Theorem sin5t 48017

Description: Five-times-angle formula for sine, in pure sine form. (Contributed by Ender Ting, 17-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sin5t	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(5 · 𝐴)) = (((;16 · ((sin‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((sin‘𝐴)↑3))) + (5 · (sin‘𝐴))))

Proof of Theorem sin5t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 12496	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 5 = (3 + 2))
4	3	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · 𝐴) = ((3 + 2) · 𝐴))
5		3cn 12427	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
7		2cnd 12424	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
8		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	adddird 11337	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((3 + 2) · 𝐴) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴)))
10	4, 9	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · 𝐴) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴)))
11	10	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(5 · 𝐴)) = (sin‘((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴))))
12	6, 8	mulcld 11332	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (3 · 𝐴) ∈ ℂ)
13	7, 8	mulcld 11332	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
14		sinadd 16337	. . . 4 ⊢ (((3 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ) → (sin‘((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴))) = (((sin‘(3 · 𝐴)) · (cos‘(2 · 𝐴))) + ((cos‘(3 · 𝐴)) · (sin‘(2 · 𝐴)))))
15	12, 13, 14	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴))) = (((sin‘(3 · 𝐴)) · (cos‘(2 · 𝐴))) + ((cos‘(3 · 𝐴)) · (sin‘(2 · 𝐴)))))
16		sin3t 48010	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(3 · 𝐴)) = ((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))))
17		cos2tsin 16352	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
18	16, 17	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(3 · 𝐴)) · (cos‘(2 · 𝐴))) = (((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))))
19		cos3t 48011	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(3 · 𝐴)) = ((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))))
20		sin2t 16350	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
21	19, 20	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(3 · 𝐴)) · (sin‘(2 · 𝐴))) = (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)))))
22	18, 21	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(3 · 𝐴)) · (cos‘(2 · 𝐴))) + ((cos‘(3 · 𝐴)) · (sin‘(2 · 𝐴)))) = ((((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))) + (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))))
23	15, 22	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴))) = ((((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))) + (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))))
24		coscl 16300	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
25		sincl 16299	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
26	25	sqcld 14290	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
27	24	sqcld 14290	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
28		sincossq 16349	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
29	26, 27, 28	mvlladdd 11728	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
30		sin5tlem5 48016	. . 3 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2))) → ((((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))) + (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))) = (((;16 · ((sin‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((sin‘𝐴)↑3))) + (5 · (sin‘𝐴))))
31	24, 25, 29, 30	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))) + (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))) = (((;16 · ((sin‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((sin‘𝐴)↑3))) + (5 · (sin‘𝐴))))
32	11, 23, 31	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(5 · 𝐴)) = (((;16 · ((sin‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((sin‘𝐴)↑3))) + (5 · (sin‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   − cmin 11544  2c2 12400  3c3 12401  4c4 12402  5c5 12403  6c6 12404  ;cdc 12817  ↑cexp 14207  sincsin 16234  cosccos 16235

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-rp 13124  df-ico 13485  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-sin 16240  df-cos 16241

This theorem is used by:  cos5t  48018