Theorem aks6d1c7 42438

Description: 𝑁 is a prime power if the hypotheses of the AKS algorithm hold. Claim 7 of Theorem 6.1 https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf. (Contributed by metakunt, 16-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c7.1	⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks6d1c7.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c7.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c7.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c7.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c7.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks6d1c7.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c7.8	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c7.9	⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks6d1c7.10	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
aks6d1c7.11	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
aks6d1c7.12	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks6d1c7.13	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
aks6d1c7.14	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c7	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))

Distinct variable groups:   ∼ ,𝑎   𝐴,𝑎   𝐴,𝑏   𝐴,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝐾,𝑎   𝐾,𝑏   𝑒,𝐾,𝑓,𝑦   𝑥,𝐾   𝑀,𝑎   𝑀,𝑏   𝑥,𝑀,𝑦   𝑁,𝑎   𝑁,𝑏   𝑒,𝑁,𝑓,𝑦   𝑥,𝑁   𝑃,𝑎   𝑃,𝑏   𝑃,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝑃   𝑅,𝑎   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝑅   𝜑,𝑎   𝜑,𝑏   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑓)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑏)   𝑅(𝑏)   𝑀(𝑒,𝑓)

Proof of Theorem aks6d1c7

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 = 𝑟)
2		aks6d1c7.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
3	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → 𝑃 ∥ 𝑁)
4		breq1 5101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑃 → (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
5		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑃 → (𝑠 = 𝑟 ↔ 𝑃 = 𝑟))
6	4, 5	bibi12d 345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑃 → ((𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟) ↔ (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 = 𝑟)))
7		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑠(𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)
8		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑝(𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟)
9		breq1 5101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 ∥ 𝑁))
10		equequ1 2026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 = 𝑟 ↔ 𝑠 = 𝑟))
11	9, 10	bibi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → ((𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟) ↔ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟)))
12	7, 8, 11	cbvralw 3278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟) ↔ ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟))
13	12	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟) → ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟))
15		aks6d1c7.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → 𝑃 ∈ ℙ)
17	6, 14, 16	rspcdva 3577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 = 𝑟))
18	17	biimpd 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 ∥ 𝑁 → 𝑃 = 𝑟))
19	3, 18	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → 𝑃 = 𝑟)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 = 𝑟)
21	20	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑟 = 𝑃)
22	1, 21	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 = 𝑃)
23	22	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt 𝑁))
24		aks6d1c7.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
25		eluzelz 12761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
27		0red 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
28		3re 12225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 3 ∈ ℝ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
30	26	zred 12596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
31		3pos 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 3
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
33		eluzle 12764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
34	24, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
35	27, 29, 30, 32, 34	ltletrd 11293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
36	26, 35	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
37		elnnz 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
38	36, 37	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
39		pcelnn 16798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
40	15, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
41	2, 40	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
42	41	nncnd 12161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℂ)
43	42	mulridd 11149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) · 1) = (𝑃 pCnt 𝑁))
44	43	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · 1))
45		1nn0 12417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ0
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
47		pcidlem 16800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
48	15, 46, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
49	48	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑃 pCnt (𝑃↑1)))
50		prmnn 16601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
51	15, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
52	51	nncnd 12161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
53	52	exp1d 14064	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
54	53	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = (𝑃 pCnt 𝑃))
55	49, 54	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑃 pCnt 𝑃))
56	55	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) · 1) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
57	44, 56	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
58	57	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
59	58	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
60	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℙ)
61		nnq 12875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
62	51, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℚ)
63	51	nnne0d 12195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
64	62, 63	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0))
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0))
66	65	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0))
67	41	nnzd 12514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
72		pcexp 16787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
73	60, 66, 71, 72	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
74	73	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
75	59, 74	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
76	22	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 = 𝑞)
77	76	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
78	75, 77	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
79	23, 78	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
80		breq1 5101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑞 → (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑞 ∥ 𝑁))
81		equequ1 2026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑞 → (𝑠 = 𝑟 ↔ 𝑞 = 𝑟))
82	80, 81	bibi12d 345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑞 → ((𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟) ↔ (𝑞 ∥ 𝑁 ↔ 𝑞 = 𝑟)))
83	14	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟))
84		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
85	82, 83, 84	rspcdva 3577	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ 𝑁 ↔ 𝑞 = 𝑟))
86	85	bicomd 223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 = 𝑟 ↔ 𝑞 ∥ 𝑁))
87	86	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (¬ 𝑞 = 𝑟 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
88	87	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 ∥ 𝑁)
89	84	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ∈ ℙ)
90	38	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
91	90	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑁 ∈ ℕ)
92		pceq0 16799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
93	89, 91, 92	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ((𝑞 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
94	88, 93	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = 0)
95		neqne 2940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑞 = 𝑟 → 𝑞 ≠ 𝑟)
96	95	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ≠ 𝑟)
97	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑃 ∥ 𝑁)
98	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
99	6, 83, 98	rspcdva 3577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 = 𝑟))
100	99	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 𝑁 → 𝑃 = 𝑟))
101	97, 100	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑃 = 𝑟)
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 = 𝑟)
103	102	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑟 = 𝑃)
104	96, 103	neeqtrd 3001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ≠ 𝑃)
105	104	neneqd 2937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 = 𝑃)
106		prmuz2 16623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘2))
107	106	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘2))
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘2))
109	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℙ)
110		dvdsprm 16630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ 𝑃 ↔ 𝑞 = 𝑃))
111	108, 109, 110	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 ∥ 𝑃 ↔ 𝑞 = 𝑃))
112	105, 111	mtbird 325	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 ∥ 𝑃)
113	51	ad4antr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℕ)
114	113	nnzd 12514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℤ)
115	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
116	115	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
117	116	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
118	117	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
119		prmdvdsexp 16642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ 𝑞 ∥ 𝑃))
120	89, 114, 118, 119	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ 𝑞 ∥ 𝑃))
121	112, 120	mtbird 325	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
122	109, 91	pccld 16778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
123	113, 122	nnexpcld 14168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ)
124		pceq0 16799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
125	89, 123, 124	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ((𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
126	121, 125	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 0)
127	126	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 0 = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
128	94, 127	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
129	79, 128	pm2.61dan 812	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
130	129	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
131		aks6d1c7.1	. . . . 5 ⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
132		aks6d1c7.2	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
133		aks6d1c7.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
134		aks6d1c7.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
135		aks6d1c7.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
136		aks6d1c7.9	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
137		aks6d1c7.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
138		aks6d1c7.11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
139		aks6d1c7.12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
140		aks6d1c7.13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
141		aks6d1c7.14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
142	131, 132, 133, 15, 134, 24, 2, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141	aks6d1c7lem4 42437	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)
143		reu6 3684	. . . 4 ⊢ (∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟))
144	142, 143	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟))
145	130, 144	r19.29a 3144	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
146	38	nnnn0d 12462	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
147	51	nnnn0d 12462	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
148	15, 38	pccld 16778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
149	147, 148	nn0expcld 14169	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ0)
150		pc11 16808	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))))
151	146, 149, 150	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))))
152	145, 151	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∃!wreu 3348   class class class wbr 5098  {copab 5160   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031   < clt 11166   ≤ cle 11167  ℕcn 12145  2c2 12200  3c3 12201  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ℚcq 12861  ...cfz 13423  ⌊cfl 13710  ↑cexp 13984  √csqrt 15156   ∥ cdvds 16179   gcd cgcd 16421  ℙcprime 16598  od_ℤcodz 16690  ϕcphi 16691   pCnt cpc 16764  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  ._gcmg 18997  mulGrpcmgp 20075   RingIso crs 20406  Fieldcfield 20663  ℤRHomczrh 21454  chrcchr 21456  algSccascl 21807  var₁cv1 22116  Poly₁cpl1 22117  eval₁ce1 22258   log_b clogb 26730   PrimRoots cprimroots 42345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-ec 8637  df-qs 8641  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-prod 15827  df-fallfac 15930  df-ef 15990  df-sin 15992  df-cos 15993  df-pi 15995  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-prm 16599  df-odz 16692  df-phi 16693  df-pc 16765  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-pws 17369  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-qus 17430  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-nsg 19054  df-eqg 19055  df-ghm 19142  df-gim 19188  df-cntz 19246  df-od 19457  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-srg 20122  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-rhm 20408  df-rim 20409  df-nzr 20446  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-rlreg 20627  df-domn 20628  df-idom 20629  df-drng 20664  df-field 20665  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163  df-rsp 21164  df-2idl 21205  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-zring 21402  df-zrh 21458  df-chr 21460  df-zn 21461  df-assa 21808  df-asp 21809  df-ascl 21810  df-psr 21865  df-mvr 21866  df-mpl 21867  df-opsr 21869  df-evls 22029  df-evl 22030  df-psr1 22120  df-vr1 22121  df-ply1 22122  df-coe1 22123  df-evl1 22260  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25823  df-dv 25824  df-mdeg 26016  df-deg1 26017  df-mon1 26092  df-uc1p 26093  df-q1p 26094  df-r1p 26095  df-log 26521  df-cxp 26522  df-logb 26731  df-primroots 42346

This theorem is referenced by:  aks5lem6  42446