Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl6lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfl6lem 40011
Description: Lemma for lcfl6 40013. A functional 𝐺 (whose kernel is closed by dochsnkr 39985) is comletely determined by a vector 𝑋 in the orthocomplement in its kernel at which the functional value is 1. Note that the βˆ– { 0 } in the 𝑋 hypothesis is redundant by the last hypothesis but allows easier use of other theorems. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl6lem.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lcfl6lem.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfl6lem.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfl6lem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcfl6lem.a + = (+gβ€˜π‘ˆ)
lcfl6lem.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
lcfl6lem.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lcfl6lem.i 1 = (1rβ€˜π‘†)
lcfl6lem.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
lcfl6lem.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
lcfl6lem.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lcfl6lem.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
lcfl6lem.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lcfl6lem.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfl6lem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) βˆ– { 0 }))
lcfl6lem.y (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = 1 )
Assertion
Ref Expression
lcfl6lem (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑋})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑣,π‘˜,𝑀, +   1 ,π‘˜,𝑀   βŠ₯ ,π‘˜,𝑣,𝑀   𝑅,π‘˜,𝑣   𝑆,π‘˜   Β· ,π‘˜,𝑣,𝑀   𝑣,𝑉   π‘˜,𝑋,𝑣,𝑀   𝑀, 0
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝑅(𝑀)   𝑆(𝑀,𝑣)   π‘ˆ(𝑀,𝑣,π‘˜)   1 (𝑣)   𝐹(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐺(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐻(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐾(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐿(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝑉(𝑀,π‘˜)   π‘Š(𝑀,𝑣,π‘˜)   0 (𝑣,π‘˜)

Proof of Theorem lcfl6lem
StepHypRef Expression
1 lcfl6lem.v . 2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
2 lcfl6lem.s . 2 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
3 lcfl6lem.r . 2 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
4 eqid 2733 . 2 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
5 lcfl6lem.f . 2 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
6 lcfl6lem.l . 2 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
7 lcfl6lem.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 lcfl6lem.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 lcfl6lem.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
107, 8, 9dvhlvec 39622 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
117, 8, 9dvhlmod 39623 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
12 lcfl6lem.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
131, 5, 6, 11, 12lkrssv 37608 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† 𝑉)
14 lcfl6lem.o . . . . 5 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
157, 8, 1, 14dochssv 39868 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) βŠ† 𝑉)
169, 13, 15syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) βŠ† 𝑉)
17 lcfl6lem.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) βˆ– { 0 }))
1817eldifad 3926 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)))
1916, 18sseldd 3949 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
20 lcfl6lem.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
21 lcfl6lem.a . . 3 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
22 lcfl6lem.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
23 eqid 2733 . . 3 (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑋})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑋)))) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑋})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑋))))
24 eldifsni 4754 . . . . 5 (𝑋 ∈ (( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) βˆ– { 0 }) β†’ 𝑋 β‰  0 )
2517, 24syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
26 eldifsn 4751 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ))
2719, 25, 26sylanbrc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
287, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 5, 2, 3, 23, 9, 27dochflcl 39988 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑋})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑋)))) ∈ 𝐹)
297, 14, 8, 1, 20, 5, 6, 9, 12, 17dochsnkr 39985 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
307, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 6, 2, 3, 23, 9, 27dochsnkr2 39986 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑋})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑋))))) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
3129, 30eqtr4d 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑋})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑋))))))
32 lcfl6lem.y . . 3 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = 1 )
33 lcfl6lem.i . . . 4 1 = (1rβ€˜π‘†)
347, 14, 8, 1, 21, 22, 20, 2, 3, 33, 9, 27, 23dochfl1 39989 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑋})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑋))))β€˜π‘‹) = 1 )
3532, 34eqtr4d 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑋})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑋))))β€˜π‘‹))
367, 14, 8, 1, 2, 4, 20, 5, 6, 9, 12, 17dochfln0 39990 . 2 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  (0gβ€˜π‘†))
371, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 19, 12, 28, 31, 35, 36eqlkr3 37613 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑋})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  {csn 4590   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  β„©crio 7316  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  0gc0g 17329  1rcur 19921  LFnlclfn 37569  LKerclk 37597  HLchlt 37862  LHypclh 38497  DVecHcdvh 39591  ocHcoch 39860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-lsm 19426  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608  df-lsatoms 37488  df-lshyp 37489  df-lfl 37570  df-lkr 37598  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tgrp 39256  df-tendo 39268  df-edring 39270  df-dveca 39516  df-disoa 39542  df-dvech 39592  df-dib 39652  df-dic 39686  df-dih 39742  df-doch 39861  df-djh 39908
This theorem is referenced by:  lcfl6  40013
  Copyright terms: Public domain W3C validator