MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjeq 19796
Description: Decompose a group sum into projections. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjidcl.3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
dpjidcl.0 0 = (0g𝐺)
dpjidcl.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
dpjeq.c (𝜑 → (𝑥𝐼𝐶) ∈ 𝑊)
Assertion
Ref Expression
dpjeq (𝜑 → (𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼𝐶)) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)‘𝐴) = 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,, 0   ,𝑖,𝐺,𝑥   𝑃,,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥   𝐶,   ,𝐼,𝑖,𝑥   𝑥,𝑊   𝐴,,𝑥   𝑆,,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐴(𝑖)   𝐶(𝑥,𝑖)   𝑃(𝑖)   𝑊(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dpjeq
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dpjfval.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3 dpjfval.p . . . . 5 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
4 dpjidcl.3 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
5 dpjidcl.0 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
6 dpjidcl.w . . . . 5 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
71, 2, 3, 4, 5, 6dpjidcl 19795 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)))))
87simprd 496 . . 3 (𝜑𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴))))
98eqeq1d 2739 . 2 (𝜑 → (𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼𝐶)) ↔ (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴))) = (𝐺 Σg (𝑥𝐼𝐶))))
107simpld 495 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊)
11 dpjeq.c . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐶) ∈ 𝑊)
125, 6, 1, 2, 10, 11dprdf11 19760 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴))) = (𝐺 Σg (𝑥𝐼𝐶)) ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) = (𝑥𝐼𝐶)))
13 fvex 6852 . . . 4 ((𝑃𝑥)‘𝐴) ∈ V
1413rgenw 3066 . . 3 𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)‘𝐴) ∈ V
15 mpteqb 6964 . . 3 (∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)‘𝐴) ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) = (𝑥𝐼𝐶) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)‘𝐴) = 𝐶))
1614, 15mp1i 13 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) = (𝑥𝐼𝐶) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)‘𝐴) = 𝐶))
179, 12, 163bitrd 304 1 (𝜑 → (𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼𝐶)) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)‘𝐴) = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  {crab 3405  Vcvv 3443   class class class wbr 5103  cmpt 5186  dom cdm 5631  cfv 6493  (class class class)co 7351  Xcixp 8793   finSupp cfsupp 9263  0gc0g 17280   Σg cgsu 17281   DProd cdprd 19730  dProjcdpj 19731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-tpos 8149  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-hash 14184  df-sets 16995  df-slot 17013  df-ndx 17025  df-base 17043  df-ress 17072  df-plusg 17105  df-0g 17282  df-gsum 17283  df-mre 17425  df-mrc 17426  df-acs 17428  df-mgm 18456  df-sgrp 18505  df-mnd 18516  df-mhm 18560  df-submnd 18561  df-grp 18710  df-minusg 18711  df-sbg 18712  df-mulg 18831  df-subg 18883  df-ghm 18964  df-gim 19007  df-cntz 19055  df-oppg 19082  df-lsm 19376  df-pj1 19377  df-cmn 19522  df-dprd 19732  df-dpj 19733
This theorem is referenced by:  dpjrid  19799  dchrptlem3  26565
  Copyright terms: Public domain W3C validator