Theorem sin5t 47750

Description: Five-times-angle formula for sine, in pure sine form. (Contributed by Ender Ting, 17-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sin5t	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(5 · 𝐴)) = (((;16 · ((sin‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((sin‘𝐴)↑3))) + (5 · (sin‘𝐴))))

Proof of Theorem sin5t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 12419	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2771	. . . . . 6 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 5 = (3 + 2))
4	3	oveq1d 7432	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · 𝐴) = ((3 + 2) · 𝐴))
5		3cn 12350	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
7		2cnd 12347	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
8		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	adddird 11262	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((3 + 2) · 𝐴) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴)))
10	4, 9	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · 𝐴) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴)))
11	10	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(5 · 𝐴)) = (sin‘((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴))))
12	6, 8	mulcld 11257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (3 · 𝐴) ∈ ℂ)
13	7, 8	mulcld 11257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
14		sinadd 16258	. . . 4 ⊢ (((3 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ) → (sin‘((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴))) = (((sin‘(3 · 𝐴)) · (cos‘(2 · 𝐴))) + ((cos‘(3 · 𝐴)) · (sin‘(2 · 𝐴)))))
15	12, 13, 14	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴))) = (((sin‘(3 · 𝐴)) · (cos‘(2 · 𝐴))) + ((cos‘(3 · 𝐴)) · (sin‘(2 · 𝐴)))))
16		sin3t 47743	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(3 · 𝐴)) = ((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))))
17		cos2tsin 16273	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
18	16, 17	oveq12d 7435	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(3 · 𝐴)) · (cos‘(2 · 𝐴))) = (((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))))
19		cos3t 47744	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(3 · 𝐴)) = ((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))))
20		sin2t 16271	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
21	19, 20	oveq12d 7435	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(3 · 𝐴)) · (sin‘(2 · 𝐴))) = (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)))))
22	18, 21	oveq12d 7435	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(3 · 𝐴)) · (cos‘(2 · 𝐴))) + ((cos‘(3 · 𝐴)) · (sin‘(2 · 𝐴)))) = ((((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))) + (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))))
23	15, 22	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴))) = ((((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))) + (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))))
24		coscl 16221	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
25		sincl 16220	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
26	25	sqcld 14212	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
27	24	sqcld 14212	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
28		sincossq 16270	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
29	26, 27, 28	mvlladdd 11653	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
30		sin5tlem5 47749	. . 3 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2))) → ((((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))) + (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))) = (((;16 · ((sin‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((sin‘𝐴)↑3))) + (5 · (sin‘𝐴))))
31	24, 25, 29, 30	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))) + (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))) = (((;16 · ((sin‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((sin‘𝐴)↑3))) + (5 · (sin‘𝐴))))
32	11, 23, 31	3eqtrd 2801	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(5 · 𝐴)) = (((;16 · ((sin‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((sin‘𝐴)↑3))) + (5 · (sin‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   − cmin 11469  2c2 12323  3c3 12324  4c4 12325  5c5 12326  6c6 12327  ;cdc 12740  ↑cexp 14129  sincsin 16155  cosccos 16156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-rp 13047  df-ico 13408  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-fac 14342  df-bc 14371  df-hash 14399  df-shft 15144  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-limsup 15562  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-ef 16159  df-sin 16161  df-cos 16162

This theorem is used by:  cos5t  47751