Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0ltfirpmpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0ltfirpmpt2 44657
Description: If the extended sum of nonnegative reals is not +∞, then it can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0ltfirpmpt2.xph 𝑥𝜑
sge0ltfirpmpt2.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0ltfirpmpt2.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0ltfirpmpt2.rp (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
sge0ltfirpmpt2.re (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sge0ltfirpmpt2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ𝑥𝑦 𝐵 + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝑌   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem sge0ltfirpmpt2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0ltfirpmpt2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0ltfirpmpt2.xph . . . 4 𝑥𝜑
3 sge0ltfirpmpt2.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2736 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
52, 3, 4fmptdf 7065 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6 sge0ltfirpmpt2.rp . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
7 sge0ltfirpmpt2.re . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
81, 5, 6, 7sge0ltfirp 44631 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌))
9 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌))
10 elpwinss 43247 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
1110resmptd 5994 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦) = (𝑥𝑦𝐵))
1211fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
1312adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
14 elinel2 4156 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
1514adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
16 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
172, 16nfan 1902 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
18 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝜑)
1910sselda 3944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
2019adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
212, 1, 3, 7sge0rernmpt 44653 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
2218, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
23 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑦𝐵) = (𝑥𝑦𝐵)
2417, 22, 23fmptdf 7065 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝑦𝐵):𝑦⟶(0[,)+∞))
2515, 24sge0fsum 44618 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)) = Σ𝑘𝑦 ((𝑥𝑦𝐵)‘𝑘))
26 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝑦)
27 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
2810sselda 3944 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
2928adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
30 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 𝑘𝐴
312, 30nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝜑𝑘𝐴)
32 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑘 / 𝑥𝐵
3332nfel1 2923 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑘 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)
3431, 33nfim 1899 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞))
35 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥𝐴𝑘𝐴))
3635anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑘𝐴)))
37 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑥𝐵)
3837eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑘 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
3936, 38imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑘 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
4034, 39, 21chvarfv 2233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4127, 29, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞))
42 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝐵
4342, 32, 37cbvmpt 5216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑦𝐵) = (𝑘𝑦𝑘 / 𝑥𝐵)
4443fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘𝑦𝑘 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥𝑦𝐵)‘𝑘) = 𝑘 / 𝑥𝐵)
4526, 41, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → ((𝑥𝑦𝐵)‘𝑘) = 𝑘 / 𝑥𝐵)
4645sumeq2dv 15588 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 ((𝑥𝑦𝐵)‘𝑘) = Σ𝑘𝑦 𝑘 / 𝑥𝐵)
47 eqcom 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑘𝑘 = 𝑥)
4847imbi1i 349 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑘 / 𝑥𝐵))
49 eqcom 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = 𝑘 / 𝑥𝐵𝑘 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
5049imbi2i 335 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑘 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥𝑘 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
5148, 50bitri 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥𝑘 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
5237, 51mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑥𝑘 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
53 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑦
54 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑦
5552, 53, 54, 32, 42cbvsum 15580 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘𝑦 𝑘 / 𝑥𝐵 = Σ𝑥𝑦 𝐵
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 𝑘 / 𝑥𝐵 = Σ𝑥𝑦 𝐵)
5746, 56eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 ((𝑥𝑦𝐵)‘𝑘) = Σ𝑥𝑦 𝐵)
5813, 25, 573eqtrd 2780 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) = Σ𝑥𝑦 𝐵)
5958oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) = (Σ𝑥𝑦 𝐵 + 𝑌))
6059adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) = (Σ𝑥𝑦 𝐵 + 𝑌))
619, 60breqtrd 5131 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ𝑥𝑦 𝐵 + 𝑌))
6261ex 413 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ𝑥𝑦 𝐵 + 𝑌)))
6362reximdva 3165 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ𝑥𝑦 𝐵 + 𝑌)))
648, 63mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ𝑥𝑦 𝐵 + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wrex 3073  csb 3855  cin 3909  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cres 5635  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054  +∞cpnf 11186   < clt 11189  +crp 12915  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  Σcsu 15570  Σ^csumge0 44593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-sumge0 44594
This theorem is referenced by:  sge0xaddlem2  44665  sge0gtfsumgt  44674
  Copyright terms: Public domain W3C validator