Theorem aks6d1c7 42762

Description: 𝑁 is a prime power if the hypotheses of the AKS algorithm hold. Claim 7 of Theorem 6.1 https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf. (Contributed by metakunt, 16-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c7.1	⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks6d1c7.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c7.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c7.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c7.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c7.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks6d1c7.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c7.8	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c7.9	⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks6d1c7.10	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
aks6d1c7.11	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
aks6d1c7.12	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks6d1c7.13	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
aks6d1c7.14	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c7	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))

Distinct variable groups:   ∼ ,𝑎   𝐴,𝑎   𝐴,𝑏   𝐴,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝐾,𝑎   𝐾,𝑏   𝑒,𝐾,𝑓,𝑦   𝑥,𝐾   𝑀,𝑎   𝑀,𝑏   𝑥,𝑀,𝑦   𝑁,𝑎   𝑁,𝑏   𝑒,𝑁,𝑓,𝑦   𝑥,𝑁   𝑃,𝑎   𝑃,𝑏   𝑃,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝑃   𝑅,𝑎   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝑅   𝜑,𝑎   𝜑,𝑏   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑓)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑏)   𝑅(𝑏)   𝑀(𝑒,𝑓)

Proof of Theorem aks6d1c7

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 = 𝑟)
2		aks6d1c7.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
3	2	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → 𝑃 ∥ 𝑁)
4		breq1 5100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑃 → (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
5		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑃 → (𝑠 = 𝑟 ↔ 𝑃 = 𝑟))
6	4, 5	bibi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑃 → ((𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟) ↔ (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 = 𝑟)))
7		nfv 1933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑠(𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)
8		nfv 1933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑝(𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟)
9		breq1 5100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 ∥ 𝑁))
10		equequ1 2044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 = 𝑟 ↔ 𝑠 = 𝑟))
11	9, 10	bibi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → ((𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟) ↔ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟)))
12	7, 8, 11	cbvralw 3303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟) ↔ ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟))
13	12	bilani 508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟))
14		aks6d1c7.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
15	14	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → 𝑃 ∈ ℙ)
16	6, 13, 15	rspcdva 3581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 = 𝑟))
17	16	biimpd 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 ∥ 𝑁 → 𝑃 = 𝑟))
18	3, 17	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → 𝑃 = 𝑟)
19	18	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 = 𝑟)
20	19	eqcomd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑟 = 𝑃)
21	1, 20	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 = 𝑃)
22	21	oveq1d 7406	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt 𝑁))
23		aks6d1c7.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
24		eluzelz 12843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
26		0red 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27		3re 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 3 ∈ ℝ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
29	25	zred 12671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
30		3pos 12320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 3
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
32		eluzle 12846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
33	23, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
34	26, 28, 29, 31, 33	ltletrd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
35	25, 34	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
36		elnnz 12572	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
37	35, 36	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
38		pcelnn 16897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
39	14, 37, 38	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
40	2, 39	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
41	40	nncnd 12220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℂ)
42	41	mulridd 11193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) · 1) = (𝑃 pCnt 𝑁))
43	42	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · 1))
44		1nn0 12491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ0
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
46		pcidlem 16899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
47	14, 45, 46	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
48	47	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑃 pCnt (𝑃↑1)))
49		prmnn 16699	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
50	14, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
51	50	nncnd 12220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
52	51	exp1d 14148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
53	52	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = (𝑃 pCnt 𝑃))
54	48, 53	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑃 pCnt 𝑃))
55	54	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) · 1) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
56	43, 55	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
57	56	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
58	57	ad3antrrr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
59	15	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℙ)
60		nnq 12957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
61	50, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℚ)
62	50	nnne0d 12257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
63	61, 62	jca 519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0))
64	63	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0))
65	64	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0))
66	40	nnzd 12588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
67	66	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
68	67	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
69	68	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
70	69	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
71		pcexp 16886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
72	59, 65, 70, 71	syl3anc 1389	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
73	72	eqcomd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
74	58, 73	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
75	21	eqcomd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 = 𝑞)
76	75	oveq1d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
77	74, 76	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
78	22, 77	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
79		breq1 5100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑞 → (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑞 ∥ 𝑁))
80		equequ1 2044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑞 → (𝑠 = 𝑟 ↔ 𝑞 = 𝑟))
81	79, 80	bibi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑞 → ((𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟) ↔ (𝑞 ∥ 𝑁 ↔ 𝑞 = 𝑟)))
82	13	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟))
83		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
84	81, 82, 83	rspcdva 3581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ 𝑁 ↔ 𝑞 = 𝑟))
85	84	bicomd 225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 = 𝑟 ↔ 𝑞 ∥ 𝑁))
86	85	notbid 320	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (¬ 𝑞 = 𝑟 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
87	86	biimpa 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 ∥ 𝑁)
88	83	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ∈ ℙ)
89	37	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
90	89	ad3antrrr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑁 ∈ ℕ)
91		pceq0 16898	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
92	88, 90, 91	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ((𝑞 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
93	87, 92	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = 0)
94		neqne 2964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑞 = 𝑟 → 𝑞 ≠ 𝑟)
95	94	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ≠ 𝑟)
96	3	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑃 ∥ 𝑁)
97	15	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
98	6, 82, 97	rspcdva 3581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 = 𝑟))
99	98	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 𝑁 → 𝑃 = 𝑟))
100	96, 99	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑃 = 𝑟)
101	100	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 = 𝑟)
102	101	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑟 = 𝑃)
103	95, 102	neeqtrd 3025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ≠ 𝑃)
104	103	neneqd 2961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 = 𝑃)
105		prmuz2 16721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘2))
106	105	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘2))
107	106	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘2))
108	15	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℙ)
109		dvdsprm 16729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ 𝑃 ↔ 𝑞 = 𝑃))
110	107, 108, 109	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 ∥ 𝑃 ↔ 𝑞 = 𝑃))
111	104, 110	mtbird 327	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 ∥ 𝑃)
112	50	ad4antr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℕ)
113	112	nnzd 12588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℤ)
114	40	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
115	114	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
116	115	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
117	116	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
118		prmdvdsexp 16741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ 𝑞 ∥ 𝑃))
119	88, 113, 117, 118	syl3anc 1389	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ 𝑞 ∥ 𝑃))
120	111, 119	mtbird 327	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
121	108, 90	pccld 16877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
122	112, 121	nnexpcld 14252	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ)
123		pceq0 16898	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
124	88, 122, 123	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ((𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
125	120, 124	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 0)
126	125	eqcomd 2767	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 0 = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
127	93, 126	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
128	78, 127	pm2.61dan 822	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
129	128	ralrimiva 3153	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
130		aks6d1c7.1	. . . . 5 ⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
131		aks6d1c7.2	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
132		aks6d1c7.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
133		aks6d1c7.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
134		aks6d1c7.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
135		aks6d1c7.9	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
136		aks6d1c7.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
137		aks6d1c7.11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
138		aks6d1c7.12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
139		aks6d1c7.13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
140		aks6d1c7.14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
141	130, 131, 132, 14, 133, 23, 2, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140	aks6d1c7lem4 42761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)
142		reu6 3687	. . . 4 ⊢ (∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟))
143	141, 142	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟))
144	129, 143	r19.29a 3169	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
145	37	nnnn0d 12536	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
146	50	nnnn0d 12536	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
147	14, 37	pccld 16877	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
148	146, 147	nn0expcld 14253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ0)
149		pc11 16907	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))))
150	145, 148, 149	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))))
151	144, 150	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  ∃!wreu 3364   class class class wbr 5097  {copab 5159   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℝcr 11066  0cc0 11067  1c1 11068   · cmul 11072   < clt 11210   ≤ cle 11211  ℕcn 12204  2c2 12266  3c3 12267  ℕ₀cn0 12475  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12833  ℚcq 12943  ...cfz 13506  ⌊cfl 13794  ↑cexp 14068  √csqrt 15251   ∥ cdvds 16277   gcd cgcd 16519  ℙcprime 16696  od_ℤcodz 16789  ϕcphi 16790   pCnt cpc 16863  Basecbs 17236  +_gcplusg 17277  ._gcmg 19100  mulGrpcmgp 20177   RingIso crs 20506  Fieldcfield 20767  ℤRHomczrh 21539  chrcchr 21541  algSccascl 21892  var₁cv1 22226  Poly₁cpl1 22227  eval₁ce1 22365   log_b clogb 26817   PrimRoots cprimroots 42669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146  ax-mulf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-ofr 7656  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-tpos 8200  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-oadd 8435  df-er 8672  df-ec 8674  df-qs 8678  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-dju 9853  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-ioo 13347  df-ioc 13348  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14281  df-bc 14310  df-hash 14338  df-shft 15074  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-limsup 15489  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-prod 15925  df-fallfac 16028  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-dvds 16278  df-gcd 16520  df-prm 16697  df-odz 16791  df-phi 16792  df-pc 16864  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17442  df-topn 17443  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-topgen 17463  df-pt 17464  df-prds 17467  df-pws 17469  df-xrs 17523  df-qtop 17528  df-imas 17529  df-qus 17530  df-xps 17531  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-mulg 19101  df-subg 19156  df-nsg 19157  df-eqg 19158  df-ghm 19245  df-gim 19290  df-cntz 19348  df-od 19559  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-srg 20224  df-ring 20272  df-cring 20273  df-oppr 20373  df-dvdsr 20393  df-unit 20394  df-invr 20424  df-dvr 20437  df-rhm 20508  df-rim 20509  df-nzr 20550  df-subrng 20583  df-subrg 20607  df-rlreg 20731  df-domn 20732  df-idom 20733  df-drng 20768  df-field 20769  df-lmod 20917  df-lss 20987  df-lsp 21027  df-sra 21228  df-rgmod 21229  df-lidl 21266  df-rsp 21267  df-2idl 21308  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-fbas 21409  df-fg 21410  df-cnfld 21413  df-zring 21487  df-zrh 21543  df-chr 21545  df-zn 21546  df-assa 21893  df-asp 21894  df-ascl 21895  df-psr 21949  df-mvr 21950  df-mpl 21951  df-opsr 21953  df-evls 22115  df-evl 22116  df-psr1 22230  df-vr1 22231  df-ply1 22232  df-coe1 22233  df-evl1 22367  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-cld 23067  df-ntr 23068  df-cls 23069  df-nei 23146  df-lp 23184  df-perf 23185  df-cn 23275  df-cnp 23276  df-haus 23363  df-tx 23610  df-hmeo 23803  df-fil 23894  df-fm 23986  df-flim 23987  df-flf 23988  df-xms 24368  df-ms 24369  df-tms 24370  df-cncf 24928  df-limc 25916  df-dv 25917  df-mdeg 26103  df-deg1 26104  df-mon1 26179  df-uc1p 26180  df-q1p 26181  df-r1p 26182  df-log 26609  df-cxp 26610  df-logb 26818  df-primroots 42670

This theorem is referenced by:  aks5lem6  42770