Theorem dmvlsiga 34286

Description: Lebesgue-measurable subsets of ℝ form a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Sep-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 24-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dmvlsiga	⊢ dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

Proof of Theorem dmvlsiga

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssb 5056	. . 3 ⊢ (dom vol ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∀𝑥 ∈ dom vol𝑥 ⊆ ℝ)
2		mblss 25488	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom vol → 𝑥 ⊆ ℝ)
3	1, 2	mprgbir 3058	. 2 ⊢ dom vol ⊆ 𝒫 ℝ
4		rembl 25497	. . 3 ⊢ ℝ ∈ dom vol
5		cmmbl 25491	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol)
6	5	rgen 3053	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol
7		nnenom 13903	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ≈ ω
8	7	ensymi 8941	. . . . . . . 8 ⊢ ω ≈ ℕ
9		domentr 8950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
10	8, 9	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≼ ω → 𝑥 ≼ ℕ)
11		elpwi 4561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → 𝑥 ⊆ dom vol)
12		dfss3 3922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
13	11, 12	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
14		iunmbl2 25514	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≼ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
15	10, 13, 14	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
16	15	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → (𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol))
17		uniiun 5014	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
18	17	eleq1i 2827	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
19	16, 18	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → (𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol))
20	19	rgen 3053	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol)
21	4, 6, 20	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ (ℝ ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol))
22		reex 11117	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	pwex 5325	. . . 4 ⊢ 𝒫 ℝ ∈ V
24	23, 3	ssexi 5267	. . 3 ⊢ dom vol ∈ V
25		issiga 34269	. . 3 ⊢ (dom vol ∈ V → (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ↔ (dom vol ⊆ 𝒫 ℝ ∧ (ℝ ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol)))))
26	24, 25	ax-mp 5	. 2 ⊢ (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ↔ (dom vol ⊆ 𝒫 ℝ ∧ (ℝ ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol))))
27	3, 21, 26	mpbir2an 711	1 ⊢ dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  𝒫 cpw 4554  ∪ cuni 4863  ∪ ciun 4946   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  ωcom 7808   ≈ cen 8880   ≼ cdom 8881  ℝcr 11025  ℕcn 12145  volcvol 25420  sigAlgebracsiga 34265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cc 10345  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-disj 5066  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xadd 13027  df-ioo 13265  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-xmet 21302  df-met 21303  df-ovol 25421  df-vol 25422  df-siga 34266

This theorem is referenced by:  volmeas  34388  mbfmvolf  34423  elmbfmvol2  34424