Theorem dpjeq 20326

Description: Decompose a group sum into projections. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p	⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjidcl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
dpjidcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dpjidcl.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
dpjeq.c	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐶) ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dpjeq	⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐶)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, 0   ℎ,𝑖,𝐺,𝑥   𝑃,ℎ,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥   𝐶,ℎ   ℎ,𝐼,𝑖,𝑥   𝑥,𝑊   𝐴,ℎ,𝑥   𝑆,ℎ,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑖)   𝐶(𝑥, 𝑖)   𝑃(𝑖)   𝑊(ℎ, 𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dpjeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpjfval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dpjfval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3		dpjfval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
4		dpjidcl.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
5		dpjidcl.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6		dpjidcl.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dpjidcl 20325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)))))
8	7	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴))))
9	8	eqeq1d 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐶)) ↔ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐶))))
10	7	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊)
11		dpjeq.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐶) ∈ 𝑊)
12	5, 6, 1, 2, 10, 11	dprdf11 20290	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐶)))
13		fvex 6929	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) ∈ V
14	13	rgenw 3084	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) ∈ V
15		mpteqb 7044	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) ∈ V → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = 𝐶))
16	14, 15	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = 𝐶))
17	9, 12, 16	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐶)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5658  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Xcixp 8963   finSupp cfsupp 9391  0_gc0g 17660   Σ_g cgsu 17661   DProd cdprd 20260  dProjcdpj 20261

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-gim 19523  df-cntz 19582  df-oppg 19611  df-lsm 19901  df-pj1 19902  df-cmn 20047  df-dprd 20262  df-dpj 20263

This theorem is used by:  dpjrid  20329  dchrptlem3  27650