Theorem psrmonmul2 34048

Description: The product of two power series monomials adds the exponent vectors together. Here, the function 𝐺 is a monomial builder, which maps a bag of variables with the monic monomial with only those variables. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmon.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmon.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psrmon.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psrmon.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
psrmon.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
psrmon.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
psrmonmul.t	⊢ · = (.r‘𝑆)
psrmonmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
psrmonmul.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )))

Assertion

Ref	Expression
psrmonmul2	⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) · (𝐺‘𝑌)) = (𝐺‘(𝑋 ∘f + 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑦, 0   𝑦, 1   𝑦,𝐷,𝑧   ℎ,𝐼,𝑧   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋,𝑧   𝑦,𝑌,𝑧,ℎ   𝜑,𝑦,𝑧   ℎ,𝑋   ℎ,𝑌   𝑧, 0   𝑧, 1   𝑧,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(𝑦, 𝑧, ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(𝑦, 𝑧, ℎ)   · (𝑦, 𝑧, ℎ)   1 (ℎ)   𝐺(𝑦, 𝑧, ℎ)   𝐼(𝑦)   𝑊(𝑦, 𝑧, ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem psrmonmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmon.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrmon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		psrmon.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		psrmon.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5		psrmon.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
6		psrmon.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7		psrmon.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		psrmon.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
9		psrmonmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑆)
10		psrmonmul.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	psrmonmul 34047	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )) · (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 ))) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 )))
12		psrmonmul.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )))
13		eqeq2 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 𝑋))
14	13	ifbid 4509	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) = if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 ))
15	14	mpteq2dv 5203	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )))
16		ovex 7449	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
17	5, 16	rabex2 5309	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
19	18	mptexd 7226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ V)
20	12, 15, 8, 19	fvmptd3 7014	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )))
21		eqeq2 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 𝑌))
22	21	ifbid 4509	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) = if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 ))
23	22	mpteq2dv 5203	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 )))
24	18	mptexd 7226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 )) ∈ V)
25	12, 23, 10, 24	fvmptd3 7014	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 )))
26	20, 25	oveq12d 7434	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) · (𝐺‘𝑌)) = ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )) · (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 ))))
27		eqeq2 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∘f + 𝑌) → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌)))
28	27	ifbid 4509	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∘f + 𝑌) → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) = if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 ))
29	28	mpteq2dv 5203	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∘f + 𝑌) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 )))
30	5	psrbasfsupp 34008	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
31	30	psrbagaddcl 22140	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ 𝐷)
32	8, 10, 31	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ 𝐷)
33	18	mptexd 7226	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 )) ∈ V)
34	12, 29, 32, 33	fvmptd3 7014	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 ∘f + 𝑌)) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 )))
35	11, 26, 34	3eqtr4d 2807	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) · (𝐺‘𝑌)) = (𝐺‘(𝑋 ∘f + 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  Vcvv 3453  ifcif 4485   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7679   ↑_m cmap 8829   finSupp cfsupp 9334  0cc0 11127   + caddc 11130  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17305  ._rcmulr 17347  0_gc0g 17528  1_rcur 20321  Ringcrg 20373   mPwSer cmps 22120

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-tset 17365  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-psr 22125

This theorem is used by:  psrmonprod  34049