Theorem dpjrid 19969

Description: The 𝑌-th index projection annihilates elements of other factors. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p	⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjlid.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
dpjlid.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
dpjrid.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dpjrid.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
dpjrid.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dpjrid	⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑌)‘𝐴) = 0 )

Proof of Theorem dpjrid

Dummy variables ℎ 𝑥 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6817	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑌))
2	1	fveq1d 6819	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = ((𝑃‘𝑌)‘𝐴))
3		eqeq1 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 = 𝑋 ↔ 𝑌 = 𝑋))
4	3	ifbid 4497	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
5	2, 4	eqeq12d 2746	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ↔ ((𝑃‘𝑌)‘𝐴) = if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 )))
6		dpjrid.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
7		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 } = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
8		dpjfval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
9		dpjfval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
10		dpjlid.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
11		dpjlid.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
12		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
13	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	dprdfid 19924	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))) = 𝐴))
14	13	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))) = 𝐴)
15	14	eqcomd 2736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))))
16		dpjfval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
17	8, 9, 10	dprdub 19932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
18	17, 11	sseldd 3933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
19	13	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 })
20	8, 9, 16, 18, 6, 7, 19	dpjeq 19966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )))
21	15, 20	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
22		dpjrid.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
23	5, 21, 22	rspcdva 3576	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑌)‘𝐴) = if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
24		dpjrid.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)
25		ifnefalse 4485	. . 3 ⊢ (𝑌 ≠ 𝑋 → if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
26	24, 25	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
27	23, 26	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑌)‘𝐴) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  {crab 3393  ifcif 4473   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  dom cdm 5614  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Xcixp 8816   finSupp cfsupp 9240  0_gc0g 17335   Σ_g cgsu 17336   DProd cdprd 19900  dProjcdpj 19901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-oi 9391  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-seq 13901  df-hash 14230  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-mhm 18683  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-mulg 18973  df-subg 19028  df-ghm 19118  df-gim 19164  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-lsm 19541  df-pj1 19542  df-cmn 19687  df-dprd 19902  df-dpj 19903

This theorem is referenced by: (None)