Theorem sin5t 47656

Description: Five-times-angle formula for sine, in pure sine form. (Contributed by Ender Ting, 17-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sin5t	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(5 · 𝐴)) = (((;16 · ((sin‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((sin‘𝐴)↑3))) + (5 · (sin‘𝐴))))

Proof of Theorem sin5t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 12409	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2775	. . . . . 6 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 5 = (3 + 2))
4	3	oveq1d 7438	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · 𝐴) = ((3 + 2) · 𝐴))
5		3cn 12340	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
7		2cnd 12337	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
8		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	adddird 11252	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((3 + 2) · 𝐴) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴)))
10	4, 9	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · 𝐴) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴)))
11	10	fveq2d 6892	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(5 · 𝐴)) = (sin‘((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴))))
12	6, 8	mulcld 11247	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (3 · 𝐴) ∈ ℂ)
13	7, 8	mulcld 11247	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
14		sinadd 16245	. . . 4 ⊢ (((3 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ) → (sin‘((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴))) = (((sin‘(3 · 𝐴)) · (cos‘(2 · 𝐴))) + ((cos‘(3 · 𝐴)) · (sin‘(2 · 𝐴)))))
15	12, 13, 14	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴))) = (((sin‘(3 · 𝐴)) · (cos‘(2 · 𝐴))) + ((cos‘(3 · 𝐴)) · (sin‘(2 · 𝐴)))))
16		sin3t 47649	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(3 · 𝐴)) = ((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))))
17		cos2tsin 16260	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
18	16, 17	oveq12d 7441	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(3 · 𝐴)) · (cos‘(2 · 𝐴))) = (((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))))
19		cos3t 47650	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(3 · 𝐴)) = ((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))))
20		sin2t 16258	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
21	19, 20	oveq12d 7441	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(3 · 𝐴)) · (sin‘(2 · 𝐴))) = (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)))))
22	18, 21	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(3 · 𝐴)) · (cos‘(2 · 𝐴))) + ((cos‘(3 · 𝐴)) · (sin‘(2 · 𝐴)))) = ((((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))) + (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))))
23	15, 22	eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((3 · 𝐴) + (2 · 𝐴))) = ((((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))) + (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))))
24		coscl 16208	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
25		sincl 16207	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
26	25	sqcld 14200	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
27	24	sqcld 14200	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
28		sincossq 16257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
29	26, 27, 28	mvlladdd 11643	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
30		sin5tlem5 47655	. . 3 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2))) → ((((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))) + (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))) = (((;16 · ((sin‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((sin‘𝐴)↑3))) + (5 · (sin‘𝐴))))
31	24, 25, 29, 30	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))) · (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))) + (((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))) · (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))) = (((;16 · ((sin‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((sin‘𝐴)↑3))) + (5 · (sin‘𝐴))))
32	11, 23, 31	3eqtrd 2805	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(5 · 𝐴)) = (((;16 · ((sin‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((sin‘𝐴)↑3))) + (5 · (sin‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   − cmin 11459  2c2 12313  3c3 12314  4c4 12315  5c5 12316  6c6 12317  ;cdc 12729  ↑cexp 14117  sincsin 16142  cosccos 16143

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ico 13396  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149

This theorem is used by:  cos5t  47657