Theorem efne0d 16185

Description: The exponential of a complex number is nonzero, deduction form. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.) (Revised by SN, 25-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
efne0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
efne0d	⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ≠ 0)

Proof of Theorem efne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11194	. 2 ⊢ 1 ≠ 0
2		oveq1 7423	. . . 4 ⊢ ((exp‘𝐴) = 0 → ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐴)) = (0 · (exp‘-𝐴)))
3		efne0d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		efcan 16184	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐴)) = 1)
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐴)) = 1)
6	3	negcld 11581	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
7	6	efcld 16171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
8	7	mul02d 11433	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 · (exp‘-𝐴)) = 0)
9	5, 8	eqeq12d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐴)) = (0 · (exp‘-𝐴)) ↔ 1 = 0))
10	2, 9	imbitrid 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((exp‘𝐴) = 0 → 1 = 0))
11	10	necon3d 2978	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 ≠ 0 → (exp‘𝐴) ≠ 0))
12	1, 11	mpi 21	1 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11123  0cc0 11125  1c1 11126   · cmul 11130  -cneg 11467  expce 16149

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13043  df-ico 13404  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-shft 15140  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-ef 16155

This theorem is used by:  efne0  16186  cos9thpiminply  34283  cos9thpinconstrlem2  34285  cos9thpinconstr  34286  ef11d  43199