Theorem broutsideof2 36887

Description: Alternate form of OutsideOf. Definition 6.1 of [Schwabhauser] p. 43. (Contributed by Scott Fenton, 17-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
broutsideof2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))

Proof of Theorem broutsideof2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		broutsideof 36886	. 2 ⊢ (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
2		btwntriv1 36781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
3	2	3adant3r1 1201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
4		breq1 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝑃 → (𝐴 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
5	3, 4	syl5ibcom 248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 = 𝑃 → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
6	5	necon3bd 2969	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐴 ≠ 𝑃))
7	6	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → 𝐴 ≠ 𝑃)
8	7	adantrl 729	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐴 ≠ 𝑃)
9		btwntriv2 36777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
10	9	3adant3r1 1201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
11		breq1 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 𝑃 → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
12	10, 11	syl5ibcom 248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 = 𝑃 → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
13	12	necon3bd 2969	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐵 ≠ 𝑃))
14	13	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → 𝐵 ≠ 𝑃)
15	14	adantrl 729	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐵 ≠ 𝑃)
16		brcolinear 36824	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∨ 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
17		pm2.24 125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
19		3anrot 1117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)))
20		btwncom 36779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩ ↔ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))
21	19, 20	sylan2b 606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩ ↔ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))
22		orc 881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
23	21, 22	biimtrdi 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
24	23	a1dd 51	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩ → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
25		olc 882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
26	25	a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
28	18, 24, 27	3jaod 1456	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∨ 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
29	16, 28	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
30	29	imp32 424	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
31	8, 15, 30	3jca 1146	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
32		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
33		3ancomb 1116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)))
34		btwncolinear2 36835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → 𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩))
35	33, 34	sylan2b 606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → 𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩))
36		btwncolinear1 36834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → 𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩))
37	35, 36	jaod 873	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → 𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩))
38	32, 37	syl5 35	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → 𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩))
39	38	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))) → 𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩)
40		simpr2 1214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → 𝐴 ≠ 𝑃)
41	40	neneqd 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ¬ 𝐴 = 𝑃)
42		simprl1 1237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
43		simprr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
44		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
45		simpr2 1214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
46		simpr1 1213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
47		simpr3 1215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
48		btwnswapid 36782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → 𝐴 = 𝑃))
49	44, 45, 46, 47, 48	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → 𝐴 = 𝑃))
50	49	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → 𝐴 = 𝑃))
51	42, 43, 50	mp2and 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐴 = 𝑃)
52	51	expr 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐴 = 𝑃))
53	41, 52	mtod 201	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
54	53	3exp2 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → (𝐴 ≠ 𝑃 → (𝐵 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))))
55		simpr3 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → 𝐵 ≠ 𝑃)
56	55	neneqd 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ¬ 𝐵 = 𝑃)
57		simprl1 1237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
58		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
59	44, 46, 45, 47, 58	btwncomand 36780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐴⟩)
60		3anrot 1117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
61		btwnswapid 36782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐴⟩) → 𝐵 = 𝑃))
62	60, 61	sylan2br 607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐴⟩) → 𝐵 = 𝑃))
63	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐴⟩) → 𝐵 = 𝑃))
64	57, 59, 63	mp2and 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐵 = 𝑃)
65	64	expr 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐵 = 𝑃))
66	56, 65	mtod 201	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
67	66	3exp2 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → (𝐴 ≠ 𝑃 → (𝐵 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))))
68	54, 67	jaod 873	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → (𝐴 ≠ 𝑃 → (𝐵 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))))
69	68	com12 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ≠ 𝑃 → (𝐵 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))))
70	69	com4l 93	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ≠ 𝑃 → (𝐵 ≠ 𝑃 → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))))
71	70	3imp2 1368	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))) → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
72	39, 71	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))) → (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
73	31, 72	impbida 813	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
74	1, 73	bitrid 286	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  ℕcn 12335  𝔼cee 29465   Btwn cbtwn 29466   Colinear ccolin 36802  OutsideOfcoutsideof 36884

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-ee 29468  df-btwn 29469  df-cgr 29470  df-colinear 36804  df-outsideof 36885

This theorem is used by:  outsidene1  36888  outsidene2  36889  btwnoutside  36890  broutsideof3  36891  outsideofcom  36893  outsideoftr  36894  outsideofeq  36895  outsideofeu  36896  lineunray  36912