Theorem btwnconn1lem7 34395

Description: Lemma for btwnconn1 34403. Under our assumptions, 𝐶 and 𝑑 are distinct. (Contributed by Scott Fenton, 8-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
btwnconn1lem7	⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ (𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩))) → 𝐶 ≠ 𝑑)

Proof of Theorem btwnconn1lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l3 1267	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) → 𝐶 ≠ 𝑐)
2	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ (𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) → 𝐶 ≠ 𝑐)
3		simp2rr 1242	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) → ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ (𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) → ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
5		simp2lr 1240	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) → ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
6	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ (𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) → ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
7	2, 4, 6	3jca 1127	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ (𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) → (𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
8		simp11 1202	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
9		simp21 1205	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		simp22 1206	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
11		simp23 1207	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		simp31 1208	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		simpr1 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝐶 ≠ 𝑐)
14		opeq2 4805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 = 𝑑 → ⟨𝐶, 𝐶⟩ = ⟨𝐶, 𝑑⟩)
15	14	breq1d 5084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 = 𝑑 → (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
16	15	3anbi2d 1440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = 𝑑 → ((𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ (𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)))
17	16	biimparc 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ 𝐶 = 𝑑) → (𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
18		simp2 1136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → ⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
19		simp1 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
20		simp2l 1198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
21		simp2r 1199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
22		cgrid2 34305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ → 𝐶 = 𝐷))
23	19, 20, 20, 21, 22	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ → 𝐶 = 𝐷))
24	18, 23	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → 𝐶 = 𝐷))
25	24	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝐶 = 𝐷)
26		opeq1 4804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → ⟨𝐶, 𝑐⟩ = ⟨𝐷, 𝑐⟩)
27		opeq2 4805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → ⟨𝐶, 𝐶⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
28	26, 27	breq12d 5087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (⟨𝐶, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
29	28	biimparc 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨𝐶, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩)
30		simp3l 1200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))
31		axcgrid 27284	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ → 𝐶 = 𝑐))
32	19, 20, 30, 20, 31	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ → 𝐶 = 𝑐))
33	29, 32	syl5 34	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐶 = 𝑐))
34	33	expdimp 453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → (𝐶 = 𝐷 → 𝐶 = 𝑐))
35	34	3ad2antr3 1189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → (𝐶 = 𝐷 → 𝐶 = 𝑐))
36	25, 35	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝐶 = 𝑐)
37	36	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → 𝐶 = 𝑐))
38	17, 37	syl5 34	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ 𝐶 = 𝑑) → 𝐶 = 𝑐))
39	38	expdimp 453	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → (𝐶 = 𝑑 → 𝐶 = 𝑐))
40	39	necon3d 2964	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → (𝐶 ≠ 𝑐 → 𝐶 ≠ 𝑑))
41	13, 40	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝐶 ≠ 𝑑)
42	41	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → 𝐶 ≠ 𝑑))
43	8, 9, 10, 11, 12, 42	syl122anc 1378	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 ≠ 𝑐 ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → 𝐶 ≠ 𝑑))
44	7, 43	syl5 34	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ (𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) → 𝐶 ≠ 𝑑))
45	44	imp 407	1 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ (𝐸 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩))) → 𝐶 ≠ 𝑑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  ℕcn 11973  𝔼cee 27256   Btwn cbtwn 27257  Cgrccgr 27258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-ee 27259  df-cgr 27261

This theorem is referenced by:  btwnconn1lem8  34396  btwnconn1lem12  34400