Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks6d1c7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks6d1c7 42185
Description: 𝑁 is a prime power if the hypotheses of the AKS algorithm hold. Claim 7 of Theorem 6.1 https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf. (Contributed by metakunt, 16-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks6d1c7.1 = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks6d1c7.2 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c7.3 (𝜑𝐾 ∈ Field)
aks6d1c7.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c7.5 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c7.6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
aks6d1c7.7 (𝜑𝑃𝑁)
aks6d1c7.8 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c7.9 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks6d1c7.10 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((od𝑅)‘𝑁))
aks6d1c7.11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
aks6d1c7.12 (𝜑𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks6d1c7.13 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
aks6d1c7.14 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
Assertion
Ref Expression
aks6d1c7 (𝜑𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
Distinct variable groups:   ,𝑎   𝐴,𝑎   𝐴,𝑏   𝐴,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝐾,𝑎   𝐾,𝑏   𝑒,𝐾,𝑓,𝑦   𝑥,𝐾   𝑀,𝑎   𝑀,𝑏   𝑥,𝑀,𝑦   𝑁,𝑎   𝑁,𝑏   𝑒,𝑁,𝑓,𝑦   𝑥,𝑁   𝑃,𝑎   𝑃,𝑏   𝑃,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝑃   𝑅,𝑎   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝑅   𝜑,𝑎   𝜑,𝑏   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑓)   (𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑏)   𝑅(𝑏)   𝑀(𝑒,𝑓)

Proof of Theorem aks6d1c7
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 = 𝑟)
2 aks6d1c7.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃𝑁)
32ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) → 𝑃𝑁)
4 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑃 → (𝑠𝑁𝑃𝑁))
5 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑃 → (𝑠 = 𝑟𝑃 = 𝑟))
64, 5bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑃 → ((𝑠𝑁𝑠 = 𝑟) ↔ (𝑃𝑁𝑃 = 𝑟)))
7 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑠(𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)
8 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑝(𝑠𝑁𝑠 = 𝑟)
9 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 𝑠 → (𝑝𝑁𝑠𝑁))
10 equequ1 2024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 = 𝑟𝑠 = 𝑟))
119, 10bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑠 → ((𝑝𝑁𝑝 = 𝑟) ↔ (𝑠𝑁𝑠 = 𝑟)))
127, 8, 11cbvralw 3306 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟) ↔ ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠𝑁𝑠 = 𝑟))
1312biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟) → ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠𝑁𝑠 = 𝑟))
1413adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) → ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠𝑁𝑠 = 𝑟))
15 aks6d1c7.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
1615ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) → 𝑃 ∈ ℙ)
176, 14, 16rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) → (𝑃𝑁𝑃 = 𝑟))
1817biimpd 229 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) → (𝑃𝑁𝑃 = 𝑟))
193, 18mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) → 𝑃 = 𝑟)
2019ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 = 𝑟)
2120eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑟 = 𝑃)
221, 21eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 = 𝑃)
2322oveq1d 7446 . . . . . 6 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt 𝑁))
24 aks6d1c7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
25 eluzelz 12888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
27 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
28 3re 12346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 ∈ ℝ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
3026zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
31 3pos 12371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 3
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < 3)
33 eluzle 12891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
3424, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
3527, 29, 30, 32, 34ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 < 𝑁)
3626, 35jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
37 elnnz 12623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3836, 37sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
39 pcelnn 16908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃𝑁))
4015, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃𝑁))
412, 40mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
4241nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℂ)
4342mulridd 11278 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) · 1) = (𝑃 pCnt 𝑁))
4443eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · 1))
45 1nn0 12542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
47 pcidlem 16910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
4815, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
4948eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 = (𝑃 pCnt (𝑃↑1)))
50 prmnn 16711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
5115, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
5251nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
5352exp1d 14181 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
5453oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = (𝑃 pCnt 𝑃))
5549, 54eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 = (𝑃 pCnt 𝑃))
5655oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) · 1) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
5744, 56eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
5857adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
5958ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
6016ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℙ)
61 nnq 13004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
6251, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℚ)
6351nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ≠ 0)
6462, 63jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0))
6665ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0))
6741nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
7170adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
72 pcexp 16897 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
7360, 66, 71, 72syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
7473eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
7559, 74eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
7622eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 = 𝑞)
7776oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
7875, 77eqtrd 2777 . . . . . 6 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
7923, 78eqtrd 2777 . . . . 5 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
80 breq1 5146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑞 → (𝑠𝑁𝑞𝑁))
81 equequ1 2024 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑞 → (𝑠 = 𝑟𝑞 = 𝑟))
8280, 81bibi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑞 → ((𝑠𝑁𝑠 = 𝑟) ↔ (𝑞𝑁𝑞 = 𝑟)))
8314adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠𝑁𝑠 = 𝑟))
84 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
8582, 83, 84rspcdva 3623 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞𝑁𝑞 = 𝑟))
8685bicomd 223 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 = 𝑟𝑞𝑁))
8786notbid 318 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (¬ 𝑞 = 𝑟 ↔ ¬ 𝑞𝑁))
8887biimpa 476 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞𝑁)
8984adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ∈ ℙ)
9038adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
9190ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑁 ∈ ℕ)
92 pceq0 16909 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑞𝑁))
9389, 91, 92syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ((𝑞 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑞𝑁))
9488, 93mpbird 257 . . . . . 6 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = 0)
95 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . 13 𝑞 = 𝑟𝑞𝑟)
9695adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞𝑟)
973adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑃𝑁)
9816adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
996, 83, 98rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃𝑁𝑃 = 𝑟))
10099biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃𝑁𝑃 = 𝑟))
10197, 100mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑃 = 𝑟)
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 = 𝑟)
103102eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑟 = 𝑃)
10496, 103neeqtrd 3010 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞𝑃)
105104neneqd 2945 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 = 𝑃)
106 prmuz2 16733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ (ℤ‘2))
107106adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ (ℤ‘2))
108107adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ∈ (ℤ‘2))
10916ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℙ)
110 dvdsprm 16740 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑞𝑃𝑞 = 𝑃))
111108, 109, 110syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞𝑃𝑞 = 𝑃))
112105, 111mtbird 325 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞𝑃)
11351ad4antr 732 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℕ)
114113nnzd 12640 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℤ)
11541adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
116115adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
117116adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
118117adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
119 prmdvdsexp 16752 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ 𝑞𝑃))
12089, 114, 118, 119syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ 𝑞𝑃))
121112, 120mtbird 325 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
122109, 91pccld 16888 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
123113, 122nnexpcld 14284 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ)
124 pceq0 16909 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
12589, 123, 124syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ((𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
126121, 125mpbird 257 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 0)
127126eqcomd 2743 . . . . . 6 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 0 = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
12894, 127eqtrd 2777 . . . . 5 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
12979, 128pm2.61dan 813 . . . 4 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
130129ralrimiva 3146 . . 3 (((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
131 aks6d1c7.1 . . . . 5 = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
132 aks6d1c7.2 . . . . 5 𝑃 = (chr‘𝐾)
133 aks6d1c7.3 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Field)
134 aks6d1c7.5 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
135 aks6d1c7.8 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
136 aks6d1c7.9 . . . . 5 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
137 aks6d1c7.10 . . . . 5 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((od𝑅)‘𝑁))
138 aks6d1c7.11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
139 aks6d1c7.12 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
140 aks6d1c7.13 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
141 aks6d1c7.14 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
142131, 132, 133, 15, 134, 24, 2, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141aks6d1c7lem4 42184 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
143 reu6 3732 . . . 4 (∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁 ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟))
144142, 143sylib 218 . . 3 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟))
145130, 144r19.29a 3162 . 2 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
14638nnnn0d 12587 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
14751nnnn0d 12587 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
14815, 38pccld 16888 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
149147, 148nn0expcld 14285 . . 3 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ0)
150 pc11 16918 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))))
151146, 149, 150syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))))
152145, 151mpbird 257 1 (𝜑𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  ∃!wreu 3378   class class class wbr 5143  {copab 5205  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  cq 12990  ...cfz 13547  cfl 13830  cexp 14102  csqrt 15272  cdvds 16290   gcd cgcd 16531  cprime 16708  odcodz 16800  ϕcphi 16801   pCnt cpc 16874  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .gcmg 19085  mulGrpcmgp 20137   RingIso crs 20470  Fieldcfield 20730  ℤRHomczrh 21510  chrcchr 21512  algSccascl 21872  var1cv1 22177  Poly1cpl1 22178  eval1ce1 22318   logb clogb 26807   PrimRoots cprimroots 42092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-prod 15940  df-fallfac 16043  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-odz 16802  df-phi 16803  df-pc 16875  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-pws 17494  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-qus 17554  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-cntz 19335  df-od 19546  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-rim 20473  df-nzr 20513  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-idom 20696  df-drng 20731  df-field 20732  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-chr 21516  df-zn 21517  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-evls 22098  df-evl 22099  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-evl1 22320  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-mdeg 26094  df-deg1 26095  df-mon1 26170  df-uc1p 26171  df-q1p 26172  df-r1p 26173  df-log 26598  df-cxp 26599  df-logb 26808  df-primroots 42093
This theorem is referenced by:  aks5lem6  42193
  Copyright terms: Public domain W3C validator