MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxmslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsxmslem1 24411
Description: Lemma for prdsms 24414. The distance function of a product structure is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsxms.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsxms.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
prdsxms.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
prdsxms.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
prdsxms.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsxms.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢∞MetSp)
Assertion
Ref Expression
prdsxmslem1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))

Proof of Theorem prdsxmslem1
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . 3 (𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜))) = (𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))
2 eqid 2727 . . 3 (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜))))
3 eqid 2727 . . 3 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))
4 eqid 2727 . . 3 ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))) = ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
5 eqid 2727 . . 3 (distβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))) = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜))))
6 prdsxms.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
7 prdsxms.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
8 prdsxms.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢∞MetSp)
98ffvelcdmda 7088 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘˜) ∈ ∞MetSp)
103, 4xmsxmet 24336 . . . 4 ((π‘…β€˜π‘˜) ∈ ∞MetSp β†’ ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
119, 10syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11prdsxmet 24249 . 2 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜))))))
13 prdsxms.d . . 3 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
14 prdsxms.y . . . . 5 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
158feqmptd 6961 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))
1615oveq2d 7430 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜))))
1714, 16eqtrid 2779 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜))))
1817fveq2d 6895 . . 3 (πœ‘ β†’ (distβ€˜π‘Œ) = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))))
1913, 18eqtrid 2779 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))))
20 prdsxms.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
2117fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))))
2220, 21eqtrid 2779 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))))
2322fveq2d 6895 . 2 (πœ‘ β†’ (∞Metβ€˜π΅) = (∞Metβ€˜(Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜))))))
2412, 19, 233eltr4d 2843 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  Basecbs 17165  distcds 17227  Xscprds 17412  βˆžMetcxmet 21244  βˆžMetSpcxms 24197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-icc 13349  df-fz 13503  df-struct 17101  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-topgen 17410  df-prds 17414  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-xms 24200
This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  24412  prdsxms  24413
  Copyright terms: Public domain W3C validator