Theorem btwnconn1lem7 36074

Description: Lemma for btwnconn1 36082. Under our assumptions, 𝐶 and 𝑑 are distinct. (Contributed by Scott Fenton, 8-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
btwnconn1lem7	⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ (𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩))) → 𝐶 ≠ 𝑑)

Proof of Theorem btwnconn1lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l3 1269	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) → 𝐶 ≠ 𝑐)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ (𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) → 𝐶 ≠ 𝑐)
3		simp2rr 1244	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) → ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ (𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) → ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
5		simp2lr 1242	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) → ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ (𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) → ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
7	2, 4, 6	3jca 1128	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ (𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) → (𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
8		simp11 1204	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
9		simp21 1207	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		simp22 1208	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
11		simp23 1209	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		simp31 1210	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		simpr1 1195	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝐶 ≠ 𝑐)
14		opeq2 4834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 = 𝑑 → ⟨𝐶, 𝐶⟩ = ⟨𝐶, 𝑑⟩)
15	14	breq1d 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 = 𝑑 → (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
16	15	3anbi2d 1443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = 𝑑 → ((𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ (𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)))
17	16	biimparc 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ 𝐶 = 𝑑) → (𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
18		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → ⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
19		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
20		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
21		simp2r 1201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
22		cgrid2 35984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ → 𝐶 = 𝐷))
23	19, 20, 20, 21, 22	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ → 𝐶 = 𝐷))
24	18, 23	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → 𝐶 = 𝐷))
25	24	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝐶 = 𝐷)
26		opeq1 4833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → ⟨𝐶, 𝑐⟩ = ⟨𝐷, 𝑐⟩)
27		opeq2 4834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → ⟨𝐶, 𝐶⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
28	26, 27	breq12d 5115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (⟨𝐶, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
29	28	biimparc 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨𝐶, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩)
30		simp3l 1202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))
31		axcgrid 28896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ → 𝐶 = 𝑐))
32	19, 20, 30, 20, 31	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ → 𝐶 = 𝑐))
33	29, 32	syl5 34	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐶 = 𝑐))
34	33	expdimp 452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → (𝐶 = 𝐷 → 𝐶 = 𝑐))
35	34	3ad2antr3 1191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → (𝐶 = 𝐷 → 𝐶 = 𝑐))
36	25, 35	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝐶 = 𝑐)
37	36	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → 𝐶 = 𝑐))
38	17, 37	syl5 34	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ 𝐶 = 𝑑) → 𝐶 = 𝑐))
39	38	expdimp 452	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → (𝐶 = 𝑑 → 𝐶 = 𝑐))
40	39	necon3d 2946	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → (𝐶 ≠ 𝑐 → 𝐶 ≠ 𝑑))
41	13, 40	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝐶 ≠ 𝑑)
42	41	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → 𝐶 ≠ 𝑑))
43	8, 9, 10, 11, 12, 42	syl122anc 1381	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → 𝐶 ≠ 𝑑))
44	7, 43	syl5 34	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ (𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) → 𝐶 ≠ 𝑑))
45	44	imp 406	1 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ (𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩))) → 𝐶 ≠ 𝑑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  ℕcn 12162  𝔼cee 28868   Btwn cbtwn 28869  Cgrccgr 28870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629  df-ee 28871  df-cgr 28873

This theorem is referenced by:  btwnconn1lem8  36075  btwnconn1lem12  36079