Theorem aks6d1c7 42145

Description: 𝑁 is a prime power if the hypotheses of the AKS algorithm hold. Claim 7 of Theorem 6.1 https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf. (Contributed by metakunt, 16-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c7.1	⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks6d1c7.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c7.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c7.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c7.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c7.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks6d1c7.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c7.8	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c7.9	⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks6d1c7.10	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
aks6d1c7.11	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
aks6d1c7.12	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks6d1c7.13	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
aks6d1c7.14	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c7	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))

Distinct variable groups:   ∼ ,𝑎   𝐴,𝑎   𝐴,𝑏   𝐴,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝐾,𝑎   𝐾,𝑏   𝑒,𝐾,𝑓,𝑦   𝑥,𝐾   𝑀,𝑎   𝑀,𝑏   𝑥,𝑀,𝑦   𝑁,𝑎   𝑁,𝑏   𝑒,𝑁,𝑓,𝑦   𝑥,𝑁   𝑃,𝑎   𝑃,𝑏   𝑃,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝑃   𝑅,𝑎   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝑅   𝜑,𝑎   𝜑,𝑏   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑓)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑏)   𝑅(𝑏)   𝑀(𝑒,𝑓)

Proof of Theorem aks6d1c7

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 = 𝑟)
2		aks6d1c7.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
3	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → 𝑃 ∥ 𝑁)
4		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑃 → (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
5		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑃 → (𝑠 = 𝑟 ↔ 𝑃 = 𝑟))
6	4, 5	bibi12d 345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑃 → ((𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟) ↔ (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 = 𝑟)))
7		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑠(𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)
8		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑝(𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟)
9		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 ∥ 𝑁))
10		equequ1 2025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 = 𝑟 ↔ 𝑠 = 𝑟))
11	9, 10	bibi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → ((𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟) ↔ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟)))
12	7, 8, 11	cbvralw 3278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟) ↔ ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟))
13	12	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟) → ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟))
15		aks6d1c7.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → 𝑃 ∈ ℙ)
17	6, 14, 16	rspcdva 3586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 = 𝑟))
18	17	biimpd 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 ∥ 𝑁 → 𝑃 = 𝑟))
19	3, 18	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → 𝑃 = 𝑟)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 = 𝑟)
21	20	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑟 = 𝑃)
22	1, 21	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 = 𝑃)
23	22	oveq1d 7384	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt 𝑁))
24		aks6d1c7.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
25		eluzelz 12779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
27		0red 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
28		3re 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 3 ∈ ℝ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
30	26	zred 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
31		3pos 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 3
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
33		eluzle 12782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
34	24, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
35	27, 29, 30, 32, 34	ltletrd 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
36	26, 35	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
37		elnnz 12515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
38	36, 37	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
39		pcelnn 16817	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
40	15, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
41	2, 40	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
42	41	nncnd 12178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℂ)
43	42	mulridd 11167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) · 1) = (𝑃 pCnt 𝑁))
44	43	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · 1))
45		1nn0 12434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ0
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
47		pcidlem 16819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
48	15, 46, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
49	48	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑃 pCnt (𝑃↑1)))
50		prmnn 16620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
51	15, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
52	51	nncnd 12178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
53	52	exp1d 14082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
54	53	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = (𝑃 pCnt 𝑃))
55	49, 54	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑃 pCnt 𝑃))
56	55	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) · 1) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
57	44, 56	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
58	57	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
59	58	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
60	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℙ)
61		nnq 12897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
62	51, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℚ)
63	51	nnne0d 12212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
64	62, 63	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0))
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0))
66	65	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0))
67	41	nnzd 12532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
72		pcexp 16806	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
73	60, 66, 71, 72	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)))
74	73	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → ((𝑃 pCnt 𝑁) · (𝑃 pCnt 𝑃)) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
75	59, 74	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
76	22	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 = 𝑞)
77	76	oveq1d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
78	75, 77	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
79	23, 78	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
80		breq1 5105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑞 → (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑞 ∥ 𝑁))
81		equequ1 2025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑞 → (𝑠 = 𝑟 ↔ 𝑞 = 𝑟))
82	80, 81	bibi12d 345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑞 → ((𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟) ↔ (𝑞 ∥ 𝑁 ↔ 𝑞 = 𝑟)))
83	14	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ∀𝑠 ∈ ℙ (𝑠 ∥ 𝑁 ↔ 𝑠 = 𝑟))
84		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
85	82, 83, 84	rspcdva 3586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ 𝑁 ↔ 𝑞 = 𝑟))
86	85	bicomd 223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 = 𝑟 ↔ 𝑞 ∥ 𝑁))
87	86	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (¬ 𝑞 = 𝑟 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
88	87	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 ∥ 𝑁)
89	84	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ∈ ℙ)
90	38	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
91	90	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑁 ∈ ℕ)
92		pceq0 16818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
93	89, 91, 92	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ((𝑞 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
94	88, 93	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = 0)
95		neqne 2933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑞 = 𝑟 → 𝑞 ≠ 𝑟)
96	95	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ≠ 𝑟)
97	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑃 ∥ 𝑁)
98	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
99	6, 83, 98	rspcdva 3586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 = 𝑟))
100	99	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 𝑁 → 𝑃 = 𝑟))
101	97, 100	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑃 = 𝑟)
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 = 𝑟)
103	102	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑟 = 𝑃)
104	96, 103	neeqtrd 2994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ≠ 𝑃)
105	104	neneqd 2930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 = 𝑃)
106		prmuz2 16642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘2))
107	106	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘2))
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘2))
109	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℙ)
110		dvdsprm 16649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ 𝑃 ↔ 𝑞 = 𝑃))
111	108, 109, 110	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 ∥ 𝑃 ↔ 𝑞 = 𝑃))
112	105, 111	mtbird 325	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 ∥ 𝑃)
113	51	ad4antr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℕ)
114	113	nnzd 12532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 𝑃 ∈ ℤ)
115	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
116	115	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
117	116	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
118	117	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
119		prmdvdsexp 16661	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ 𝑞 ∥ 𝑃))
120	89, 114, 118, 119	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ 𝑞 ∥ 𝑃))
121	112, 120	mtbird 325	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ¬ 𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
122	109, 91	pccld 16797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
123	113, 122	nnexpcld 14186	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ)
124		pceq0 16818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
125	89, 123, 124	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → ((𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
126	121, 125	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 0)
127	126	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → 0 = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
128	94, 127	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑟) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
129	79, 128	pm2.61dan 812	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
130	129	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟)) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
131		aks6d1c7.1	. . . . 5 ⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
132		aks6d1c7.2	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
133		aks6d1c7.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
134		aks6d1c7.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
135		aks6d1c7.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
136		aks6d1c7.9	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
137		aks6d1c7.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
138		aks6d1c7.11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
139		aks6d1c7.12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
140		aks6d1c7.13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
141		aks6d1c7.14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
142	131, 132, 133, 15, 134, 24, 2, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141	aks6d1c7lem4 42144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)
143		reu6 3694	. . . 4 ⊢ (∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟))
144	142, 143	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 = 𝑟))
145	130, 144	r19.29a 3141	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
146	38	nnnn0d 12479	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
147	51	nnnn0d 12479	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
148	15, 38	pccld 16797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
149	147, 148	nn0expcld 14187	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ0)
150		pc11 16827	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))))
151	146, 149, 150	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝑁) = (𝑞 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))))
152	145, 151	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ∃!wreu 3349   class class class wbr 5102  {copab 5164   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049   < clt 11184   ≤ cle 11185  ℕcn 12162  2c2 12217  3c3 12218  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ℚcq 12883  ...cfz 13444  ⌊cfl 13728  ↑cexp 14002  √csqrt 15175   ∥ cdvds 16198   gcd cgcd 16440  ℙcprime 16617  od_ℤcodz 16709  ϕcphi 16710   pCnt cpc 16783  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  ._gcmg 18975  mulGrpcmgp 20025   RingIso crs 20355  Fieldcfield 20615  ℤRHomczrh 21385  chrcchr 21387  algSccascl 21737  var₁cv1 22036  Poly₁cpl1 22037  eval₁ce1 22177   log_b clogb 26650   PrimRoots cprimroots 42052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-prod 15846  df-fallfac 15949  df-ef 16009  df-sin 16011  df-cos 16012  df-pi 16014  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-prm 16618  df-odz 16711  df-phi 16712  df-pc 16784  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-pws 17388  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-qus 17448  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-nsg 19032  df-eqg 19033  df-ghm 19121  df-gim 19167  df-cntz 19225  df-od 19434  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-srg 20072  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-rhm 20357  df-rim 20358  df-nzr 20398  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-rlreg 20579  df-domn 20580  df-idom 20581  df-drng 20616  df-field 20617  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854  df-sra 21056  df-rgmod 21057  df-lidl 21094  df-rsp 21095  df-2idl 21136  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-zring 21333  df-zrh 21389  df-chr 21391  df-zn 21392  df-assa 21738  df-asp 21739  df-ascl 21740  df-psr 21794  df-mvr 21795  df-mpl 21796  df-opsr 21798  df-evls 21957  df-evl 21958  df-psr1 22040  df-vr1 22041  df-ply1 22042  df-coe1 22043  df-evl1 22179  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-cld 22882  df-ntr 22883  df-cls 22884  df-nei 22961  df-lp 22999  df-perf 23000  df-cn 23090  df-cnp 23091  df-haus 23178  df-tx 23425  df-hmeo 23618  df-fil 23709  df-fm 23801  df-flim 23802  df-flf 23803  df-xms 24184  df-ms 24185  df-tms 24186  df-cncf 24747  df-limc 25743  df-dv 25744  df-mdeg 25936  df-deg1 25937  df-mon1 26012  df-uc1p 26013  df-q1p 26014  df-r1p 26015  df-log 26441  df-cxp 26442  df-logb 26651  df-primroots 42053

This theorem is referenced by:  aks5lem6  42153