Theorem broutsideof2 33199

Description: Alternate form of OutsideOf. Definition 6.1 of [Schwabhauser] p. 43. (Contributed by Scott Fenton, 17-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
broutsideof2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))

Proof of Theorem broutsideof2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		broutsideof 33198	. 2 ⊢ (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
2		btwntriv1 33093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
3	2	3adant3r1 1175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
4		breq1 4969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝑃 → (𝐴 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
5	3, 4	syl5ibcom 246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 = 𝑃 → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
6	5	necon3bd 2998	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐴 ≠ 𝑃))
7	6	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → 𝐴 ≠ 𝑃)
8	7	adantrl 712	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐴 ≠ 𝑃)
9		btwntriv2 33089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
10	9	3adant3r1 1175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
11		breq1 4969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 𝑃 → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
12	10, 11	syl5ibcom 246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 = 𝑃 → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
13	12	necon3bd 2998	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐵 ≠ 𝑃))
14	13	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → 𝐵 ≠ 𝑃)
15	14	adantrl 712	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐵 ≠ 𝑃)
16		brcolinear 33136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∨ 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
17		pm2.24 124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
19		3anrot 1093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)))
20		btwncom 33091	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩ ↔ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))
21	19, 20	sylan2b 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩ ↔ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))
22		orc 862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
23	21, 22	syl6bi 254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
24	23	a1dd 50	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩ → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
25		olc 863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
26	25	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
28	18, 24, 27	3jaod 1421	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∨ 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
29	16, 28	sylbid 241	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
30	29	imp32 419	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
31	8, 15, 30	3jca 1121	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
32		simp3 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
33		3ancomb 1092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)))
34		btwncolinear2 33147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → 𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩))
35	33, 34	sylan2b 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → 𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩))
36		btwncolinear1 33146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → 𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩))
37	35, 36	jaod 854	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → 𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩))
38	32, 37	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → 𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩))
39	38	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))) → 𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩)
40		simpr2 1188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → 𝐴 ≠ 𝑃)
41	40	neneqd 2989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ¬ 𝐴 = 𝑃)
42		simprl1 1211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
43		simprr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
44		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
45		simpr2 1188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
46		simpr1 1187	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
47		simpr3 1189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
48		btwnswapid 33094	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → 𝐴 = 𝑃))
49	44, 45, 46, 47, 48	syl13anc 1365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → 𝐴 = 𝑃))
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → 𝐴 = 𝑃))
51	42, 43, 50	mp2and 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐴 = 𝑃)
52	51	expr 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐴 = 𝑃))
53	41, 52	mtod 199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
54	53	3exp2 1347	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → (𝐴 ≠ 𝑃 → (𝐵 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))))
55		simpr3 1189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → 𝐵 ≠ 𝑃)
56	55	neneqd 2989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ¬ 𝐵 = 𝑃)
57		simprl1 1211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
58		simprr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
59	44, 46, 45, 47, 58	btwncomand 33092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐴⟩)
60		3anrot 1093	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
61		btwnswapid 33094	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐴⟩) → 𝐵 = 𝑃))
62	60, 61	sylan2br 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐴⟩) → 𝐵 = 𝑃))
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐴⟩) → 𝐵 = 𝑃))
64	57, 59, 63	mp2and 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐵 = 𝑃)
65	64	expr 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐵 = 𝑃))
66	56, 65	mtod 199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
67	66	3exp2 1347	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → (𝐴 ≠ 𝑃 → (𝐵 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))))
68	54, 67	jaod 854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → (𝐴 ≠ 𝑃 → (𝐵 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))))
69	68	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ≠ 𝑃 → (𝐵 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))))
70	69	com4l 92	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ≠ 𝑃 → (𝐵 ≠ 𝑃 → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))))
71	70	3imp2 1342	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))) → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
72	39, 71	jca 512	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))) → (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
73	31, 72	impbida 797	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
74	1, 73	syl5bb 284	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 842   ∨ w3o 1079   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ⟨cop 4482   class class class wbr 4966  ‘cfv 6230  ℕcn 11491  𝔼cee 26362   Btwn cbtwn 26363   Colinear ccolin 33114  OutsideOfcoutsideof 33196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-sup 8757  df-oi 8825  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-rp 12245  df-ico 12599  df-icc 12600  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-seq 13225  df-exp 13285  df-hash 13546  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-clim 14684  df-sum 14882  df-ee 26365  df-btwn 26366  df-cgr 26367  df-colinear 33116  df-outsideof 33197

This theorem is referenced by:  outsidene1  33200  outsidene2  33201  btwnoutside  33202  broutsideof3  33203  outsideofcom  33205  outsideoftr  33206  outsideofeq  33207  outsideofeu  33208  lineunray  33224