MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxmslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsxmslem1 24453
Description: Lemma for prdsms 24456. The distance function of a product structure is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsxms.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsxms.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
prdsxms.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
prdsxms.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
prdsxms.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsxms.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢∞MetSp)
Assertion
Ref Expression
prdsxmslem1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))

Proof of Theorem prdsxmslem1
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . 3 (𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜))) = (𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))
2 eqid 2725 . . 3 (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜))))
3 eqid 2725 . . 3 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))
4 eqid 2725 . . 3 ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))) = ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
5 eqid 2725 . . 3 (distβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))) = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜))))
6 prdsxms.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
7 prdsxms.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
8 prdsxms.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢∞MetSp)
98ffvelcdmda 7088 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘˜) ∈ ∞MetSp)
103, 4xmsxmet 24378 . . . 4 ((π‘…β€˜π‘˜) ∈ ∞MetSp β†’ ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
119, 10syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11prdsxmet 24291 . 2 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜))))))
13 prdsxms.d . . 3 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
14 prdsxms.y . . . . 5 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
158feqmptd 6961 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))
1615oveq2d 7431 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜))))
1714, 16eqtrid 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜))))
1817fveq2d 6895 . . 3 (πœ‘ β†’ (distβ€˜π‘Œ) = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))))
1913, 18eqtrid 2777 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))))
20 prdsxms.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
2117fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))))
2220, 21eqtrid 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))))
2322fveq2d 6895 . 2 (πœ‘ β†’ (∞Metβ€˜π΅) = (∞Metβ€˜(Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜))))))
2412, 19, 233eltr4d 2840 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Fincfn 8960  Basecbs 17177  distcds 17239  Xscprds 17424  βˆžMetcxmet 21266  βˆžMetSpcxms 24239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-icc 13361  df-fz 13515  df-struct 17113  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-hom 17254  df-cco 17255  df-topgen 17422  df-prds 17426  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-xms 24242
This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  24454  prdsxms  24455
  Copyright terms: Public domain W3C validator