Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks6d1c7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks6d1c7 42165
Description: 𝑁 is a prime power if the hypotheses of the AKS algorithm hold. Claim 7 of Theorem 6.1 https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf. (Contributed by metakunt, 16-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks6d1c7.1 = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks6d1c7.2 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c7.3 (𝜑𝐾 ∈ Field)
aks6d1c7.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c7.5 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c7.6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
aks6d1c7.7 (𝜑𝑃𝑁)
aks6d1c7.8 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c7.9 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks6d1c7.10 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((od𝑅)‘𝑁))
aks6d1c7.11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
aks6d1c7.12 (𝜑𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks6d1c7.13 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
aks6d1c7.14 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
Assertion
Ref Expression
aks6d1c7 (𝜑𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
Distinct variable groups:   ,𝑎   𝐴,𝑎   𝐴,𝑏   𝐴,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝐾,𝑎   𝐾,𝑏   𝑒,𝐾,𝑓,𝑦   𝑥,𝐾   𝑀,𝑎   𝑀,𝑏   𝑥,𝑀,𝑦   𝑁,𝑎   𝑁,𝑏   𝑒,𝑁,𝑓,𝑦   𝑥,𝑁   𝑃,𝑎   𝑃,𝑏   𝑃,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝑃   𝑅,𝑎   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝑅   𝜑,𝑎   𝜑,𝑏   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑓)   (𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑏)   𝑅(𝑏)   𝑀(𝑒,𝑓)

Proof of Theorem aks6d1c7
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 = 𝑟)
2 aks6d1c7.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃𝑁)
32ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) → 𝑃𝑁)
4 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑃 → (𝑠𝑁𝑃𝑁))
5 eqeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑃 → (𝑠 = 𝑟𝑃 = 𝑟))
64, 5bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑃 → ((𝑠𝑁𝑠 = 𝑟) ↔ (𝑃𝑁𝑃 = 𝑟)))
7 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑠(𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)
8 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑝(𝑠𝑁𝑠 = 𝑟)
9 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 𝑠 → (𝑝𝑁𝑠𝑁))
10 equequ1 2021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 = 𝑟𝑠 = 𝑟))
119, 10bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑠 → ((𝑝𝑁𝑝 = 𝑟) ↔ (𝑠𝑁𝑠 = 𝑟)))
127, 8, 11cbvralw 3303 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟) ↔ ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠𝑁𝑠 = 𝑟))
1312biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟) → ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠𝑁𝑠 = 𝑟))
1413adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) → ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠𝑁𝑠 = 𝑟))
15 aks6d1c7.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
1615ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) → 𝑃 ∈ ℙ)
176, 14, 16rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) → (𝑃𝑁𝑃 = 𝑟))
1817biimpd 229 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) → (𝑃𝑁𝑃 = 𝑟))
193, 18mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) → 𝑃 = 𝑟)
2019ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 = 𝑟)
2120eqcomd 2740 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑟 = 𝑃)
221, 21eqtrd 2774 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 = 𝑃)
2322oveq1d 7445 . . . . . 6 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt 𝑁))
24 aks6d1c7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
25 eluzelz 12885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
27 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
28 3re 12343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 ∈ ℝ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
3026zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
31 3pos 12368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 3
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < 3)
33 eluzle 12888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
3424, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
3527, 29, 30, 32, 34ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 < 𝑁)
3626, 35jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
37 elnnz 12620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3836, 37sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
39 pcelnn 16903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃𝑁))
4015, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃𝑁))
412, 40mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
4241nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℂ)
4342mulridd 11275 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) · 1) = (𝑃 pCnt 𝑁))
4443eqcomd 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · 1))
45 1nn0 12539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
47 pcidlem 16905 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
4815, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
4948eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 = (𝑃 pCnt (𝑃↑1)))
50 prmnn 16707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
5115, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
5251nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
5352exp1d 14177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
5453oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = (𝑃 pCnt 𝑃))
5549, 54eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 = (𝑃 pCnt 𝑃))
5655oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) · 1) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
5744, 56eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
5857adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
5958ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
6016ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℙ)
61 nnq 13001 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
6251, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℚ)
6351nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ≠ 0)
6462, 63jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0))
6665ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0))
6741nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
7170adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
72 pcexp 16892 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
7360, 66, 71, 72syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
7473eqcomd 2740 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
7559, 74eqtrd 2774 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
7622eqcomd 2740 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 = 𝑞)
7776oveq1d 7445 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
7875, 77eqtrd 2774 . . . . . 6 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
7923, 78eqtrd 2774 . . . . 5 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
80 breq1 5150 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑞 → (𝑠𝑁𝑞𝑁))
81 equequ1 2021 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑞 → (𝑠 = 𝑟𝑞 = 𝑟))
8280, 81bibi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑞 → ((𝑠𝑁𝑠 = 𝑟) ↔ (𝑞𝑁𝑞 = 𝑟)))
8314adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠𝑁𝑠 = 𝑟))
84 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
8582, 83, 84rspcdva 3622 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞𝑁𝑞 = 𝑟))
8685bicomd 223 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 = 𝑟𝑞𝑁))
8786notbid 318 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (¬ 𝑞 = 𝑟 ↔ ¬ 𝑞𝑁))
8887biimpa 476 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞𝑁)
8984adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ∈ ℙ)
9038adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
9190ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑁 ∈ ℕ)
92 pceq0 16904 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑞𝑁))
9389, 91, 92syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ((𝑞 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑞𝑁))
9488, 93mpbird 257 . . . . . 6 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = 0)
95 neqne 2945 . . . . . . . . . . . . 13 𝑞 = 𝑟𝑞𝑟)
9695adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞𝑟)
973adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑃𝑁)
9816adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
996, 83, 98rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃𝑁𝑃 = 𝑟))
10099biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃𝑁𝑃 = 𝑟))
10197, 100mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑃 = 𝑟)
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 = 𝑟)
103102eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑟 = 𝑃)
10496, 103neeqtrd 3007 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞𝑃)
105104neneqd 2942 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 = 𝑃)
106 prmuz2 16729 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ (ℤ‘2))
107106adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ (ℤ‘2))
108107adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ∈ (ℤ‘2))
10916ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℙ)
110 dvdsprm 16736 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑞𝑃𝑞 = 𝑃))
111108, 109, 110syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞𝑃𝑞 = 𝑃))
112105, 111mtbird 325 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞𝑃)
11351ad4antr 732 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℕ)
114113nnzd 12637 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℤ)
11541adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
116115adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
117116adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
118117adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
119 prmdvdsexp 16748 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ 𝑞𝑃))
12089, 114, 118, 119syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ 𝑞𝑃))
121112, 120mtbird 325 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
122109, 91pccld 16883 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
123113, 122nnexpcld 14280 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ)
124 pceq0 16904 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
12589, 123, 124syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ((𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
126121, 125mpbird 257 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 0)
127126eqcomd 2740 . . . . . 6 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 0 = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
12894, 127eqtrd 2774 . . . . 5 (((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
12979, 128pm2.61dan 813 . . . 4 ((((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
130129ralrimiva 3143 . . 3 (((𝜑𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟)) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
131 aks6d1c7.1 . . . . 5 = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
132 aks6d1c7.2 . . . . 5 𝑃 = (chr‘𝐾)
133 aks6d1c7.3 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Field)
134 aks6d1c7.5 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
135 aks6d1c7.8 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
136 aks6d1c7.9 . . . . 5 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
137 aks6d1c7.10 . . . . 5 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((od𝑅)‘𝑁))
138 aks6d1c7.11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
139 aks6d1c7.12 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
140 aks6d1c7.13 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
141 aks6d1c7.14 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
142131, 132, 133, 15, 134, 24, 2, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141aks6d1c7lem4 42164 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
143 reu6 3734 . . . 4 (∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁 ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟))
144142, 143sylib 218 . . 3 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 = 𝑟))
145130, 144r19.29a 3159 . 2 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
14638nnnn0d 12584 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
14751nnnn0d 12584 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
14815, 38pccld 16883 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
149147, 148nn0expcld 14281 . . 3 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ0)
150 pc11 16913 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))))
151146, 149, 150syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))))
152145, 151mpbird 257 1 (𝜑𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  ∃!wreu 3375   class class class wbr 5147  {copab 5209  cmpt 5230  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cn 12263  2c2 12318  3c3 12319  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  cq 12987  ...cfz 13543  cfl 13826  cexp 14098  csqrt 15268  cdvds 16286   gcd cgcd 16527  cprime 16704  odcodz 16796  ϕcphi 16797   pCnt cpc 16869  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  .gcmg 19097  mulGrpcmgp 20151   RingIso crs 20486  Fieldcfield 20746  ℤRHomczrh 21527  chrcchr 21529  algSccascl 21889  var1cv1 22192  Poly1cpl1 22193  eval1ce1 22333   logb clogb 26821   PrimRoots cprimroots 42072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-prod 15936  df-fallfac 16039  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-odz 16798  df-phi 16799  df-pc 16870  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-pws 17495  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-qus 17555  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-nsg 19154  df-eqg 19155  df-ghm 19243  df-gim 19289  df-cntz 19347  df-od 19560  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-srg 20204  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-rim 20489  df-nzr 20529  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-rlreg 20710  df-domn 20711  df-idom 20712  df-drng 20747  df-field 20748  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-rsp 21236  df-2idl 21277  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-zrh 21531  df-chr 21533  df-zn 21534  df-assa 21890  df-asp 21891  df-ascl 21892  df-psr 21946  df-mvr 21947  df-mpl 21948  df-opsr 21950  df-evls 22115  df-evl 22116  df-psr1 22196  df-vr1 22197  df-ply1 22198  df-coe1 22199  df-evl1 22335  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-mdeg 26108  df-deg1 26109  df-mon1 26184  df-uc1p 26185  df-q1p 26186  df-r1p 26187  df-log 26612  df-cxp 26613  df-logb 26822  df-primroots 42073
This theorem is referenced by:  aks5lem6  42173
  Copyright terms: Public domain W3C validator