Theorem prdsxmslem1 24902

Description: Lemma for prdsms 24905. The distance function of a product structure is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsxms.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsxms.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
prdsxms.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
prdsxms.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsxms.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsxms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶∞MetSp)

Assertion

Ref	Expression
prdsxmslem1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))

Proof of Theorem prdsxmslem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))) = (𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))) = (Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑘)) = (Base‘(𝑅‘𝑘))
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((dist‘(𝑅‘𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅‘𝑘)) × (Base‘(𝑅‘𝑘)))) = ((dist‘(𝑅‘𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅‘𝑘)) × (Base‘(𝑅‘𝑘))))
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (dist‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))) = (dist‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))
6		prdsxms.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
7		prdsxms.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
8		prdsxms.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶∞MetSp)
9	8	ffvelcdmda 7116	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑘) ∈ ∞MetSp)
10	3, 4	xmsxmet 24830	. . . 4 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ ∞MetSp → ((dist‘(𝑅‘𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅‘𝑘)) × (Base‘(𝑅‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(𝑅‘𝑘))))
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((dist‘(𝑅‘𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅‘𝑘)) × (Base‘(𝑅‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(𝑅‘𝑘))))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11	prdsxmet 24743	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))))
13		prdsxms.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
14		prdsxms.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
15	8	feqmptd 6984	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))
16	15	oveq2d 7467	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))
17	14, 16	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))
18	17	fveq2d 6920	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑌) = (dist‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))))
19	13, 18	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (dist‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))))
20		prdsxms.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
21	17	fveq2d 6920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))))
22	20, 21	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))))
23	22	fveq2d 6920	. 2 ⊢ (𝜑 → (∞Met‘𝐵) = (∞Met‘(Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))))
24	12, 19, 23	3eltr4d 2879	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ↦ cmpt 5192   × cxp 5656   ↾ cres 5660  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Fincfn 9011  Basecbs 17431  distcds 17481  X_scprds 17666  ∞Metcxmet 21714  ∞MetSpcxms 24691

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-icc 13523  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-topgen 17664  df-prds 17668  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-xms 24694

This theorem is used by:  prdsxmslem2  24903  prdsxms  24904