Theorem dpjrid 19982

Description: The 𝑌-th index projection annihilates elements of other factors. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p	⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjlid.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
dpjlid.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
dpjrid.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dpjrid.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
dpjrid.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dpjrid	⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑌)‘𝐴) = 0 )

Proof of Theorem dpjrid

Dummy variables ℎ 𝑥 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6828	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑌))
2	1	fveq1d 6830	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = ((𝑃‘𝑌)‘𝐴))
3		eqeq1 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 = 𝑋 ↔ 𝑌 = 𝑋))
4	3	ifbid 4498	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
5	2, 4	eqeq12d 2747	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ↔ ((𝑃‘𝑌)‘𝐴) = if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 )))
6		dpjrid.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
7		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 } = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
8		dpjfval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
9		dpjfval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
10		dpjlid.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
11		dpjlid.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
12		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
13	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	dprdfid 19937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))) = 𝐴))
14	13	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))) = 𝐴)
15	14	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))))
16		dpjfval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
17	8, 9, 10	dprdub 19945	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
18	17, 11	sseldd 3930	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
19	13	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 })
20	8, 9, 16, 18, 6, 7, 19	dpjeq 19979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )))
21	15, 20	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
22		dpjrid.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
23	5, 21, 22	rspcdva 3573	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑌)‘𝐴) = if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
24		dpjrid.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)
25		ifnefalse 4486	. . 3 ⊢ (𝑌 ≠ 𝑋 → if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
26	24, 25	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
27	23, 26	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑌)‘𝐴) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  {crab 3395  ifcif 4474   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  dom cdm 5619  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  Xcixp 8827   finSupp cfsupp 9251  0_gc0g 17349   Σ_g cgsu 17350   DProd cdprd 19913  dProjcdpj 19914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9252  df-oi 9402  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-seq 13915  df-hash 14244  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-0g 17351  df-gsum 17352  df-mre 17494  df-mrc 17495  df-acs 17497  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-mhm 18697  df-submnd 18698  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-mulg 18987  df-subg 19042  df-ghm 19131  df-gim 19177  df-cntz 19235  df-oppg 19264  df-lsm 19554  df-pj1 19555  df-cmn 19700  df-dprd 19915  df-dpj 19916

This theorem is referenced by: (None)