Theorem psrmonmul2 34116

Description: The product of two power series monomials adds the exponent vectors together. Here, the function 𝐺 is a monomial builder, which maps a bag of variables with the monic monomial with only those variables. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmon.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmon.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psrmon.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psrmon.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
psrmon.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
psrmon.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
psrmonmul.t	⊢ · = (.r‘𝑆)
psrmonmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
psrmonmul.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )))

Assertion

Ref	Expression
psrmonmul2	⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) · (𝐺‘𝑌)) = (𝐺‘(𝑋 ∘f + 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑦, 0   𝑦, 1   𝑦,𝐷,𝑧   ℎ,𝐼,𝑧   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋,𝑧   𝑦,𝑌,𝑧,ℎ   𝜑,𝑦,𝑧   ℎ,𝑋   ℎ,𝑌   𝑧, 0   𝑧, 1   𝑧,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(𝑦, 𝑧, ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(𝑦, 𝑧, ℎ)   · (𝑦, 𝑧, ℎ)   1 (ℎ)   𝐺(𝑦, 𝑧, ℎ)   𝐼(𝑦)   𝑊(𝑦, 𝑧, ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem psrmonmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmon.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrmon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		psrmon.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		psrmon.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5		psrmon.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
6		psrmon.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7		psrmon.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		psrmon.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
9		psrmonmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑆)
10		psrmonmul.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	psrmonmul 34115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )) · (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 ))) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 )))
12		psrmonmul.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )))
13		eqeq2 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 𝑋))
14	13	ifbid 4505	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) = if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 ))
15	14	mpteq2dv 5198	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )))
16		ovex 7441	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
17	5, 16	rabex2 5301	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
19	18	mptexd 7218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ V)
20	12, 15, 8, 19	fvmptd3 7005	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )))
21		eqeq2 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 𝑌))
22	21	ifbid 4505	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) = if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 ))
23	22	mpteq2dv 5198	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 )))
24	18	mptexd 7218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 )) ∈ V)
25	12, 23, 10, 24	fvmptd3 7005	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 )))
26	20, 25	oveq12d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) · (𝐺‘𝑌)) = ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑋, 1 , 0 )) · (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑌, 1 , 0 ))))
27		eqeq2 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∘f + 𝑌) → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌)))
28	27	ifbid 4505	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∘f + 𝑌) → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) = if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 ))
29	28	mpteq2dv 5198	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∘f + 𝑌) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 )))
30	5	psrbasfsupp 34076	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
31	30	psrbagaddcl 22193	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ 𝐷)
32	8, 10, 31	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ 𝐷)
33	18	mptexd 7218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 )) ∈ V)
34	12, 29, 32, 33	fvmptd3 7005	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 ∘f + 𝑌)) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝑌), 1 , 0 )))
35	11, 26, 34	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) · (𝐺‘𝑌)) = (𝐺‘(𝑋 ∘f + 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ∘_f cof 7674   ↑_m cmap 8825   finSupp cfsupp 9331  0cc0 11171   + caddc 11174  ℕ₀cn0 12575  Basecbs 17348  ._rcmulr 17390  0_gc0g 17571  1_rcur 20368  Ringcrg 20420   mPwSer cmps 22173

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-hash 14442  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-tset 17408  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-mulg 19239  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-psr 22178

This theorem is used by:  psrmonprod  34117