Theorem dpjeq 19988

Description: Decompose a group sum into projections. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p	⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjidcl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
dpjidcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dpjidcl.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
dpjeq.c	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐶) ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dpjeq	⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐶)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, 0   ℎ,𝑖,𝐺,𝑥   𝑃,ℎ,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥   𝐶,ℎ   ℎ,𝐼,𝑖,𝑥   𝑥,𝑊   𝐴,ℎ,𝑥   𝑆,ℎ,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑖)   𝐶(𝑥,𝑖)   𝑃(𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dpjeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpjfval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dpjfval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3		dpjfval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
4		dpjidcl.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
5		dpjidcl.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6		dpjidcl.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dpjidcl 19987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)))))
8	7	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴))))
9	8	eqeq1d 2736	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐶)) ↔ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐶))))
10	7	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊)
11		dpjeq.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐶) ∈ 𝑊)
12	5, 6, 1, 2, 10, 11	dprdf11 19952	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐶)))
13		fvex 6845	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) ∈ V
14	13	rgenw 3053	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) ∈ V
15		mpteqb 6958	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) ∈ V → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = 𝐶))
16	14, 15	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = 𝐶))
17	9, 12, 16	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐶)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  {crab 3397  Vcvv 3438   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  dom cdm 5622  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Xcixp 8833   finSupp cfsupp 9262  0_gc0g 17357   Σ_g cgsu 17358   DProd cdprd 19922  dProjcdpj 19923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-gim 19186  df-cntz 19244  df-oppg 19273  df-lsm 19563  df-pj1 19564  df-cmn 19709  df-dprd 19924  df-dpj 19925

This theorem is referenced by:  dpjrid  19991  dchrptlem3  27231