Theorem dprdub 20069

Description: Each factor is a subset of the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdub.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdub.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdub.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dprdub	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))

Proof of Theorem dprdub

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
2		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}
3		dprdub.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
4	3	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → 𝐺dom DProd 𝑆)
5		dprdub.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
6	5	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → dom 𝑆 = 𝐼)
7		dprdub.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
8	7	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐼)
9		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋))
10		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺))) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺)))
11	1, 2, 4, 6, 8, 9, 10	dprdfid 20061	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺))) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺)))) = 𝑥))
12	11	simprd 499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺)))) = 𝑥)
13	11	simpld 498	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺))) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
14	1, 2, 4, 6, 13	eldprdi 20062	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺)))) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
15	12, 14	eqeltrrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
16	15	ex 416	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋) → 𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
17	16	ssrdv 3944	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  {crab 3416   ⊆ wss 3906  ifcif 4482   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5649  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Xcixp 8881   finSupp cfsupp 9309  0_gc0g 17470   Σ_g cgsu 17471   DProd cdprd 20037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14017  df-hash 14346  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-mre 17616  df-mrc 17617  df-acs 17619  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-submnd 18820  df-grp 18980  df-mulg 19112  df-subg 19167  df-cntz 19359  df-cmn 19824  df-dprd 20039

This theorem is referenced by:  dprdspan  20071  dprd2dlem2  20084  dprd2da  20086  dmdprdsplit2lem  20089  dprdsplit  20092  dpjrid  20106  ablfac1c  20115