MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjeq 19707
Description: Decompose a group sum into projections. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjidcl.3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
dpjidcl.0 0 = (0g𝐺)
dpjidcl.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
dpjeq.c (𝜑 → (𝑥𝐼𝐶) ∈ 𝑊)
Assertion
Ref Expression
dpjeq (𝜑 → (𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼𝐶)) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)‘𝐴) = 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,, 0   ,𝑖,𝐺,𝑥   𝑃,,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥   𝐶,   ,𝐼,𝑖,𝑥   𝑥,𝑊   𝐴,,𝑥   𝑆,,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐴(𝑖)   𝐶(𝑥,𝑖)   𝑃(𝑖)   𝑊(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dpjeq
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dpjfval.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3 dpjfval.p . . . . 5 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
4 dpjidcl.3 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
5 dpjidcl.0 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
6 dpjidcl.w . . . . 5 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
71, 2, 3, 4, 5, 6dpjidcl 19706 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)))))
87simprd 497 . . 3 (𝜑𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴))))
98eqeq1d 2738 . 2 (𝜑 → (𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼𝐶)) ↔ (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴))) = (𝐺 Σg (𝑥𝐼𝐶))))
107simpld 496 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊)
11 dpjeq.c . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐶) ∈ 𝑊)
125, 6, 1, 2, 10, 11dprdf11 19671 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴))) = (𝐺 Σg (𝑥𝐼𝐶)) ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) = (𝑥𝐼𝐶)))
13 fvex 6817 . . . 4 ((𝑃𝑥)‘𝐴) ∈ V
1413rgenw 3066 . . 3 𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)‘𝐴) ∈ V
15 mpteqb 6926 . . 3 (∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)‘𝐴) ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) = (𝑥𝐼𝐶) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)‘𝐴) = 𝐶))
1614, 15mp1i 13 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) = (𝑥𝐼𝐶) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)‘𝐴) = 𝐶))
179, 12, 163bitrd 305 1 (𝜑 → (𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼𝐶)) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)‘𝐴) = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1539  wcel 2104  wral 3062  {crab 3284  Vcvv 3437   class class class wbr 5081  cmpt 5164  dom cdm 5600  cfv 6458  (class class class)co 7307  Xcixp 8716   finSupp cfsupp 9172  0gc0g 17195   Σg cgsu 17196   DProd cdprd 19641  dProjcdpj 19642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-tpos 8073  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9173  df-oi 9313  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-seq 13768  df-hash 14091  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-0g 17197  df-gsum 17198  df-mre 17340  df-mrc 17341  df-acs 17343  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-mhm 18475  df-submnd 18476  df-grp 18625  df-minusg 18626  df-sbg 18627  df-mulg 18746  df-subg 18797  df-ghm 18877  df-gim 18920  df-cntz 18968  df-oppg 18995  df-lsm 19286  df-pj1 19287  df-cmn 19433  df-dprd 19643  df-dpj 19644
This theorem is referenced by:  dpjrid  19710  dchrptlem3  26459
  Copyright terms: Public domain W3C validator