MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjrid 18822
Description: The 𝑌-th index projection annihilates elements of other factors. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjlid.3 (𝜑𝑋𝐼)
dpjlid.4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑆𝑋))
dpjrid.0 0 = (0g𝐺)
dpjrid.5 (𝜑𝑌𝐼)
dpjrid.6 (𝜑𝑌𝑋)
Assertion
Ref Expression
dpjrid (𝜑 → ((𝑃𝑌)‘𝐴) = 0 )

Proof of Theorem dpjrid
Dummy variables 𝑥 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6437 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑌))
21fveq1d 6439 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑃𝑥)‘𝐴) = ((𝑃𝑌)‘𝐴))
3 eqeq1 2829 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 = 𝑋𝑌 = 𝑋))
43ifbid 4330 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
52, 4eqeq12d 2840 . . 3 (𝑥 = 𝑌 → (((𝑃𝑥)‘𝐴) = if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ↔ ((𝑃𝑌)‘𝐴) = if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 )))
6 dpjrid.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
7 eqid 2825 . . . . . . 7 {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 } = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
8 dpjfval.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
9 dpjfval.2 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
10 dpjlid.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐼)
11 dpjlid.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝑆𝑋))
12 eqid 2825 . . . . . . 7 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12dprdfid 18777 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))) = 𝐴))
1413simprd 491 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))) = 𝐴)
1514eqcomd 2831 . . . 4 (𝜑𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))))
16 dpjfval.p . . . . 5 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
178, 9, 10dprdub 18785 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
1817, 11sseldd 3828 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
1913simpld 490 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 })
208, 9, 16, 18, 6, 7, 19dpjeq 18819 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)‘𝐴) = if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )))
2115, 20mpbid 224 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)‘𝐴) = if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
22 dpjrid.5 . . 3 (𝜑𝑌𝐼)
235, 21, 22rspcdva 3532 . 2 (𝜑 → ((𝑃𝑌)‘𝐴) = if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
24 dpjrid.6 . . 3 (𝜑𝑌𝑋)
25 ifnefalse 4320 . . 3 (𝑌𝑋 → if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
2624, 25syl 17 . 2 (𝜑 → if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
2723, 26eqtrd 2861 1 (𝜑 → ((𝑃𝑌)‘𝐴) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  wral 3117  {crab 3121  ifcif 4308   class class class wbr 4875  cmpt 4954  dom cdm 5346  cfv 6127  (class class class)co 6910  Xcixp 8181   finSupp cfsupp 8550  0gc0g 16460   Σg cgsu 16461   DProd cdprd 18753  dProjcdpj 18754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-hash 13418  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-gim 18059  df-cntz 18107  df-oppg 18133  df-lsm 18409  df-pj1 18410  df-cmn 18555  df-dprd 18755  df-dpj 18756
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator