Theorem coe1sclmulval 46714

Description: The value of the coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a scalar. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sclmulval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1sclmulval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sclmulval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1sclmulval.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
coe1sclmulval.s	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠 ‘𝑃)
coe1sclmulval.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
coe1sclmulval.u	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1sclmulval	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑌𝑆𝑍))‘𝑁) = (𝑌 · ((coe1‘𝑍)‘𝑁)))

Proof of Theorem coe1sclmulval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simp2l 1199	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐾)
3		simp2r 1200	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		coe1sclmulval.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		coe1sclmulval.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		coe1sclmulval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
8		coe1sclmulval.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠 ‘𝑃)
9		coe1sclmulval.t	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
10		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
11		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
12		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	ply1sclrmsm 46712	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (((algSc‘𝑃)‘𝑌) ∙ 𝑍) = (𝑌𝑆𝑍))
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((algSc‘𝑃)‘𝑌) ∙ 𝑍) = (𝑌𝑆𝑍))
15	14	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑌𝑆𝑍) = (((algSc‘𝑃)‘𝑌) ∙ 𝑍))
16	15	fveq2d 6882	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝑌𝑆𝑍)) = (coe1‘(((algSc‘𝑃)‘𝑌) ∙ 𝑍)))
17	16	fveq1d 6880	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑌𝑆𝑍))‘𝑁) = ((coe1‘(((algSc‘𝑃)‘𝑌) ∙ 𝑍))‘𝑁))
18		coe1sclmulval.u	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19	5, 6, 4, 12, 9, 18	coe1sclmulfv 21736	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(((algSc‘𝑃)‘𝑌) ∙ 𝑍))‘𝑁) = (𝑌 · ((coe1‘𝑍)‘𝑁)))
20	17, 19	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑌𝑆𝑍))‘𝑁) = (𝑌 · ((coe1‘𝑍)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  ℕ₀cn0 12454  Basecbs 17126  ._rcmulr 17180   ·_𝑠 cvsca 17183  ._gcmg 18922  mulGrpcmgp 19946  Ringcrg 20014  algSccascl 21340  var₁cv1 21629  Poly₁cpl1 21630  coe₁cco1 21631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-sup 9419  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-hash 14273  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-prds 17375  df-pws 17377  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-mhm 18647  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-mulg 18923  df-subg 18975  df-ghm 19056  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-subrg 20310  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-ascl 21343  df-psr 21393  df-mvr 21394  df-mpl 21395  df-opsr 21397  df-psr1 21633  df-vr1 21634  df-ply1 21635  df-coe1 21636

This theorem is referenced by: (None)