Theorem sge0ltfirpmpt2 46869

Description: If the extended sum of nonnegative reals is not +∞, then it can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0ltfirpmpt2.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0ltfirpmpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0ltfirpmpt2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0ltfirpmpt2.rp	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
sge0ltfirpmpt2.re	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0ltfirpmpt2	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝑌   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem sge0ltfirpmpt2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0ltfirpmpt2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0ltfirpmpt2.xph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		sge0ltfirpmpt2.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7058	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0ltfirpmpt2.rp	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
7		sge0ltfirpmpt2.re	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
8	1, 5, 6, 7	sge0ltfirp 46843	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌))
9		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌))
10		elpwinss 45497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
11	10	resmptd 5992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦) = (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))
12	11	fveq2d 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)))
13	12	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)))
14		elinel2 4131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
15	14	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
16		nfv 1921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
17	2, 16	nfan 1906	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
18		simpll 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝜑)
19	10	sselda 3915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
20	19	adantll 720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
21	2, 1, 3, 7	sge0rernmpt 46865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
22	18, 20, 21	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
23		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)
24	17, 22, 23	fmptdf 7058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵):𝑦⟶(0[,)+∞))
25	15, 24	sge0fsum 46830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘))
26		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑦)
27		simpll 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
28	10	sselda 3915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
29	28	adantll 720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
30		nfv 1921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑘 ∈ 𝐴
31	2, 30	nfan 1906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)
32		nfcsb1v 3855	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵
33	32	nfel1 2917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)
34	31, 33	nfim 1903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
35		eleq1w 2822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
36	35	anbi2d 636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)))
37		csbeq1a 3845	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
38	37	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
39	36, 38	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
40	34, 39, 21	chvarfv 2252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
41	27, 29, 40	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
42		nfcv 2901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
43	42, 32, 37	cbvmpt 5174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
44	43	fvmpt2 6947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑦 ∧ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
45	26, 41, 44	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
46	45	sumeq2dv 15655	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
47		eqcom 2746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑘 ↔ 𝑘 = 𝑥)
48	47	imbi1i 350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵))
49		eqcom 2746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
50	49	imbi2i 337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
51	48, 50	bitri 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
52	37, 51	mpbi 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
53	52, 32, 42	cbvsum 15648	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵
54	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
55	46, 54	eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
56	13, 25, 55	3eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
57	56	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) = (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))
58	57	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) = (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))
59	9, 58	breqtrd 5098	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))
60	59	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌)))
61	60	reximdva 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌)))
62	8, 61	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063  ⦋csb 3831   ∩ cin 3882  𝒫 cpw 4529   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153   ↾ cres 5620  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Fincfn 8883  ℝcr 11028  0cc0 11029   + caddc 11032  +∞cpnf 11167   < clt 11170  ℝ⁺crp 12933  [,)cico 13291  [,]cicc 13292  Σcsu 15639  Σ^{^}csumge0 46805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-sumge0 46806

This theorem is referenced by:  sge0xaddlem2  46877  sge0gtfsumgt  46886