Theorem dpjrid 19997

Description: The 𝑌-th index projection annihilates elements of other factors. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p	⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjlid.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
dpjlid.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
dpjrid.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dpjrid.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
dpjrid.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dpjrid	⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑌)‘𝐴) = 0 )

Proof of Theorem dpjrid

Dummy variables ℎ 𝑥 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6832	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑌))
2	1	fveq1d 6834	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = ((𝑃‘𝑌)‘𝐴))
3		eqeq1 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 = 𝑋 ↔ 𝑌 = 𝑋))
4	3	ifbid 4491	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
5	2, 4	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ↔ ((𝑃‘𝑌)‘𝐴) = if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 )))
6		dpjrid.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
7		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 } = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
8		dpjfval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
9		dpjfval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
10		dpjlid.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
11		dpjlid.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
12		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
13	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	dprdfid 19952	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))) = 𝐴))
14	13	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))) = 𝐴)
15	14	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))))
16		dpjfval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
17	8, 9, 10	dprdub 19960	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
18	17, 11	sseldd 3923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
19	13	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 })
20	8, 9, 16, 18, 6, 7, 19	dpjeq 19994	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )))
21	15, 20	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
22		dpjrid.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
23	5, 21, 22	rspcdva 3566	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑌)‘𝐴) = if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
24		dpjrid.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)
25		ifnefalse 4479	. . 3 ⊢ (𝑌 ≠ 𝑋 → if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
26	24, 25	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
27	23, 26	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑌)‘𝐴) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3390  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5622  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Xcixp 8836   finSupp cfsupp 9265  0_gc0g 17360   Σ_g cgsu 17361   DProd cdprd 19928  dProjcdpj 19929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-seq 13926  df-hash 14255  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-gim 19192  df-cntz 19250  df-oppg 19279  df-lsm 19569  df-pj1 19570  df-cmn 19715  df-dprd 19930  df-dpj 19931

This theorem is referenced by: (None)