Theorem dprdub 20160

Description: Each factor is a subset of the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdub.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdub.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdub.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dprdub	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))

Proof of Theorem dprdub

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
2		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}
3		dprdub.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
4	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → 𝐺dom DProd 𝑆)
5		dprdub.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → dom 𝑆 = 𝐼)
7		dprdub.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
8	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐼)
9		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋))
10		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺))) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺)))
11	1, 2, 4, 6, 8, 9, 10	dprdfid 20152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺))) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺)))) = 𝑥))
12	11	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺)))) = 𝑥)
13	11	simpld 500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺))) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
14	1, 2, 4, 6, 13	eldprdi 20153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺)))) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
15	12, 14	eqeltrrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
16	15	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋) → 𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
17	16	ssrdv 3940	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414   ⊆ wss 3902  ifcif 4485   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Xcixp 8908   finSupp cfsupp 9335  0_gc0g 17530   Σ_g cgsu 17531   DProd cdprd 20128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-dprd 20130

This theorem is used by:  dprdspan  20162  dprd2dlem2  20175  dprd2da  20177  dmdprdsplit2lem  20180  dprdsplit  20183  dpjrid  20197  ablfac1c  20206