Theorem dpjrid 20308

Description: The 𝑌-th index projection annihilates elements of other factors. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p	⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjlid.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
dpjlid.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
dpjrid.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dpjrid.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
dpjrid.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dpjrid	⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑌)‘𝐴) = 0 )

Proof of Theorem dpjrid

Dummy variables ℎ 𝑥 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6908	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑌))
2	1	fveq1d 6910	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = ((𝑃‘𝑌)‘𝐴))
3		eqeq1 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 = 𝑋 ↔ 𝑌 = 𝑋))
4	3	ifbid 4509	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
5	2, 4	eqeq12d 2779	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ↔ ((𝑃‘𝑌)‘𝐴) = if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 )))
6		dpjrid.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
7		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 } = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
8		dpjfval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
9		dpjfval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
10		dpjlid.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
11		dpjlid.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
12		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
13	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	dprdfid 20263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))) = 𝐴))
14	13	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))) = 𝐴)
15	14	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))))
16		dpjfval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
17	8, 9, 10	dprdub 20271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
18	17, 11	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
19	13	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 })
20	8, 9, 16, 18, 6, 7, 19	dpjeq 20305	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )))
21	15, 20	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
22		dpjrid.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
23	5, 21, 22	rspcdva 3581	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑌)‘𝐴) = if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
24		dpjrid.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)
25		ifnefalse 4497	. . 3 ⊢ (𝑌 ≠ 𝑋 → if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
26	24, 25	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑌 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
27	23, 26	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘𝑌)‘𝐴) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {crab 3416  ifcif 4485   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Xcixp 8953   finSupp cfsupp 9381  0_gc0g 17639   Σ_g cgsu 17640   DProd cdprd 20239  dProjcdpj 20240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-hash 14502  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-mulg 19307  df-subg 19362  df-ghm 19457  df-gim 19502  df-cntz 19561  df-oppg 19590  df-lsm 19880  df-pj1 19881  df-cmn 20026  df-dprd 20241  df-dpj 20242

This theorem is used by: (None)