Theorem btwncomand 32459

Description: Deduction form of btwncom 32458. (Contributed by Scott Fenton, 14-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
btwncomand.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
btwncomand.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
btwncomand.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
btwncomand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
btwncomand.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Assertion

Ref	Expression
btwncomand	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 Btwn ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Proof of Theorem btwncomand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwncomand.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)
2		btwncomand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		btwncomand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		btwncomand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		btwncomand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		btwncom 32458	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ 𝐴 Btwn ⟨𝐶, 𝐵⟩))
7	2, 3, 4, 5, 6	syl13anc 1478	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ 𝐴 Btwn ⟨𝐶, 𝐵⟩))
8	7	adantr 466	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ 𝐴 Btwn ⟨𝐶, 𝐵⟩))
9	1, 8	mpbid 222	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 Btwn ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4323   class class class wbr 4787  ‘cfv 6030  ℕcn 11226  𝔼cee 25989   Btwn cbtwn 25990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-ee 25992  df-btwn 25993  df-cgr 25994

This theorem is referenced by:  btwnouttr  32468  cgrxfr  32499  btwnconn1lem1  32531  btwnconn1lem2  32532  btwnconn1lem3  32533  btwnconn1lem8  32538  btwnconn1lem10  32540  btwnconn1lem11  32541  btwnconn3  32547  segcon2  32549  segleantisym  32559  colinbtwnle  32562  broutsideof2  32566  btwnoutside  32569  broutsideof3  32570  outsidele  32576  lineunray  32591  lineelsb2  32592