| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | sge0ltfirpmpt2.a |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉) |
| 2 | | sge0ltfirpmpt2.xph |
. . . 4
⊢
Ⅎ𝑥𝜑 |
| 3 | | sge0ltfirpmpt2.b |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) |
| 4 | | eqid 2737 |
. . . 4
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) |
| 5 | 2, 3, 4 | fmptdf 7137 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞)) |
| 6 | | sge0ltfirpmpt2.rp |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈
ℝ+) |
| 7 | | sge0ltfirpmpt2.re |
. . 3
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) |
| 8 | 1, 5, 6, 7 | sge0ltfirp 46415 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) |
| 9 | | simpr 484 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) |
| 10 | | elpwinss 45054 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴) |
| 11 | 10 | resmptd 6058 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦) = (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) |
| 12 | 11 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) →
(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))) |
| 13 | 12 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))) |
| 14 | | elinel2 4202 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin) |
| 15 | 14 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin) |
| 16 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) |
| 17 | 2, 16 | nfan 1899 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) |
| 18 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝜑) |
| 19 | 10 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 20 | 19 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 21 | 2, 1, 3, 7 | sge0rernmpt 46437 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) |
| 22 | 18, 20, 21 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) |
| 23 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵) |
| 24 | 17, 22, 23 | fmptdf 7137 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵):𝑦⟶(0[,)+∞)) |
| 25 | 15, 24 | sge0fsum 46402 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘)) |
| 26 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑦) |
| 27 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑) |
| 28 | 10 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴) |
| 29 | 28 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴) |
| 30 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑥 𝑘 ∈ 𝐴 |
| 31 | 2, 30 | nfan 1899 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) |
| 32 | | nfcsb1v 3923 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑥⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 |
| 33 | 32 | nfel1 2922 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞) |
| 34 | 31, 33 | nfim 1896 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)) |
| 35 | | eleq1w 2824 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴)) |
| 36 | 35 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴))) |
| 37 | | csbeq1a 3913 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) |
| 38 | 37 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔
⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))) |
| 39 | 36, 38 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)))) |
| 40 | 34, 39, 21 | chvarfv 2240 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)) |
| 41 | 27, 29, 40 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)) |
| 42 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑘𝐵 |
| 43 | 42, 32, 37 | cbvmpt 5253 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) |
| 44 | 43 | fvmpt2 7027 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑘 ∈ 𝑦 ∧ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) |
| 45 | 26, 41, 44 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) |
| 46 | 45 | sumeq2dv 15738 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) |
| 47 | | eqcom 2744 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑘 ↔ 𝑘 = 𝑥) |
| 48 | 47 | imbi1i 349 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)) |
| 49 | | eqcom 2744 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵) |
| 50 | 49 | imbi2i 336 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)) |
| 51 | 48, 50 | bitri 275 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)) |
| 52 | 37, 51 | mpbi 230 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 = 𝑥 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵) |
| 53 | 52, 32, 42 | cbvsum 15731 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Σ𝑘 ∈
𝑦 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 |
| 54 | 53 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) |
| 55 | 46, 54 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) |
| 56 | 13, 25, 55 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) |
| 57 | 56 | oveq1d 7446 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) = (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌)) |
| 58 | 57 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) →
((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) = (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌)) |
| 59 | 9, 58 | breqtrd 5169 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌)) |
| 60 | 59 | ex 412 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))) |
| 61 | 60 | reximdva 3168 |
. 2
⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))) |
| 62 | 8, 61 | mpd 15 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌)) |