Theorem dprdub 20097

Description: Each factor is a subset of the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdub.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdub.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdub.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dprdub	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))

Proof of Theorem dprdub

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
2		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}
3		dprdub.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
4	3	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → 𝐺dom DProd 𝑆)
5		dprdub.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
6	5	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → dom 𝑆 = 𝐼)
7		dprdub.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
8	7	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐼)
9		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋))
10		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺))) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺)))
11	1, 2, 4, 6, 8, 9, 10	dprdfid 20089	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺))) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺)))) = 𝑥))
12	11	simprd 500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺)))) = 𝑥)
13	11	simpld 499	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺))) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
14	1, 2, 4, 6, 13	eldprdi 20090	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g‘𝐺)))) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
15	12, 14	eqeltrrd 2870	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
16	15	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆‘𝑋) → 𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
17	16	ssrdv 3949	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3422   ⊆ wss 3911  ifcif 4490   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Xcixp 8895   finSupp cfsupp 9321  0_gc0g 17492   Σ_g cgsu 17493   DProd cdprd 20065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-dprd 20067

This theorem is referenced by:  dprdspan  20099  dprd2dlem2  20112  dprd2da  20114  dmdprdsplit2lem  20117  dprdsplit  20120  dpjrid  20134  ablfac1c  20143