Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0ltfirpmpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0ltfirpmpt2 46441
Description: If the extended sum of nonnegative reals is not +∞, then it can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0ltfirpmpt2.xph 𝑥𝜑
sge0ltfirpmpt2.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0ltfirpmpt2.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0ltfirpmpt2.rp (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
sge0ltfirpmpt2.re (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sge0ltfirpmpt2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ𝑥𝑦 𝐵 + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝑌   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem sge0ltfirpmpt2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0ltfirpmpt2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0ltfirpmpt2.xph . . . 4 𝑥𝜑
3 sge0ltfirpmpt2.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2737 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
52, 3, 4fmptdf 7137 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6 sge0ltfirpmpt2.rp . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
7 sge0ltfirpmpt2.re . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
81, 5, 6, 7sge0ltfirp 46415 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌))
9 simpr 484 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌))
10 elpwinss 45054 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
1110resmptd 6058 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦) = (𝑥𝑦𝐵))
1211fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
1312adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
14 elinel2 4202 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
1514adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
16 nfv 1914 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
172, 16nfan 1899 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
18 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝜑)
1910sselda 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
2019adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
212, 1, 3, 7sge0rernmpt 46437 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
2218, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
23 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑦𝐵) = (𝑥𝑦𝐵)
2417, 22, 23fmptdf 7137 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝑦𝐵):𝑦⟶(0[,)+∞))
2515, 24sge0fsum 46402 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)) = Σ𝑘𝑦 ((𝑥𝑦𝐵)‘𝑘))
26 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝑦)
27 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
2810sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
2928adantll 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
30 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 𝑘𝐴
312, 30nfan 1899 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝜑𝑘𝐴)
32 nfcsb1v 3923 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑘 / 𝑥𝐵
3332nfel1 2922 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑘 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)
3431, 33nfim 1896 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞))
35 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥𝐴𝑘𝐴))
3635anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑘𝐴)))
37 csbeq1a 3913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑥𝐵)
3837eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑘 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
3936, 38imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑘 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
4034, 39, 21chvarfv 2240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4127, 29, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞))
42 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝐵
4342, 32, 37cbvmpt 5253 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑦𝐵) = (𝑘𝑦𝑘 / 𝑥𝐵)
4443fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘𝑦𝑘 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥𝑦𝐵)‘𝑘) = 𝑘 / 𝑥𝐵)
4526, 41, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → ((𝑥𝑦𝐵)‘𝑘) = 𝑘 / 𝑥𝐵)
4645sumeq2dv 15738 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 ((𝑥𝑦𝐵)‘𝑘) = Σ𝑘𝑦 𝑘 / 𝑥𝐵)
47 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑘𝑘 = 𝑥)
4847imbi1i 349 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑘 / 𝑥𝐵))
49 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = 𝑘 / 𝑥𝐵𝑘 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
5049imbi2i 336 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑘 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥𝑘 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
5148, 50bitri 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥𝑘 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
5237, 51mpbi 230 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑥𝑘 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
5352, 32, 42cbvsum 15731 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘𝑦 𝑘 / 𝑥𝐵 = Σ𝑥𝑦 𝐵
5453a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 𝑘 / 𝑥𝐵 = Σ𝑥𝑦 𝐵)
5546, 54eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 ((𝑥𝑦𝐵)‘𝑘) = Σ𝑥𝑦 𝐵)
5613, 25, 553eqtrd 2781 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) = Σ𝑥𝑦 𝐵)
5756oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) = (Σ𝑥𝑦 𝐵 + 𝑌))
5857adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) = (Σ𝑥𝑦 𝐵 + 𝑌))
599, 58breqtrd 5169 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ𝑥𝑦 𝐵 + 𝑌))
6059ex 412 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ𝑥𝑦 𝐵 + 𝑌)))
6160reximdva 3168 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ𝑥𝑦 𝐵 + 𝑌)))
628, 61mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ𝑥𝑦 𝐵 + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wrex 3070  csb 3899  cin 3950  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158  +∞cpnf 11292   < clt 11295  +crp 13034  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  Σcsu 15722  Σ^csumge0 46377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-sumge0 46378
This theorem is referenced by:  sge0xaddlem2  46449  sge0gtfsumgt  46458
  Copyright terms: Public domain W3C validator