Theorem dmvlsiga 34112

Description: Lebesgue-measurable subsets of ℝ form a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Sep-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 24-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dmvlsiga	⊢ dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

Proof of Theorem dmvlsiga

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssb 5060	. . 3 ⊢ (dom vol ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∀𝑥 ∈ dom vol𝑥 ⊆ ℝ)
2		mblss 25465	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom vol → 𝑥 ⊆ ℝ)
3	1, 2	mprgbir 3051	. 2 ⊢ dom vol ⊆ 𝒫 ℝ
4		rembl 25474	. . 3 ⊢ ℝ ∈ dom vol
5		cmmbl 25468	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol)
6	5	rgen 3046	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol
7		nnenom 13921	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ≈ ω
8	7	ensymi 8952	. . . . . . . 8 ⊢ ω ≈ ℕ
9		domentr 8961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
10	8, 9	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≼ ω → 𝑥 ≼ ℕ)
11		elpwi 4566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → 𝑥 ⊆ dom vol)
12		dfss3 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
13	11, 12	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
14		iunmbl2 25491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≼ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
15	10, 13, 14	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
16	15	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → (𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol))
17		uniiun 5017	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
18	17	eleq1i 2819	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
19	16, 18	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → (𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol))
20	19	rgen 3046	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol)
21	4, 6, 20	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ (ℝ ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol))
22		reex 11135	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	pwex 5330	. . . 4 ⊢ 𝒫 ℝ ∈ V
24	23, 3	ssexi 5272	. . 3 ⊢ dom vol ∈ V
25		issiga 34095	. . 3 ⊢ (dom vol ∈ V → (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ↔ (dom vol ⊆ 𝒫 ℝ ∧ (ℝ ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol)))))
26	24, 25	ax-mp 5	. 2 ⊢ (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ↔ (dom vol ⊆ 𝒫 ℝ ∧ (ℝ ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol))))
27	3, 21, 26	mpbir2an 711	1 ⊢ dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3444   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4559  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5102  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  ωcom 7822   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893  ℝcr 11043  ℕcn 12162  volcvol 25397  sigAlgebracsiga 34091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cc 10364  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xadd 13049  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-xmet 21289  df-met 21290  df-ovol 25398  df-vol 25399  df-siga 34092

This theorem is referenced by:  volmeas  34214  mbfmvolf  34250  elmbfmvol2  34251