Theorem dmvlsiga 34463

Description: Lebesgue-measurable subsets of ℝ form a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Sep-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 24-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dmvlsiga	⊢ dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

Proof of Theorem dmvlsiga

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssb 5071	. . 3 ⊢ (dom vol ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∀𝑥 ∈ dom vol𝑥 ⊆ ℝ)
2		mblss 25658	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom vol → 𝑥 ⊆ ℝ)
3	1, 2	mprgbir 3092	. 2 ⊢ dom vol ⊆ 𝒫 ℝ
4		rembl 25667	. . 3 ⊢ ℝ ∈ dom vol
5		cmmbl 25661	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol)
6	5	rgen 3087	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol
7		nnenom 14015	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ≈ ω
8	7	ensymi 9000	. . . . . . . 8 ⊢ ω ≈ ℕ
9		domentr 9009	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
10	8, 9	mpan2 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≼ ω → 𝑥 ≼ ℕ)
11		elpwi 4574	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → 𝑥 ⊆ dom vol)
12		dfss3 3934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
13	11, 12	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
14		iunmbl2 25684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≼ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
15	10, 13, 14	syl2anr 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
16	15	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → (𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol))
17		uniiun 5027	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
18	17	eleq1i 2860	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
19	16, 18	imbitrrdi 255	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → (𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol))
20	19	rgen 3087	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol)
21	4, 6, 20	3pm3.2i 1356	. 2 ⊢ (ℝ ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol))
22		reex 11190	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	pwex 5352	. . . 4 ⊢ 𝒫 ℝ ∈ V
24	23, 3	ssexi 5293	. . 3 ⊢ dom vol ∈ V
25		issiga 34446	. . 3 ⊢ (dom vol ∈ V → (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ↔ (dom vol ⊆ 𝒫 ℝ ∧ (ℝ ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol)))))
26	24, 25	ax-mp 5	. 2 ⊢ (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ↔ (dom vol ⊆ 𝒫 ℝ ∧ (ℝ ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → ∪ 𝑥 ∈ dom vol))))
27	3, 21, 26	mpbir2an 723	1 ⊢ dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567  ∪ cuni 4876  ∪ ciun 4960   class class class wbr 5113  dom cdm 5662  ‘cfv 6537  ωcom 7861   ≈ cen 8939   ≼ cdom 8940  ℝcr 11098  ℕcn 12232  volcvol 25590  sigAlgebracsiga 34442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cc 10418  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-disj 5081  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xadd 13137  df-ioo 13375  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-xmet 21483  df-met 21484  df-ovol 25591  df-vol 25592  df-siga 34443

This theorem is referenced by:  volmeas  34565  mbfmvolf  34600  elmbfmvol2  34601