Theorem sge0ltfirpmpt2 46875

Description: If the extended sum of nonnegative reals is not +∞, then it can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0ltfirpmpt2.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0ltfirpmpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0ltfirpmpt2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0ltfirpmpt2.rp	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
sge0ltfirpmpt2.re	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0ltfirpmpt2	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝑌   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem sge0ltfirpmpt2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0ltfirpmpt2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0ltfirpmpt2.xph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		sge0ltfirpmpt2.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7064	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0ltfirpmpt2.rp	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
7		sge0ltfirpmpt2.re	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
8	1, 5, 6, 7	sge0ltfirp 46849	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌))
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌))
10		elpwinss 45501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
11	10	resmptd 6000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦) = (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))
12	11	fveq2d 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)))
13	12	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)))
14		elinel2 4143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
15	14	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
16		nfv 1916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
17	2, 16	nfan 1901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
18		simpll 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝜑)
19	10	sselda 3922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
20	19	adantll 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
21	2, 1, 3, 7	sge0rernmpt 46871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
22	18, 20, 21	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
23		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)
24	17, 22, 23	fmptdf 7064	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵):𝑦⟶(0[,)+∞))
25	15, 24	sge0fsum 46836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘))
26		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑦)
27		simpll 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
28	10	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
29	28	adantll 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
30		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑘 ∈ 𝐴
31	2, 30	nfan 1901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)
32		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵
33	32	nfel1 2916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)
34	31, 33	nfim 1898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
35		eleq1w 2820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
36	35	anbi2d 631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)))
37		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
38	37	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
39	36, 38	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
40	34, 39, 21	chvarfv 2248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
41	27, 29, 40	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
42		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
43	42, 32, 37	cbvmpt 5188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
44	43	fvmpt2 6954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑦 ∧ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
45	26, 41, 44	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
46	45	sumeq2dv 15658	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
47		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑘 ↔ 𝑘 = 𝑥)
48	47	imbi1i 349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵))
49		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
50	49	imbi2i 336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
51	48, 50	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑘 = 𝑥 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
52	37, 51	mpbi 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
53	52, 32, 42	cbvsum 15651	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵
54	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
55	46, 54	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)‘𝑘) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
56	13, 25, 55	3eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
57	56	oveq1d 7376	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) = (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))
58	57	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) = (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))
59	9, 58	breqtrd 5112	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))
60	59	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌)))
61	60	reximdva 3151	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌)))
62	8, 61	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  ⦋csb 3838   ∩ cin 3889  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   ↾ cres 5627  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Fincfn 8887  ℝcr 11031  0cc0 11032   + caddc 11035  +∞cpnf 11170   < clt 11173  ℝ⁺crp 12936  [,)cico 13294  [,]cicc 13295  Σcsu 15642  Σ^{^}csumge0 46811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-sum 15643  df-sumge0 46812

This theorem is referenced by:  sge0xaddlem2  46883  sge0gtfsumgt  46892