Theorem psrmonmul2 33850

Description: The product of two power series monomials adds the exponent vectors together. Here, the function 𝐺 is a monomial builder, which maps a bag of variables with the monic monomial with only those variables. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmon.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmon.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psrmon.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psrmon.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
psrmon.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
psrmon.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
psrmonmul.t	⊢ · = (.r‘𝑆)
psrmonmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
psrmonmul.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )))

Assertion

Ref	Expression
psrmonmul2	⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) · (𝐺‘𝑌)) = (𝐺‘(𝑋 ∘f + 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑦, 0   𝑦, 1   𝑦,𝐷,𝑧   ℎ,𝐼,𝑧   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋,𝑧   𝑦,𝑌,𝑧,ℎ   𝜑,𝑦,𝑧   ℎ,𝑋   ℎ,𝑌   𝑧, 0   𝑧, 1   𝑧,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(𝑦,𝑧,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(𝑦,𝑧,ℎ)   · (𝑦,𝑧,ℎ)   1 (ℎ)   𝐺(𝑦,𝑧,ℎ)   𝐼(𝑦)   𝑊(𝑦,𝑧,ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem psrmonmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmon.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrmon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		psrmon.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		psrmon.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5		psrmon.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
6		psrmon.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7		psrmon.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		psrmon.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
9		psrmonmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑆)
10		psrmonmul.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	psrmonmul 33849	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )) · (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 ))) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 )))
12		psrmonmul.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )))
13		eqeq2 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 𝑋))
14	13	ifbid 4505	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) = if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 ))
15	14	mpteq2dv 5195	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )))
16		ovex 7429	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
17	5, 16	rabex2 5298	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
19	18	mptexd 7208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ V)
20	12, 15, 8, 19	fvmptd3 6999	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )))
21		eqeq2 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 𝑌))
22	21	ifbid 4505	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) = if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 ))
23	22	mpteq2dv 5195	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 )))
24	18	mptexd 7208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 )) ∈ V)
25	12, 23, 10, 24	fvmptd3 6999	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 )))
26	20, 25	oveq12d 7414	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) · (𝐺‘𝑌)) = ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )) · (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 ))))
27		eqeq2 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∘f + 𝑌) → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌)))
28	27	ifbid 4505	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∘f + 𝑌) → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) = if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 ))
29	28	mpteq2dv 5195	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∘f + 𝑌) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 )))
30	5	psrbasfsupp 33810	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
31	30	psrbagaddcl 21983	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ 𝐷)
32	8, 10, 31	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ 𝐷)
33	18	mptexd 7208	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 )) ∈ V)
34	12, 29, 32, 33	fvmptd3 6999	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 ∘f + 𝑌)) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 )))
35	11, 26, 34	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) · (𝐺‘𝑌)) = (𝐺‘(𝑋 ∘f + 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  {crab 3415  Vcvv 3455  ifcif 4481   class class class wbr 5101   ↦ cmpt 5182  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∘_f cof 7658   ↑_m cmap 8808   finSupp cfsupp 9305  0cc0 11084   + caddc 11087  ℕ₀cn0 12491  Basecbs 17255  ._rcmulr 17297  0_gc0g 17478  1_rcur 20241  Ringcrg 20293   mPwSer cmps 21963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9306  df-oi 9456  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-tset 17315  df-0g 17480  df-gsum 17481  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-mulg 19120  df-cntz 19367  df-cmn 19832  df-abl 19833  df-mgp 20197  df-rng 20209  df-ur 20242  df-ring 20295  df-psr 21968

This theorem is referenced by:  psrmonprod  33851