Theorem sin5t 47342

Description: Five-times-angle formula for sine, in pure sine form. (Contributed by Ender Ting, 17-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sin5t	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(5 · 𝐴)) = (((;16 · ((sin‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((sin‘𝐴)↑3))) + (5 · (sin‘𝐴))))

Proof of Theorem sin5t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 12318	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 5 = (3 + 2))
4	3	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · 𝐴) = ((3 + 2) · 𝐴))
5		3cn 12253	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
7		2cnd 12250	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
8		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	adddird 11161	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((3 + 2) · 𝐴) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴)))
10	4, 9	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · 𝐴) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴)))
11	10	fveq2d 6838	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(5 · 𝐴)) = (sin‘((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴))))
12	6, 8	mulcld 11156	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (3 · 𝐴) ∈ ℂ)
13	7, 8	mulcld 11156	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
14		sinadd 16122	. . . 4 ⊢ (((3 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ) → (sin‘((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴))) = (((sin‘(3 · 𝐴)) · (cos‘(2 · 𝐴))) + ((cos‘(3 · 𝐴)) · (sin‘(2 · 𝐴)))))
15	12, 13, 14	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴))) = (((sin‘(3 · 𝐴)) · (cos‘(2 · 𝐴))) + ((cos‘(3 · 𝐴)) · (sin‘(2 · 𝐴)))))
16		sin3t 47335	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(3 · 𝐴)) = ((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))))
17		cos2tsin 16137	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
18	16, 17	oveq12d 7378	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(3 · 𝐴)) · (cos‘(2 · 𝐴))) = (((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))))
19		cos3t 47336	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(3 · 𝐴)) = ((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))))
20		sin2t 16135	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
21	19, 20	oveq12d 7378	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(3 · 𝐴)) · (sin‘(2 · 𝐴))) = (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)))))
22	18, 21	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(3 · 𝐴)) · (cos‘(2 · 𝐴))) + ((cos‘(3 · 𝐴)) · (sin‘(2 · 𝐴)))) = ((((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))) + (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))))
23	15, 22	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴))) = ((((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))) + (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))))
24		coscl 16085	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
25		sincl 16084	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
26	25	sqcld 14097	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
27	24	sqcld 14097	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
28		sincossq 16134	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
29	26, 27, 28	mvlladdd 11552	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
30		sin5tlem5 47341	. . 3 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2))) → ((((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))) + (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))) = (((;16 · ((sin‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((sin‘𝐴)↑3))) + (5 · (sin‘𝐴))))
31	24, 25, 29, 30	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))) + (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))) = (((;16 · ((sin‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((sin‘𝐴)↑3))) + (5 · (sin‘𝐴))))
32	11, 23, 31	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(5 · 𝐴)) = (((;16 · ((sin‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((sin‘𝐴)↑3))) + (5 · (sin‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  5c5 12230  6c6 12231  ;cdc 12635  ↑cexp 14014  sincsin 16019  cosccos 16020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ico 13295  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026

This theorem is referenced by: (None)