Theorem aks6d1c7 43328

Description: 𝑁 is a prime power if the hypotheses of the AKS algorithm hold. Claim 7 of Theorem 6.1 https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf. (Contributed by metakunt, 16-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c7.1	⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks6d1c7.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c7.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c7.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c7.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c7.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks6d1c7.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c7.8	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c7.9	⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks6d1c7.10	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
aks6d1c7.11	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
aks6d1c7.12	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks6d1c7.13	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
aks6d1c7.14	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c7	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))

Distinct variable groups:   ∼ ,𝑎   𝐴,𝑎   𝐴,𝑏   𝐴,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝐾,𝑎   𝐾,𝑏   𝑒,𝐾,𝑓,𝑦   𝑥,𝐾   𝑀,𝑎   𝑀,𝑏   𝑥,𝑀,𝑦   𝑁,𝑎   𝑁,𝑏   𝑒,𝑁,𝑓,𝑦   𝑥,𝑁   𝑃,𝑎   𝑃,𝑏   𝑃,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝑃   𝑅,𝑎   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝑅   𝜑,𝑎   𝜑,𝑏   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒, 𝑓)   ∼ (𝑥, 𝑦, 𝑒, 𝑓, 𝑏)   𝑅(𝑏)   𝑀(𝑒, 𝑓)

Proof of Theorem aks6d1c7

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 = 𝑟)
2		aks6d1c7.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
3	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → 𝑃 ∥ 𝑁)
4		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑃 → (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
5		eqeq1 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑃 → (𝑠 = 𝑟 ↔ 𝑃 = 𝑟))
6	4, 5	bibi12d 348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑃 → ((𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟) ↔ (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 = 𝑟)))
7		nfv 1946	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑠(𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)
8		nfv 1946	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑝(𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟)
9		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 ∥ 𝑁))
10		equequ1 2057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 = 𝑟 ↔ 𝑠 = 𝑟))
11	9, 10	bibi12d 348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → ((𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟) ↔ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟)))
12	7, 8, 11	cbvralw 3304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟) ↔ ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟))
13	12	bilani 510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟))
14		aks6d1c7.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
15	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → 𝑃 ∈ ℙ)
16	6, 13, 15	rspcdva 3577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 = 𝑟))
17	16	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 ∥ 𝑁 → 𝑃 = 𝑟))
18	3, 17	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → 𝑃 = 𝑟)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 = 𝑟)
20	19	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑟 = 𝑃)
21	1, 20	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 = 𝑃)
22	21	oveq1d 7436	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt 𝑁))
23		aks6d1c7.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
24		eluzelz 12979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
26		0red 11315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27		3re 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 3 ∈ ℝ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
29	25	zred 12807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
30		3pos 12455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 3
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
32		eluzle 12982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
33	23, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
34	26, 28, 29, 31, 33	ltletrd 11474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
35	25, 34	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
36		elnnz 12707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
37	35, 36	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
38		pcelnn 17054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
39	14, 37, 38	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
40	2, 39	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
41	40	nncnd 12355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℂ)
42	41	mulridd 11330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) · 1) = (𝑃 pCnt 𝑁))
43	42	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · 1))
44		1nn0 12626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ0
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
46		pcidlem 17056	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
47	14, 45, 46	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
48	47	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑃 pCnt (𝑃↑1)))
49		prmnn 16855	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
50	14, 49	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
51	50	nncnd 12355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
52	51	exp1d 14288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
53	52	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = (𝑃 pCnt 𝑃))
54	48, 53	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑃 pCnt 𝑃))
55	54	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) · 1) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
56	43, 55	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
57	56	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
58	57	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
59	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℙ)
60		nnq 13093	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
61	50, 60	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℚ)
62	50	nnne0d 12392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
63	61, 62	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0))
64	63	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0))
65	64	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0))
66	40	nnzd 12723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
67	66	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
68	67	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
69	68	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
70	69	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
71		pcexp 17043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
72	59, 65, 70, 71	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
73	72	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
74	58, 73	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
75	21	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 = 𝑞)
76	75	oveq1d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
77	74, 76	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
78	22, 77	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
79		breq1 5105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑞 → (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑞 ∥ 𝑁))
80		equequ1 2057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑞 → (𝑠 = 𝑟 ↔ 𝑞 = 𝑟))
81	79, 80	bibi12d 348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑞 → ((𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟) ↔ (𝑞 ∥ 𝑁 ↔ 𝑞 = 𝑟)))
82	13	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟))
83		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
84	81, 82, 83	rspcdva 3577	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ 𝑁 ↔ 𝑞 = 𝑟))
85	84	bicomd 226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 = 𝑟 ↔ 𝑞 ∥ 𝑁))
86	85	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (¬ 𝑞 = 𝑟 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
87	86	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 ∥ 𝑁)
88	83	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ∈ ℙ)
89	37	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
90	89	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑁 ∈ ℕ)
91		pceq0 17055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
92	88, 90, 91	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ((𝑞 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
93	87, 92	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = 0)
94		neqne 2963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑞 = 𝑟 → 𝑞 ≠ 𝑟)
95	94	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ≠ 𝑟)
96	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑃 ∥ 𝑁)
97	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
98	6, 82, 97	rspcdva 3577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 = 𝑟))
99	98	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 𝑁 → 𝑃 = 𝑟))
100	96, 99	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑃 = 𝑟)
101	100	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 = 𝑟)
102	101	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑟 = 𝑃)
103	95, 102	neeqtrd 3024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ≠ 𝑃)
104	103	neneqd 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 = 𝑃)
105		prmuz2 16877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘2))
106	105	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘2))
107	106	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘2))
108	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℙ)
109		dvdsprm 16885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ 𝑃 ↔ 𝑞 = 𝑃))
110	107, 108, 109	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 ∥ 𝑃 ↔ 𝑞 = 𝑃))
111	104, 110	mtbird 328	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 ∥ 𝑃)
112	50	ad4antr 745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℕ)
113	112	nnzd 12723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℤ)
114	40	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
115	114	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
116	115	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
117	116	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
118		prmdvdsexp 16897	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ 𝑞 ∥ 𝑃))
119	88, 113, 117, 118	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ 𝑞 ∥ 𝑃))
120	111, 119	mtbird 328	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
121	108, 90	pccld 17034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
122	112, 121	nnexpcld 14393	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ)
123		pceq0 17055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
124	88, 122, 123	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ((𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
125	120, 124	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 0)
126	125	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 0 = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
127	93, 126	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
128	78, 127	pm2.61dan 825	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
129	128	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
130		aks6d1c7.1	. . . . 5 ⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
131		aks6d1c7.2	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
132		aks6d1c7.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
133		aks6d1c7.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
134		aks6d1c7.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
135		aks6d1c7.9	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
136		aks6d1c7.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
137		aks6d1c7.11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
138		aks6d1c7.12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
139		aks6d1c7.13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
140		aks6d1c7.14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
141	130, 131, 132, 14, 133, 23, 2, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140	aks6d1c7lem4 43327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)
142		reu6 3683	. . . 4 ⊢ (∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟))
143	141, 142	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟))
144	129, 143	r19.29a 3170	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
145	37	nnnn0d 12671	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
146	50	nnnn0d 12671	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
147	14, 37	pccld 17034	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
148	146, 147	nn0expcld 14394	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ0)
149		pc11 17064	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))))
150	145, 148, 149	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))))
151	144, 150	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3363   class class class wbr 5102  {copab 5166   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   · cmul 11209   < clt 11347   ≤ cle 11348  ℕcn 12339  2c2 12401  3c3 12402  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969  ℚcq 13079  ...cfz 13643  ⌊cfl 13934  ↑cexp 14208  √csqrt 15406   ∥ cdvds 16428   gcd cgcd 16670  ℙcprime 16852  od_ℤcodz 16946  ϕcphi 16947   pCnt cpc 17020  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  ._gcmg 19283  mulGrpcmgp 20366   RingIso crs 20706  Fieldcfield 20987  ℤRHomczrh 21811  chrcchr 21813  algSccascl 22166  var₁cv1 22500  Poly₁cpl1 22501  eval₁ce1 22638   log_b clogb 27098   PrimRoots cprimroots 43235

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283  ax-mulf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-ofr 7695  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8721  df-ec 8723  df-qs 8727  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ioc 13485  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-bc 14451  df-hash 14479  df-shft 15226  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-prod 16079  df-fallfac 16180  df-ef 16239  df-sin 16241  df-cos 16242  df-pi 16244  df-dvds 16429  df-gcd 16671  df-prm 16853  df-odz 16948  df-phi 16949  df-pc 17021  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-pt 17621  df-prds 17624  df-pws 17626  df-xrs 17680  df-qtop 17685  df-imas 17686  df-qus 17687  df-xps 17688  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mhm 18984  df-submnd 18985  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-mulg 19284  df-subg 19339  df-nsg 19340  df-eqg 19341  df-ghm 19434  df-gim 19479  df-cntz 19537  df-od 19748  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-srg 20419  df-ring 20467  df-cring 20468  df-oppr 20573  df-dvdsr 20593  df-unit 20594  df-invr 20624  df-dvr 20637  df-rhm 20708  df-rim 20709  df-nzr 20769  df-subrng 20804  df-subrg 20828  df-rlreg 20952  df-domn 20953  df-idom 20954  df-drng 20988  df-field 20989  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lsp 21253  df-sra 21454  df-rgmod 21455  df-lidl 21492  df-rsp 21493  df-2idl 21549  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-fbas 21681  df-fg 21682  df-cnfld 21685  df-zring 21759  df-zrh 21815  df-chr 21817  df-zn 21818  df-assa 22167  df-asp 22168  df-ascl 22169  df-psr 22223  df-mvr 22224  df-mpl 22225  df-opsr 22227  df-evls 22389  df-evl 22390  df-psr1 22504  df-vr1 22505  df-ply1 22506  df-coe1 22507  df-evl1 22640  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-nei 23422  df-lp 23460  df-perf 23461  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-haus 23639  df-tx 23887  df-hmeo 24080  df-fil 24171  df-fm 24263  df-flim 24264  df-flf 24265  df-xms 24645  df-ms 24646  df-tms 24647  df-cncf 25205  df-limc 26192  df-dv 26193  df-mdeg 26379  df-deg1 26380  df-mon1 26455  df-uc1p 26456  df-q1p 26457  df-r1p 26458  df-log 26890  df-cxp 26891  df-logb 27099  df-primroots 43236

This theorem is used by:  aks5lem6  43336