Theorem psrmonmul2 33720

Description: The product of two power series monomials adds the exponent vectors together. Here, the function 𝐺 is a monomial builder, which maps a bag of variables with the monic monomial with only those variables. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmon.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmon.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psrmon.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psrmon.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
psrmon.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
psrmon.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
psrmonmul.t	⊢ · = (.r‘𝑆)
psrmonmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
psrmonmul.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )))

Assertion

Ref	Expression
psrmonmul2	⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) · (𝐺‘𝑌)) = (𝐺‘(𝑋 ∘f + 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑦, 0   𝑦, 1   𝑦,𝐷,𝑧   ℎ,𝐼,𝑧   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋,𝑧   𝑦,𝑌,𝑧,ℎ   𝜑,𝑦,𝑧   ℎ,𝑋   ℎ,𝑌   𝑧, 0   𝑧, 1   𝑧,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(𝑦,𝑧,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(𝑦,𝑧,ℎ)   · (𝑦,𝑧,ℎ)   1 (ℎ)   𝐺(𝑦,𝑧,ℎ)   𝐼(𝑦)   𝑊(𝑦,𝑧,ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem psrmonmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmon.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrmon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		psrmon.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		psrmon.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5		psrmon.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
6		psrmon.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7		psrmon.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		psrmon.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
9		psrmonmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑆)
10		psrmonmul.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	psrmonmul 33719	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )) · (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 ))) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 )))
12		psrmonmul.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )))
13		eqeq2 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 𝑋))
14	13	ifbid 4504	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) = if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 ))
15	14	mpteq2dv 5193	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )))
16		ovex 7394	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
17	5, 16	rabex2 5287	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
19	18	mptexd 7173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ V)
20	12, 15, 8, 19	fvmptd3 6966	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )))
21		eqeq2 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 𝑌))
22	21	ifbid 4504	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) = if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 ))
23	22	mpteq2dv 5193	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 )))
24	18	mptexd 7173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 )) ∈ V)
25	12, 23, 10, 24	fvmptd3 6966	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 )))
26	20, 25	oveq12d 7379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) · (𝐺‘𝑌)) = ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )) · (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 ))))
27		eqeq2 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∘f + 𝑌) → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌)))
28	27	ifbid 4504	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∘f + 𝑌) → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) = if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 ))
29	28	mpteq2dv 5193	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∘f + 𝑌) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 )))
30	5	psrbasfsupp 33697	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
31	30	psrbagaddcl 21885	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ 𝐷)
32	8, 10, 31	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ 𝐷)
33	18	mptexd 7173	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 )) ∈ V)
34	12, 29, 32, 33	fvmptd3 6966	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 ∘f + 𝑌)) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 )))
35	11, 26, 34	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) · (𝐺‘𝑌)) = (𝐺‘(𝑋 ∘f + 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3400  Vcvv 3441  ifcif 4480   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∘_f cof 7623   ↑_m cmap 8768   finSupp cfsupp 9269  0cc0 11031   + caddc 11034  ℕ₀cn0 12406  Basecbs 17141  ._rcmulr 17183  0_gc0g 17364  1_rcur 20121  Ringcrg 20173   mPwSer cmps 21865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-oi 9420  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13930  df-hash 14259  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-tset 17201  df-0g 17366  df-gsum 17367  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-mulg 19003  df-cntz 19251  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-psr 21870

This theorem is referenced by:  psrmonprod  33721