Theorem dpjrid 20114

Description: The 𝑌-th index projection annihilates elements of other factors. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p	⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjlid.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
dpjlid.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
dpjrid.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dpjrid.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
dpjrid.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dpjrid	⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑌)‘𝐴) = 0 )

Proof of Theorem dpjrid

Dummy variables ℎ 𝑥 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6867	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑌))
2	1	fveq1d 6869	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = ((𝑃‘𝑌)‘𝐴))
3		eqeq1 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 = 𝑋 ↔ 𝑌 = 𝑋))
4	3	ifbid 4505	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
5	2, 4	eqeq12d 2779	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ↔ ((𝑃‘𝑌)‘𝐴) = if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 )))
6		dpjrid.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
7		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 } = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
8		dpjfval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
9		dpjfval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
10		dpjlid.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
11		dpjlid.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
12		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
13	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	dprdfid 20069	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))) = 𝐴))
14	13	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))) = 𝐴)
15	14	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))))
16		dpjfval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
17	8, 9, 10	dprdub 20077	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
18	17, 11	sseldd 3938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
19	13	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 })
20	8, 9, 16, 18, 6, 7, 19	dpjeq 20111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )))
21	15, 20	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
22		dpjrid.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
23	5, 21, 22	rspcdva 3583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑌)‘𝐴) = if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
24		dpjrid.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)
25		ifnefalse 4493	. . 3 ⊢ (𝑌 ≠ 𝑋 → if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
26	24, 25	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
27	23, 26	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑌)‘𝐴) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3077  {crab 3415  ifcif 4481   class class class wbr 5101   ↦ cmpt 5182  dom cdm 5648  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Xcixp 8879   finSupp cfsupp 9305  0_gc0g 17478   Σ_g cgsu 17479   DProd cdprd 20045  dProjcdpj 20046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9306  df-oi 9456  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14025  df-hash 14354  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-0g 17480  df-gsum 17481  df-mre 17624  df-mrc 17625  df-acs 17627  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-mhm 18827  df-submnd 18828  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-sbg 18990  df-mulg 19120  df-subg 19175  df-ghm 19264  df-gim 19309  df-cntz 19367  df-oppg 19396  df-lsm 19686  df-pj1 19687  df-cmn 19832  df-dprd 20047  df-dpj 20048

This theorem is referenced by: (None)