Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdub 19143
 Description: Each factor is a subset of the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdub.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdub.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdub.3 (𝜑𝑋𝐼)
Assertion
Ref Expression
dprdub (𝜑 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))

Proof of Theorem dprdub
Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
2 eqid 2801 . . . . . 6 {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}
3 dprdub.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
43adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆𝑋)) → 𝐺dom DProd 𝑆)
5 dprdub.2 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
65adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆𝑋)) → dom 𝑆 = 𝐼)
7 dprdub.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐼)
87adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆𝑋)) → 𝑋𝐼)
9 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝑆𝑋))
10 eqid 2801 . . . . . 6 (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g𝐺))) = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g𝐺)))
111, 2, 4, 6, 8, 9, 10dprdfid 19135 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆𝑋)) → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g𝐺))) ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g𝐺)))) = 𝑥))
1211simprd 499 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆𝑋)) → (𝐺 Σg (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g𝐺)))) = 𝑥)
1311simpld 498 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆𝑋)) → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g𝐺))) ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
141, 2, 4, 6, 13eldprdi 19136 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆𝑋)) → (𝐺 Σg (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝑥, (0g𝐺)))) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
1512, 14eqeltrrd 2894 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
1615ex 416 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆𝑋) → 𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
1716ssrdv 3924 1 (𝜑 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {crab 3113   ⊆ wss 3884  ifcif 4428   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  dom cdm 5523  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Xcixp 8448   finSupp cfsupp 8821  0gc0g 16708   Σg cgsu 16709   DProd cdprd 19111 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-dprd 19113 This theorem is referenced by:  dprdspan  19145  dprd2dlem2  19158  dprd2da  19160  dmdprdsplit2lem  19163  dprdsplit  19166  dpjrid  19180  ablfac1c  19189
 Copyright terms: Public domain W3C validator