Theorem dprdub 20268

Description: Each factor is a subset of the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdub.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdub.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdub.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dprdub	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))

Proof of Theorem dprdub

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}
3		dprdub.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
4	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → 𝐺dom DProd 𝑆)
5		dprdub.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → dom 𝑆 = 𝐼)
7		dprdub.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
8	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐼)
9		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋))
10		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺))) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺)))
11	1, 2, 4, 6, 8, 9, 10	dprdfid 20260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺))) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺)))) = 𝑥))
12	11	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺)))) = 𝑥)
13	11	simpld 500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺))) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
14	1, 2, 4, 6, 13	eldprdi 20261	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺)))) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
15	12, 14	eqeltrrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
16	15	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋) → 𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
17	16	ssrdv 3919	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416   ⊆ wss 3900  ifcif 4485   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Xcixp 8950   finSupp cfsupp 9378  0_gc0g 17636   Σ_g cgsu 17637   DProd cdprd 20236

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-dprd 20238

This theorem is used by:  dprdspan  20270  dprd2dlem2  20283  dprd2da  20285  dmdprdsplit2lem  20288  dprdsplit  20291  dpjrid  20305  ablfac1c  20314