Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dmvlsiga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmvlsiga 31293
Description: Lebesgue-measurable subsets of form a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Sep-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 24-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
dmvlsiga dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

Proof of Theorem dmvlsiga
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssb 5020 . . 3 (dom vol ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∀𝑥 ∈ dom vol𝑥 ⊆ ℝ)
2 mblss 24066 . . 3 (𝑥 ∈ dom vol → 𝑥 ⊆ ℝ)
31, 2mprgbir 3158 . 2 dom vol ⊆ 𝒫 ℝ
4 rembl 24075 . . 3 ℝ ∈ dom vol
5 cmmbl 24069 . . . 4 (𝑥 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol)
65rgen 3153 . . 3 𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol
7 nnenom 13343 . . . . . . . . 9 ℕ ≈ ω
87ensymi 8553 . . . . . . . 8 ω ≈ ℕ
9 domentr 8562 . . . . . . . 8 ((𝑥 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
108, 9mpan2 687 . . . . . . 7 (𝑥 ≼ ω → 𝑥 ≼ ℕ)
11 elpwi 4554 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → 𝑥 ⊆ dom vol)
12 dfss3 3960 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ dom vol ↔ ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
1311, 12sylib 219 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
14 iunmbl2 24092 . . . . . . 7 ((𝑥 ≼ ℕ ∧ ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol) → 𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
1510, 13, 14syl2anr 596 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
1615ex 413 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → (𝑥 ≼ ω → 𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol))
17 uniiun 4979 . . . . . 6 𝑥 = 𝑦𝑥 𝑦
1817eleq1i 2908 . . . . 5 ( 𝑥 ∈ dom vol ↔ 𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
1916, 18syl6ibr 253 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → (𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ dom vol))
2019rgen 3153 . . 3 𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ dom vol)
214, 6, 203pm3.2i 1333 . 2 (ℝ ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ dom vol))
22 reex 10622 . . . . 5 ℝ ∈ V
2322pwex 5278 . . . 4 𝒫 ℝ ∈ V
2423, 3ssexi 5223 . . 3 dom vol ∈ V
25 issiga 31276 . . 3 (dom vol ∈ V → (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ↔ (dom vol ⊆ 𝒫 ℝ ∧ (ℝ ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ dom vol)))))
2624, 25ax-mp 5 . 2 (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ↔ (dom vol ⊆ 𝒫 ℝ ∧ (ℝ ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ dom vol(ℝ ∖ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol(𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ dom vol))))
273, 21, 26mpbir2an 707 1 dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081  wcel 2107  wral 3143  Vcvv 3500  cdif 3937  wss 3940  𝒫 cpw 4542   cuni 4837   ciun 4917   class class class wbr 5063  dom cdm 5554  cfv 6354  ωcom 7573  cen 8500  cdom 8501  cr 10530  cn 11632  volcvol 23998  sigAlgebracsiga 31272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cc 9851  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-disj 5029  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xadd 12503  df-ioo 12737  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-xmet 20473  df-met 20474  df-ovol 23999  df-vol 24000  df-siga 31273
This theorem is referenced by:  volmeas  31395  mbfmvolf  31429  elmbfmvol2  31430
  Copyright terms: Public domain W3C validator