of the coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a scalar. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sclmulval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1sclmulval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sclmulval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1sclmulval.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
coe1sclmulval.s	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠 ‘𝑃)
coe1sclmulval.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
coe1sclmulval.u	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1sclmulval	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑌𝑆𝑍))‘𝑁) = (𝑌 · ((coe1‘𝑍)‘𝑁)))

Proof of Theorem coe1sclmulval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simp2l 1218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐾)
3		simp2r 1219	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		coe1sclmulval.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		coe1sclmulval.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		coe1sclmulval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
8		coe1sclmulval.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠 ‘𝑃)
9		coe1sclmulval.t	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
10		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
11		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
12		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	ply1sclrmsm 49164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (((algSc‘𝑃)‘𝑌) ∙ 𝑍) = (𝑌𝑆𝑍))
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((algSc‘𝑃)‘𝑌) ∙ 𝑍) = (𝑌𝑆𝑍))
15	14	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑌𝑆𝑍) = (((algSc‘𝑃)‘𝑌) ∙ 𝑍))
16	15	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝑌𝑆𝑍)) = (coe1‘(((algSc‘𝑃)‘𝑌) ∙ 𝑍)))
17	16	fveq1d 6883	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑌𝑆𝑍))‘𝑁) = ((coe1‘(((algSc‘𝑃)‘𝑌) ∙ 𝑍))‘𝑁))
18		coe1sclmulval.u	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19	5, 6, 4, 12, 9, 18	coe1sclmulfv 22444	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(((algSc‘𝑃)‘𝑌) ∙ 𝑍))‘𝑁) = (𝑌 · ((coe1‘𝑍)‘𝑁)))
20	17, 19	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑌𝑆𝑍))‘𝑁) = (𝑌 · ((coe1‘𝑍)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℕ₀cn0 12499  Basecbs 17264  ._rcmulr 17306   ·_𝑠 cvsca 17309  ._gcmg 19128  mulGrpcmgp 20211  Ringcrg 20310  algSccascl 22002  var₁cv1 22336  Poly₁cpl1 22337  coe₁cco1 22338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-ascl 22005  df-psr 22059  df-mvr 22060  df-mpl 22061  df-opsr 22063  df-psr1 22340  df-vr1 22341  df-ply1 22342  df-coe1 22343

This theorem is referenced by: (None)