Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxmslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsxmslem1 22835
 Description: Lemma for prdsms 22838. The distance function of a product structure is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsxms.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsxms.s (𝜑𝑆𝑊)
prdsxms.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
prdsxms.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsxms.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsxms.r (𝜑𝑅:𝐼⟶∞MetSp)
Assertion
Ref Expression
prdsxmslem1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))

Proof of Theorem prdsxmslem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2772 . . 3 (𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))) = (𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))
2 eqid 2772 . . 3 (Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))) = (Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))
3 eqid 2772 . . 3 (Base‘(𝑅𝑘)) = (Base‘(𝑅𝑘))
4 eqid 2772 . . 3 ((dist‘(𝑅𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅𝑘)) × (Base‘(𝑅𝑘)))) = ((dist‘(𝑅𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅𝑘)) × (Base‘(𝑅𝑘))))
5 eqid 2772 . . 3 (dist‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))) = (dist‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))
6 prdsxms.s . . 3 (𝜑𝑆𝑊)
7 prdsxms.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
8 prdsxms.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶∞MetSp)
98ffvelrnda 6670 . . 3 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑅𝑘) ∈ ∞MetSp)
103, 4xmsxmet 22763 . . . 4 ((𝑅𝑘) ∈ ∞MetSp → ((dist‘(𝑅𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅𝑘)) × (Base‘(𝑅𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(𝑅𝑘))))
119, 10syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘𝐼) → ((dist‘(𝑅𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅𝑘)) × (Base‘(𝑅𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(𝑅𝑘))))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11prdsxmet 22676 . 2 (𝜑 → (dist‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))))
13 prdsxms.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
14 prdsxms.y . . . . 5 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
158feqmptd 6556 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))
1615oveq2d 6986 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))
1714, 16syl5eq 2820 . . . 4 (𝜑𝑌 = (𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))
1817fveq2d 6497 . . 3 (𝜑 → (dist‘𝑌) = (dist‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))))
1913, 18syl5eq 2820 . 2 (𝜑𝐷 = (dist‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))))
20 prdsxms.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
2117fveq2d 6497 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))))
2220, 21syl5eq 2820 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))))
2322fveq2d 6497 . 2 (𝜑 → (∞Met‘𝐵) = (∞Met‘(Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))))
2412, 19, 233eltr4d 2875 1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ↦ cmpt 5002   × cxp 5399   ↾ cres 5403  ⟶wf 6178  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  Fincfn 8300  Basecbs 16333  distcds 16424  Xscprds 16569  ∞Metcxmet 20226  ∞MetSpcxms 22624 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-pre-sup 10407 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-oadd 7903  df-er 8083  df-map 8202  df-ixp 8254  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-sup 8695  df-inf 8696  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-4 11499  df-5 11500  df-6 11501  df-7 11502  df-8 11503  df-9 11504  df-n0 11702  df-z 11788  df-dec 11906  df-uz 12053  df-q 12157  df-rp 12199  df-xneg 12318  df-xadd 12319  df-xmul 12320  df-icc 12555  df-fz 12703  df-struct 16335  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-plusg 16428  df-mulr 16429  df-sca 16431  df-vsca 16432  df-ip 16433  df-tset 16434  df-ple 16435  df-ds 16437  df-hom 16439  df-cco 16440  df-topgen 16567  df-prds 16571  df-psmet 20233  df-xmet 20234  df-bl 20236  df-mopn 20237  df-top 21200  df-topon 21217  df-topsp 21239  df-bases 21252  df-xms 22627 This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  22836  prdsxms  22837
 Copyright terms: Public domain W3C validator