Theorem sin5t 48129

Description: Five-times-angle formula for sine, in pure sine form. (Contributed by Ender Ting, 17-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sin5t	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(5 · 𝐴)) = (((;16 · ((sin‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((sin‘𝐴)↑3))) + (5 · (sin‘𝐴))))

Proof of Theorem sin5t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 12520	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 5 = (3 + 2))
4	3	oveq1d 7458	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · 𝐴) = ((3 + 2) · 𝐴))
5		3cn 12451	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
7		2cnd 12448	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
8		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	adddird 11361	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((3 + 2) · 𝐴) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴)))
10	4, 9	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · 𝐴) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴)))
11	10	fveq2d 6912	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(5 · 𝐴)) = (sin‘((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴))))
12	6, 8	mulcld 11356	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (3 · 𝐴) ∈ ℂ)
13	7, 8	mulcld 11356	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
14		sinadd 16361	. . . 4 ⊢ (((3 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ) → (sin‘((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴))) = (((sin‘(3 · 𝐴)) · (cos‘(2 · 𝐴))) + ((cos‘(3 · 𝐴)) · (sin‘(2 · 𝐴)))))
15	12, 13, 14	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴))) = (((sin‘(3 · 𝐴)) · (cos‘(2 · 𝐴))) + ((cos‘(3 · 𝐴)) · (sin‘(2 · 𝐴)))))
16		sin3t 48122	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(3 · 𝐴)) = ((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))))
17		cos2tsin 16376	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
18	16, 17	oveq12d 7461	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(3 · 𝐴)) · (cos‘(2 · 𝐴))) = (((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))))
19		cos3t 48123	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(3 · 𝐴)) = ((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))))
20		sin2t 16374	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
21	19, 20	oveq12d 7461	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(3 · 𝐴)) · (sin‘(2 · 𝐴))) = (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)))))
22	18, 21	oveq12d 7461	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(3 · 𝐴)) · (cos‘(2 · 𝐴))) + ((cos‘(3 · 𝐴)) · (sin‘(2 · 𝐴)))) = ((((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))) + (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))))
23	15, 22	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴))) = ((((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))) + (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))))
24		coscl 16324	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
25		sincl 16323	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
26	25	sqcld 14314	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
27	24	sqcld 14314	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
28		sincossq 16373	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
29	26, 27, 28	mvlladdd 11752	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
30		sin5tlem5 48128	. . 3 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2))) → ((((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))) + (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))) = (((;16 · ((sin‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((sin‘𝐴)↑3))) + (5 · (sin‘𝐴))))
31	24, 25, 29, 30	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))) + (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))) = (((;16 · ((sin‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((sin‘𝐴)↑3))) + (5 · (sin‘𝐴))))
32	11, 23, 31	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(5 · 𝐴)) = (((;16 · ((sin‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((sin‘𝐴)↑3))) + (5 · (sin‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   − cmin 11568  2c2 12424  3c3 12425  4c4 12426  5c5 12427  6c6 12428  ;cdc 12841  ↑cexp 14231  sincsin 16258  cosccos 16259

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-rp 13148  df-ico 13509  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-bc 14474  df-hash 14502  df-shft 15249  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-limsup 15667  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-ef 16262  df-sin 16264  df-cos 16265

This theorem is used by:  cos5t  48130