Theorem sge0ltfirpmpt2 46670

Description: If the extended sum of nonnegative reals is not +∞, then it can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0ltfirpmpt2.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0ltfirpmpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0ltfirpmpt2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0ltfirpmpt2.rp	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
sge0ltfirpmpt2.re	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0ltfirpmpt2	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝑌   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem sge0ltfirpmpt2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0ltfirpmpt2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0ltfirpmpt2.xph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		sge0ltfirpmpt2.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7062	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0ltfirpmpt2.rp	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
7		sge0ltfirpmpt2.re	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
8	1, 5, 6, 7	sge0ltfirp 46644	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌))
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌))
10		elpwinss 45294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
11	10	resmptd 5999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦) = (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))
12	11	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)))
13	12	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)))
14		elinel2 4154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
15	14	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
16		nfv 1915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
17	2, 16	nfan 1900	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
18		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝜑)
19	10	sselda 3933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
20	19	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
21	2, 1, 3, 7	sge0rernmpt 46666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
22	18, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
23		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)
24	17, 22, 23	fmptdf 7062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵):𝑦⟶(0[,)+∞))
25	15, 24	sge0fsum 46631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘))
26		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑦)
27		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
28	10	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
29	28	adantll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
30		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑘 ∈ 𝐴
31	2, 30	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)
32		nfcsb1v 3873	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵
33	32	nfel1 2915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)
34	31, 33	nfim 1897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
35		eleq1w 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
36	35	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)))
37		csbeq1a 3863	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
38	37	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
39	36, 38	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
40	34, 39, 21	chvarfv 2247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
41	27, 29, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
42		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
43	42, 32, 37	cbvmpt 5200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
44	43	fvmpt2 6952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑦 ∧ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
45	26, 41, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
46	45	sumeq2dv 15625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
47		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑘 ↔ 𝑘 = 𝑥)
48	47	imbi1i 349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵))
49		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
50	49	imbi2i 336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
51	48, 50	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
52	37, 51	mpbi 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
53	52, 32, 42	cbvsum 15618	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵
54	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
55	46, 54	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
56	13, 25, 55	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
57	56	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) = (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))
58	57	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) = (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))
59	9, 58	breqtrd 5124	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))
60	59	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌)))
61	60	reximdva 3149	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌)))
62	8, 61	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  ⦋csb 3849   ∩ cin 3900  𝒫 cpw 4554   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Fincfn 8883  ℝcr 11025  0cc0 11026   + caddc 11029  +∞cpnf 11163   < clt 11166  ℝ⁺crp 12905  [,)cico 13263  [,]cicc 13264  Σcsu 15609  Σ^{^}csumge0 46606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610  df-sumge0 46607

This theorem is referenced by:  sge0xaddlem2  46678  sge0gtfsumgt  46687