Theorem prdsxmslem1 24685

Description: Lemma for prdsms 24688. The distance function of a product structure is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsxms.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsxms.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
prdsxms.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
prdsxms.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsxms.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsxms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶∞MetSp)

Assertion

Ref	Expression
prdsxmslem1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))

Proof of Theorem prdsxmslem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))) = (𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))) = (Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑘)) = (Base‘(𝑅‘𝑘))
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((dist‘(𝑅‘𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅‘𝑘)) × (Base‘(𝑅‘𝑘)))) = ((dist‘(𝑅‘𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅‘𝑘)) × (Base‘(𝑅‘𝑘))))
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (dist‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))) = (dist‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))
6		prdsxms.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
7		prdsxms.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
8		prdsxms.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶∞MetSp)
9	8	ffvelcdmda 7079	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑘) ∈ ∞MetSp)
10	3, 4	xmsxmet 24613	. . . 4 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ ∞MetSp → ((dist‘(𝑅‘𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅‘𝑘)) × (Base‘(𝑅‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(𝑅‘𝑘))))
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((dist‘(𝑅‘𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅‘𝑘)) × (Base‘(𝑅‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(𝑅‘𝑘))))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11	prdsxmet 24526	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))))
13		prdsxms.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
14		prdsxms.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
15	8	feqmptd 6949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))
16	15	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))
17	14, 16	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))
18	17	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑌) = (dist‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))))
19	13, 18	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (dist‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))))
20		prdsxms.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
21	17	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))))
22	20, 21	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))))
23	22	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (∞Met‘𝐵) = (∞Met‘(Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))))
24	12, 19, 23	3eltr4d 2878	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659   ↾ cres 5663  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  Basecbs 17264  distcds 17314  X_scprds 17493  ∞Metcxmet 21507  ∞MetSpcxms 24474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-icc 13374  df-fz 13531  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-topgen 17491  df-prds 17495  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-xms 24477

This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  24686  prdsxms  24687