Theorem dmvlsiga 34165

Description: Lebesgue-measurable subsets of ℝ form a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Sep-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 24-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dmvlsiga	⊢ dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

Proof of Theorem dmvlsiga

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssb 5082	. . 3 ⊢ (dom vol ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∀𝑥 ∈ dom vol𝑥 ⊆ ℝ)
2		mblss 25489	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom vol → 𝑥 ⊆ ℝ)
3	1, 2	mprgbir 3059	. 2 ⊢ dom vol ⊆ 𝒫 ℝ
4		rembl 25498	. . 3 ⊢ ℝ ∈ dom vol
5		cmmbl 25492	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol)
6	5	rgen 3054	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol
7		nnenom 14003	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ≈ ω
8	7	ensymi 9023	. . . . . . . 8 ⊢ ω ≈ ℕ
9		domentr 9032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
10	8, 9	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≼ ω → 𝑥 ≼ ℕ)
11		elpwi 4587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → 𝑥 ⊆ dom vol)
12		dfss3 3952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
13	11, 12	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
14		iunmbl2 25515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≼ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
15	10, 13, 14	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
16	15	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → (𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol))
17		uniiun 5039	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
18	17	eleq1i 2826	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
19	16, 18	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → (𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol))
20	19	rgen 3054	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol)
21	4, 6, 20	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ (ℝ ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol))
22		reex 11225	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	pwex 5355	. . . 4 ⊢ 𝒫 ℝ ∈ V
24	23, 3	ssexi 5297	. . 3 ⊢ dom vol ∈ V
25		issiga 34148	. . 3 ⊢ (dom vol ∈ V → (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ↔ (dom vol ⊆ 𝒫 ℝ ∧ (ℝ ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol)))))
26	24, 25	ax-mp 5	. 2 ⊢ (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ↔ (dom vol ⊆ 𝒫 ℝ ∧ (ℝ ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol))))
27	3, 21, 26	mpbir2an 711	1 ⊢ dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  Vcvv 3464   ∖ cdif 3928   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580  ∪ cuni 4888  ∪ ciun 4972   class class class wbr 5124  dom cdm 5659  ‘cfv 6536  ωcom 7866   ≈ cen 8961   ≼ cdom 8962  ℝcr 11133  ℕcn 12245  volcvol 25421  sigAlgebracsiga 34144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cc 10454  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-disj 5092  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xadd 13134  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-xmet 21313  df-met 21314  df-ovol 25422  df-vol 25423  df-siga 34145

This theorem is referenced by:  volmeas  34267  mbfmvolf  34303  elmbfmvol2  34304