Theorem dmvlsiga 34142

Description: Lebesgue-measurable subsets of ℝ form a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Sep-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 24-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dmvlsiga	⊢ dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

Proof of Theorem dmvlsiga

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssb 5047	. . 3 ⊢ (dom vol ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∀𝑥 ∈ dom vol𝑥 ⊆ ℝ)
2		mblss 25459	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom vol → 𝑥 ⊆ ℝ)
3	1, 2	mprgbir 3054	. 2 ⊢ dom vol ⊆ 𝒫 ℝ
4		rembl 25468	. . 3 ⊢ ℝ ∈ dom vol
5		cmmbl 25462	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol)
6	5	rgen 3049	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol
7		nnenom 13887	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ≈ ω
8	7	ensymi 8926	. . . . . . . 8 ⊢ ω ≈ ℕ
9		domentr 8935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
10	8, 9	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≼ ω → 𝑥 ≼ ℕ)
11		elpwi 4554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → 𝑥 ⊆ dom vol)
12		dfss3 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
13	11, 12	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
14		iunmbl2 25485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≼ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
15	10, 13, 14	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
16	15	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → (𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol))
17		uniiun 5005	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
18	17	eleq1i 2822	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
19	16, 18	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → (𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol))
20	19	rgen 3049	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol)
21	4, 6, 20	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ (ℝ ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol))
22		reex 11097	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	pwex 5316	. . . 4 ⊢ 𝒫 ℝ ∈ V
24	23, 3	ssexi 5258	. . 3 ⊢ dom vol ∈ V
25		issiga 34125	. . 3 ⊢ (dom vol ∈ V → (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ↔ (dom vol ⊆ 𝒫 ℝ ∧ (ℝ ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol)))))
26	24, 25	ax-mp 5	. 2 ⊢ (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ↔ (dom vol ⊆ 𝒫 ℝ ∧ (ℝ ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol))))
27	3, 21, 26	mpbir2an 711	1 ⊢ dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4547  ∪ cuni 4856  ∪ ciun 4939   class class class wbr 5089  dom cdm 5614  ‘cfv 6481  ωcom 7796   ≈ cen 8866   ≼ cdom 8867  ℝcr 11005  ℕcn 12125  volcvol 25391  sigAlgebracsiga 34121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10326  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-disj 5057  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xadd 13012  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-xmet 21284  df-met 21285  df-ovol 25392  df-vol 25393  df-siga 34122

This theorem is referenced by:  volmeas  34244  mbfmvolf  34279  elmbfmvol2  34280