Theorem seglecgr12 34441

Description: Substitution law for segment comparison under congruence. Biconditional version. (Contributed by Scott Fenton, 15-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
seglecgr12	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ⟨𝐸, 𝐹⟩ Seg≤ ⟨𝐺, 𝐻⟩)))

Proof of Theorem seglecgr12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1087	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩))
2		seglecgr12im 34440	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩) → ⟨𝐸, 𝐹⟩ Seg≤ ⟨𝐺, 𝐻⟩))
3	1, 2	syl5bir 242	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩) → ⟨𝐸, 𝐹⟩ Seg≤ ⟨𝐺, 𝐻⟩))
4	3	expd 415	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ → ⟨𝐸, 𝐹⟩ Seg≤ ⟨𝐺, 𝐻⟩)))
5		simp11 1201	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		simp12 1202	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		simp13 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		simp23 1206	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		simp31 1207	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		cgrcom 34320	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ↔ ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
11	5, 6, 7, 8, 9, 10	syl122anc 1377	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ↔ ⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
12		simp21 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		simp22 1205	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		simp32 1208	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		simp33 1209	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))
16		cgrcom 34320	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ↔ ⟨𝐺, 𝐻⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
17	5, 12, 13, 14, 15, 16	syl122anc 1377	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ↔ ⟨𝐺, 𝐻⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
18	11, 17	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ↔ (⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝐻⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)))
19		df-3an 1087	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝐻⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐸, 𝐹⟩ Seg≤ ⟨𝐺, 𝐻⟩) ↔ ((⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝐻⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ ⟨𝐸, 𝐹⟩ Seg≤ ⟨𝐺, 𝐻⟩))
20		seglecgr12im 34440	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝐻⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐸, 𝐹⟩ Seg≤ ⟨𝐺, 𝐻⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩))
21	5, 8, 9, 14, 15, 6, 7, 12, 13, 20	syl333anc 1400	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝐻⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐸, 𝐹⟩ Seg≤ ⟨𝐺, 𝐻⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩))
22	19, 21	syl5bir 242	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝐻⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ ⟨𝐸, 𝐹⟩ Seg≤ ⟨𝐺, 𝐻⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩))
23	22	expd 415	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐸, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝐻⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → (⟨𝐸, 𝐹⟩ Seg≤ ⟨𝐺, 𝐻⟩ → ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩)))
24	18, 23	sylbid 239	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) → (⟨𝐸, 𝐹⟩ Seg≤ ⟨𝐺, 𝐻⟩ → ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩)))
25	4, 24	impbidd 209	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ⟨𝐸, 𝐹⟩ Seg≤ ⟨𝐺, 𝐻⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2101  ⟨cop 4570   class class class wbr 5077  ‘cfv 6447  ℕcn 12001  𝔼cee 27284  Cgrccgr 27286   Seg_≤ csegle 34436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-inf2 9427  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-isom 6456  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-er 8518  df-map 8637  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-sup 9229  df-oi 9297  df-card 9725  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-n0 12262  df-z 12348  df-uz 12611  df-rp 12759  df-ico 13113  df-icc 13114  df-fz 13268  df-fzo 13411  df-seq 13750  df-exp 13811  df-hash 14073  df-cj 14838  df-re 14839  df-im 14840  df-sqrt 14974  df-abs 14975  df-clim 15225  df-sum 15426  df-ee 27287  df-btwn 27288  df-cgr 27289  df-ofs 34313  df-cgr3 34371  df-segle 34437

This theorem is referenced by:  colinbtwnle  34448