Theorem psrmonmul2 33700

Description: The product of two power series monomials adds the exponent vectors together. Here, the function 𝐺 is a monomial builder, which maps a bag of variables with the monic monomial with only those variables. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmon.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmon.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psrmon.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psrmon.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
psrmon.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
psrmon.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
psrmonmul.t	⊢ · = (.r‘𝑆)
psrmonmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
psrmonmul.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )))

Assertion

Ref	Expression
psrmonmul2	⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) · (𝐺‘𝑌)) = (𝐺‘(𝑋 ∘f + 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑦, 0   𝑦, 1   𝑦,𝐷,𝑧   ℎ,𝐼,𝑧   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋,𝑧   𝑦,𝑌,𝑧,ℎ   𝜑,𝑦,𝑧   ℎ,𝑋   ℎ,𝑌   𝑧, 0   𝑧, 1   𝑧,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(𝑦,𝑧,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(𝑦,𝑧,ℎ)   · (𝑦,𝑧,ℎ)   1 (ℎ)   𝐺(𝑦,𝑧,ℎ)   𝐼(𝑦)   𝑊(𝑦,𝑧,ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem psrmonmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmon.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrmon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		psrmon.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		psrmon.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5		psrmon.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
6		psrmon.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7		psrmon.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		psrmon.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
9		psrmonmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑆)
10		psrmonmul.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	psrmonmul 33699	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )) · (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 ))) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 )))
12		psrmonmul.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )))
13		eqeq2 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 𝑋))
14	13	ifbid 4491	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) = if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 ))
15	14	mpteq2dv 5180	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )))
16		ovex 7391	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
17	5, 16	rabex2 5276	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
19	18	mptexd 7170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ V)
20	12, 15, 8, 19	fvmptd3 6963	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )))
21		eqeq2 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 𝑌))
22	21	ifbid 4491	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) = if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 ))
23	22	mpteq2dv 5180	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 )))
24	18	mptexd 7170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 )) ∈ V)
25	12, 23, 10, 24	fvmptd3 6963	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 )))
26	20, 25	oveq12d 7376	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) · (𝐺‘𝑌)) = ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )) · (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 ))))
27		eqeq2 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∘f + 𝑌) → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌)))
28	27	ifbid 4491	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∘f + 𝑌) → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) = if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 ))
29	28	mpteq2dv 5180	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∘f + 𝑌) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 )))
30	5	psrbasfsupp 33677	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
31	30	psrbagaddcl 21881	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ 𝐷)
32	8, 10, 31	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ 𝐷)
33	18	mptexd 7170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 )) ∈ V)
34	12, 29, 32, 33	fvmptd3 6963	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 ∘f + 𝑌)) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 )))
35	11, 26, 34	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) · (𝐺‘𝑌)) = (𝐺‘(𝑋 ∘f + 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620   ↑_m cmap 8764   finSupp cfsupp 9265  0cc0 11027   + caddc 11030  ℕ₀cn0 12402  Basecbs 17137  ._rcmulr 17179  0_gc0g 17360  1_rcur 20120  Ringcrg 20172   mPwSer cmps 21861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-seq 13926  df-hash 14255  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-tset 17197  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-psr 21866

This theorem is referenced by:  psrmonprod  33701