Theorem sge0ltfirpmpt2 47031

Description: If the extended sum of nonnegative reals is not +∞, then it can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0ltfirpmpt2.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0ltfirpmpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0ltfirpmpt2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0ltfirpmpt2.rp	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
sge0ltfirpmpt2.re	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0ltfirpmpt2	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝑌   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem sge0ltfirpmpt2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0ltfirpmpt2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0ltfirpmpt2.xph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		sge0ltfirpmpt2.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7113	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0ltfirpmpt2.rp	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
7		sge0ltfirpmpt2.re	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
8	1, 5, 6, 7	sge0ltfirp 47005	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌))
9		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌))
10		elpwinss 45660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
11	10	resmptd 6043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦) = (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))
12	11	fveq2d 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)))
13	12	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)))
14		elinel2 4163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
15	14	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
16		nfv 1941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
17	2, 16	nfan 1926	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
18		simpll 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝜑)
19	10	sselda 3945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
20	19	adantll 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
21	2, 1, 3, 7	sge0rernmpt 47027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
22	18, 20, 21	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
23		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)
24	17, 22, 23	fmptdf 7113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵):𝑦⟶(0[,)+∞))
25	15, 24	sge0fsum 46992	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘))
26		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑦)
27		simpll 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
28	10	sselda 3945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
29	28	adantll 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
30		nfv 1941	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑘 ∈ 𝐴
31	2, 30	nfan 1926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)
32		nfcsb1v 3885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵
33	32	nfel1 2947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)
34	31, 33	nfim 1923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
35		eleq1w 2852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
36	35	anbi2d 641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)))
37		csbeq1a 3875	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
38	37	eleq1d 2854	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
39	36, 38	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
40	34, 39, 21	chvarfv 2282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
41	27, 29, 40	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
42		nfcv 2931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
43	42, 32, 37	cbvmpt 5217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
44	43	fvmpt2 7002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑦 ∧ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
45	26, 41, 44	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
46	45	sumeq2dv 15752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
47		eqcom 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑘 ↔ 𝑘 = 𝑥)
48	47	imbi1i 352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵))
49		eqcom 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
50	49	imbi2i 339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
51	48, 50	bitri 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
52	37, 51	mpbi 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
53	52, 32, 42	cbvsum 15745	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵
54	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
55	46, 54	eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
56	13, 25, 55	3eqtrd 2808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
57	56	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) = (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))
58	57	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) = (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))
59	9, 58	breqtrd 5141	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))
60	59	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌)))
61	60	reximdva 3184	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌)))
62	8, 61	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  Ⅎwnf 1810   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  ⦋csb 3861   ∩ cin 3912  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196   ↾ cres 5664  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8942  ℝcr 11098  0cc0 11099   + caddc 11102  +∞cpnf 11239   < clt 11242  ℝ⁺crp 13015  [,)cico 13373  [,]cicc 13374  Σcsu 15736  Σ^{^}csumge0 46967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-sum 15737  df-sumge0 46968

This theorem is referenced by:  sge0xaddlem2  47039  sge0gtfsumgt  47048