Theorem btwncomand 35667

Description: Deduction form of btwncom 35666. (Contributed by Scott Fenton, 14-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
btwncomand.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
btwncomand.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
btwncomand.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
btwncomand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
btwncomand.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Assertion

Ref	Expression
btwncomand	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 Btwn ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Proof of Theorem btwncomand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwncomand.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)
2		btwncomand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		btwncomand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		btwncomand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		btwncomand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		btwncom 35666	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ 𝐴 Btwn ⟨𝐶, 𝐵⟩))
7	2, 3, 4, 5, 6	syl13anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ 𝐴 Btwn ⟨𝐶, 𝐵⟩))
8	7	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ 𝐴 Btwn ⟨𝐶, 𝐵⟩))
9	1, 8	mpbid 231	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 Btwn ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  ⟨cop 4630   class class class wbr 5143  ‘cfv 6542  ℕcn 12240  𝔼cee 28741   Btwn cbtwn 28742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-ee 28744  df-btwn 28745  df-cgr 28746

This theorem is referenced by:  btwnouttr  35676  cgrxfr  35707  btwnconn1lem1  35739  btwnconn1lem2  35740  btwnconn1lem3  35741  btwnconn1lem8  35746  btwnconn1lem10  35748  btwnconn1lem11  35749  btwnconn3  35755  segcon2  35757  segleantisym  35767  colinbtwnle  35770  broutsideof2  35774  btwnoutside  35777  broutsideof3  35778  outsidele  35784  lineunray  35799  lineelsb2  35800