Theorem efne0d 16129

Description: The exponential of a complex number is nonzero, deduction form. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.) (Revised by SN, 25-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
efne0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
efne0d	⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ≠ 0)

Proof of Theorem efne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11144	. 2 ⊢ 1 ≠ 0
2		oveq1 7405	. . . 4 ⊢ ((exp‘𝐴) = 0 → ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐴)) = (0 · (exp‘-𝐴)))
3		efne0d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		efcan 16128	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐴)) = 1)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐴)) = 1)
6	3	negcld 11531	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
7	6	efcld 16115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
8	7	mul02d 11383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 · (exp‘-𝐴)) = 0)
9	5, 8	eqeq12d 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐴)) = (0 · (exp‘-𝐴)) ↔ 1 = 0))
10	2, 9	imbitrid 246	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((exp‘𝐴) = 0 → 1 = 0))
11	10	necon3d 2980	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 ≠ 0 → (exp‘𝐴) ≠ 0))
12	1, 11	mpi 20	1 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080  -cneg 11417  expce 16093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-pm 8813  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-ico 13357  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-seq 14017  df-exp 14077  df-fac 14289  df-bc 14318  df-hash 14346  df-shft 15082  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-limsup 15500  df-clim 15517  df-rlim 15518  df-sum 15716  df-ef 16099

This theorem is referenced by:  efne0  16130  cos9thpiminply  34087  cos9thpinconstrlem2  34089  cos9thpinconstr  34090  ef11d  42953