Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjrid 19198
 Description: The 𝑌-th index projection annihilates elements of other factors. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjlid.3 (𝜑𝑋𝐼)
dpjlid.4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑆𝑋))
dpjrid.0 0 = (0g𝐺)
dpjrid.5 (𝜑𝑌𝐼)
dpjrid.6 (𝜑𝑌𝑋)
Assertion
Ref Expression
dpjrid (𝜑 → ((𝑃𝑌)‘𝐴) = 0 )

Proof of Theorem dpjrid
Dummy variables 𝑥 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6655 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑌))
21fveq1d 6657 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑃𝑥)‘𝐴) = ((𝑃𝑌)‘𝐴))
3 eqeq1 2802 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 = 𝑋𝑌 = 𝑋))
43ifbid 4450 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
52, 4eqeq12d 2814 . . 3 (𝑥 = 𝑌 → (((𝑃𝑥)‘𝐴) = if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ↔ ((𝑃𝑌)‘𝐴) = if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 )))
6 dpjrid.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
7 eqid 2798 . . . . . . 7 {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 } = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
8 dpjfval.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
9 dpjfval.2 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
10 dpjlid.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐼)
11 dpjlid.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝑆𝑋))
12 eqid 2798 . . . . . . 7 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12dprdfid 19153 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))) = 𝐴))
1413simprd 499 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))) = 𝐴)
1514eqcomd 2804 . . . 4 (𝜑𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))))
16 dpjfval.p . . . . 5 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
178, 9, 10dprdub 19161 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
1817, 11sseldd 3918 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
1913simpld 498 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 })
208, 9, 16, 18, 6, 7, 19dpjeq 19195 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)‘𝐴) = if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )))
2115, 20mpbid 235 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)‘𝐴) = if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
22 dpjrid.5 . . 3 (𝜑𝑌𝐼)
235, 21, 22rspcdva 3574 . 2 (𝜑 → ((𝑃𝑌)‘𝐴) = if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
24 dpjrid.6 . . 3 (𝜑𝑌𝑋)
25 ifnefalse 4440 . . 3 (𝑌𝑋 → if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
2624, 25syl 17 . 2 (𝜑 → if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
2723, 26eqtrd 2833 1 (𝜑 → ((𝑃𝑌)‘𝐴) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  {crab 3110  ifcif 4428   class class class wbr 5034   ↦ cmpt 5114  dom cdm 5523  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  Xcixp 8462   finSupp cfsupp 8835  0gc0g 16725   Σg cgsu 16726   DProd cdprd 19129  dProjcdpj 19130 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-tpos 7893  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-hash 13707  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-mhm 17968  df-submnd 17969  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-sbg 18120  df-mulg 18238  df-subg 18289  df-ghm 18369  df-gim 18412  df-cntz 18460  df-oppg 18487  df-lsm 18774  df-pj1 18775  df-cmn 18921  df-dprd 19131  df-dpj 19132 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator