Theorem aks6d1c7 42836

Description: 𝑁 is a prime power if the hypotheses of the AKS algorithm hold. Claim 7 of Theorem 6.1 https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf. (Contributed by metakunt, 16-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c7.1	⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks6d1c7.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c7.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c7.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c7.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c7.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks6d1c7.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c7.8	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c7.9	⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks6d1c7.10	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
aks6d1c7.11	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
aks6d1c7.12	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks6d1c7.13	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
aks6d1c7.14	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c7	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))

Distinct variable groups:   ∼ ,𝑎   𝐴,𝑎   𝐴,𝑏   𝐴,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝐾,𝑎   𝐾,𝑏   𝑒,𝐾,𝑓,𝑦   𝑥,𝐾   𝑀,𝑎   𝑀,𝑏   𝑥,𝑀,𝑦   𝑁,𝑎   𝑁,𝑏   𝑒,𝑁,𝑓,𝑦   𝑥,𝑁   𝑃,𝑎   𝑃,𝑏   𝑃,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝑃   𝑅,𝑎   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝑅   𝜑,𝑎   𝜑,𝑏   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑓)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑏)   𝑅(𝑏)   𝑀(𝑒,𝑓)

Proof of Theorem aks6d1c7

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 = 𝑟)
2		aks6d1c7.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
3	2	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → 𝑃 ∥ 𝑁)
4		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑃 → (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
5		eqeq1 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑃 → (𝑠 = 𝑟 ↔ 𝑃 = 𝑟))
6	4, 5	bibi12d 348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑃 → ((𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟) ↔ (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 = 𝑟)))
7		nfv 1941	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑠(𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)
8		nfv 1941	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑝(𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟)
9		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 ∥ 𝑁))
10		equequ1 2052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 = 𝑟 ↔ 𝑠 = 𝑟))
11	9, 10	bibi12d 348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → ((𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟) ↔ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟)))
12	7, 8, 11	cbvralw 3313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟) ↔ ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟))
13	12	bilani 509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟))
14		aks6d1c7.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
15	14	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → 𝑃 ∈ ℙ)
16	6, 13, 15	rspcdva 3591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 = 𝑟))
17	16	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 ∥ 𝑁 → 𝑃 = 𝑟))
18	3, 17	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → 𝑃 = 𝑟)
19	18	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 = 𝑟)
20	19	eqcomd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑟 = 𝑃)
21	1, 20	eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 = 𝑃)
22	21	oveq1d 7423	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt 𝑁))
23		aks6d1c7.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
24		eluzelz 12868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
26		0red 11207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27		3re 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 3 ∈ ℝ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
29	25	zred 12696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
30		3pos 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 3
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
32		eluzle 12871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
33	23, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
34	26, 28, 29, 31, 33	ltletrd 11366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
35	25, 34	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
36		elnnz 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
37	35, 36	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
38		pcelnn 16926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
39	14, 37, 38	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
40	2, 39	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
41	40	nncnd 12245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℂ)
42	41	mulridd 11222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) · 1) = (𝑃 pCnt 𝑁))
43	42	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · 1))
44		1nn0 12516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ0
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
46		pcidlem 16928	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
47	14, 45, 46	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
48	47	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑃 pCnt (𝑃↑1)))
49		prmnn 16728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
50	14, 49	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
51	50	nncnd 12245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
52	51	exp1d 14173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
53	52	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = (𝑃 pCnt 𝑃))
54	48, 53	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑃 pCnt 𝑃))
55	54	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) · 1) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
56	43, 55	eqtrd 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
57	56	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
58	57	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
59	15	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℙ)
60		nnq 12982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
61	50, 60	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℚ)
62	50	nnne0d 12282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
63	61, 62	jca 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0))
64	63	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0))
65	64	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0))
66	40	nnzd 12613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
67	66	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
68	67	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
69	68	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
70	69	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
71		pcexp 16915	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
72	59, 65, 70, 71	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
73	72	eqcomd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
74	58, 73	eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
75	21	eqcomd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 = 𝑞)
76	75	oveq1d 7423	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
77	74, 76	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
78	22, 77	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
79		breq1 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑞 → (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑞 ∥ 𝑁))
80		equequ1 2052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑞 → (𝑠 = 𝑟 ↔ 𝑞 = 𝑟))
81	79, 80	bibi12d 348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑞 → ((𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟) ↔ (𝑞 ∥ 𝑁 ↔ 𝑞 = 𝑟)))
82	13	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟))
83		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
84	81, 82, 83	rspcdva 3591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ 𝑁 ↔ 𝑞 = 𝑟))
85	84	bicomd 226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 = 𝑟 ↔ 𝑞 ∥ 𝑁))
86	85	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (¬ 𝑞 = 𝑟 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
87	86	biimpa 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 ∥ 𝑁)
88	83	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ∈ ℙ)
89	37	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
90	89	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑁 ∈ ℕ)
91		pceq0 16927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
92	88, 90, 91	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ((𝑞 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
93	87, 92	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = 0)
94		neqne 2972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑞 = 𝑟 → 𝑞 ≠ 𝑟)
95	94	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ≠ 𝑟)
96	3	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑃 ∥ 𝑁)
97	15	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
98	6, 82, 97	rspcdva 3591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 = 𝑟))
99	98	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 𝑁 → 𝑃 = 𝑟))
100	96, 99	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑃 = 𝑟)
101	100	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 = 𝑟)
102	101	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑟 = 𝑃)
103	95, 102	neeqtrd 3033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ≠ 𝑃)
104	103	neneqd 2969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 = 𝑃)
105		prmuz2 16750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘2))
106	105	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘2))
107	106	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘2))
108	15	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℙ)
109		dvdsprm 16758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ 𝑃 ↔ 𝑞 = 𝑃))
110	107, 108, 109	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 ∥ 𝑃 ↔ 𝑞 = 𝑃))
111	104, 110	mtbird 328	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 ∥ 𝑃)
112	50	ad4antr 744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℕ)
113	112	nnzd 12613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℤ)
114	40	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
115	114	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
116	115	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
117	116	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
118		prmdvdsexp 16770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ 𝑞 ∥ 𝑃))
119	88, 113, 117, 118	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ 𝑞 ∥ 𝑃))
120	111, 119	mtbird 328	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
121	108, 90	pccld 16906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
122	112, 121	nnexpcld 14277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ)
123		pceq0 16927	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
124	88, 122, 123	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ((𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
125	120, 124	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 0)
126	125	eqcomd 2775	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 0 = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
127	93, 126	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
128	78, 127	pm2.61dan 824	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
129	128	ralrimiva 3163	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
130		aks6d1c7.1	. . . . 5 ⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
131		aks6d1c7.2	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
132		aks6d1c7.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
133		aks6d1c7.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
134		aks6d1c7.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
135		aks6d1c7.9	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
136		aks6d1c7.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
137		aks6d1c7.11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
138		aks6d1c7.12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
139		aks6d1c7.13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
140		aks6d1c7.14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
141	130, 131, 132, 14, 133, 23, 2, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140	aks6d1c7lem4 42835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)
142		reu6 3698	. . . 4 ⊢ (∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟))
143	141, 142	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟))
144	129, 143	r19.29a 3179	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
145	37	nnnn0d 12561	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
146	50	nnnn0d 12561	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
147	14, 37	pccld 16906	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
148	146, 147	nn0expcld 14278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ0)
149		pc11 16936	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))))
150	145, 148, 149	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))))
151	144, 150	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  ∃!wreu 3374   class class class wbr 5110  {copab 5174   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   · cmul 11101   < clt 11239   ≤ cle 11240  ℕcn 12229  2c2 12291  3c3 12292  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12587  ℤ_≥cuz 12858  ℚcq 12968  ...cfz 13531  ⌊cfl 13819  ↑cexp 14093  √csqrt 15280   ∥ cdvds 16306   gcd cgcd 16548  ℙcprime 16725  od_ℤcodz 16818  ϕcphi 16819   pCnt cpc 16892  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  ._gcmg 19129  mulGrpcmgp 20212   RingIso crs 20548  Fieldcfield 20810  ℤRHomczrh 21614  chrcchr 21616  algSccascl 21967  var₁cv1 22301  Poly₁cpl1 22302  eval₁ce1 22439   log_b clogb 26891   PrimRoots cprimroots 42743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175  ax-mulf 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ioc 13373  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-prod 15954  df-fallfac 16057  df-ef 16117  df-sin 16119  df-cos 16120  df-pi 16122  df-dvds 16307  df-gcd 16549  df-prm 16726  df-odz 16820  df-phi 16821  df-pc 16893  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-pws 17498  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-qus 17559  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-mulg 19130  df-subg 19185  df-nsg 19186  df-eqg 19187  df-ghm 19280  df-gim 19325  df-cntz 19383  df-od 19594  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-srg 20265  df-ring 20313  df-cring 20314  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-rhm 20550  df-rim 20551  df-nzr 20592  df-subrng 20627  df-subrg 20651  df-rlreg 20775  df-domn 20776  df-idom 20777  df-drng 20811  df-field 20812  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067  df-sra 21268  df-rgmod 21269  df-lidl 21306  df-rsp 21307  df-2idl 21356  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-zring 21562  df-zrh 21618  df-chr 21620  df-zn 21621  df-assa 21968  df-asp 21969  df-ascl 21970  df-psr 22024  df-mvr 22025  df-mpl 22026  df-opsr 22028  df-evls 22190  df-evl 22191  df-psr1 22305  df-vr1 22306  df-ply1 22307  df-coe1 22308  df-evl1 22441  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-lp 23258  df-perf 23259  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-haus 23437  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cncf 25002  df-limc 25990  df-dv 25991  df-mdeg 26177  df-deg1 26178  df-mon1 26253  df-uc1p 26254  df-q1p 26255  df-r1p 26256  df-log 26683  df-cxp 26684  df-logb 26892  df-primroots 42744

This theorem is referenced by:  aks5lem6  42844