MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxmslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsxmslem1 24455
Description: Lemma for prdsms 24458. The distance function of a product structure is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsxms.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsxms.s (𝜑𝑆𝑊)
prdsxms.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
prdsxms.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsxms.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsxms.r (𝜑𝑅:𝐼⟶∞MetSp)
Assertion
Ref Expression
prdsxmslem1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))

Proof of Theorem prdsxmslem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . 3 (𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))) = (𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))
2 eqid 2727 . . 3 (Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))) = (Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))
3 eqid 2727 . . 3 (Base‘(𝑅𝑘)) = (Base‘(𝑅𝑘))
4 eqid 2727 . . 3 ((dist‘(𝑅𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅𝑘)) × (Base‘(𝑅𝑘)))) = ((dist‘(𝑅𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅𝑘)) × (Base‘(𝑅𝑘))))
5 eqid 2727 . . 3 (dist‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))) = (dist‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))
6 prdsxms.s . . 3 (𝜑𝑆𝑊)
7 prdsxms.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
8 prdsxms.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶∞MetSp)
98ffvelcdmda 7097 . . 3 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑅𝑘) ∈ ∞MetSp)
103, 4xmsxmet 24380 . . . 4 ((𝑅𝑘) ∈ ∞MetSp → ((dist‘(𝑅𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅𝑘)) × (Base‘(𝑅𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(𝑅𝑘))))
119, 10syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘𝐼) → ((dist‘(𝑅𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅𝑘)) × (Base‘(𝑅𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(𝑅𝑘))))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11prdsxmet 24293 . 2 (𝜑 → (dist‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))))
13 prdsxms.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
14 prdsxms.y . . . . 5 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
158feqmptd 6970 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))
1615oveq2d 7440 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))
1714, 16eqtrid 2779 . . . 4 (𝜑𝑌 = (𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))
1817fveq2d 6904 . . 3 (𝜑 → (dist‘𝑌) = (dist‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))))
1913, 18eqtrid 2779 . 2 (𝜑𝐷 = (dist‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))))
20 prdsxms.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
2117fveq2d 6904 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))))
2220, 21eqtrid 2779 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))))
2322fveq2d 6904 . 2 (𝜑 → (∞Met‘𝐵) = (∞Met‘(Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))))
2412, 19, 233eltr4d 2843 1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cmpt 5233   × cxp 5678  cres 5682  wf 6547  cfv 6551  (class class class)co 7424  Fincfn 8968  Basecbs 17185  distcds 17247  Xscprds 17432  ∞Metcxmet 21269  ∞MetSpcxms 24241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-icc 13369  df-fz 13523  df-struct 17121  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-hom 17262  df-cco 17263  df-topgen 17430  df-prds 17434  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-xms 24244
This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  24456  prdsxms  24457
  Copyright terms: Public domain W3C validator