Theorem lcfl6lem 38636

Description: Lemma for lcfl6 38638. A functional 𝐺 (whose kernel is closed by dochsnkr 38610) is comletely determined by a vector 𝑋 in the orthocomplement in its kernel at which the functional value is 1. Note that the ∖ { 0 } in the 𝑋 hypothesis is redundant by the last hypothesis but allows easier use of other theorems. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl6lem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl6lem.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6lem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6lem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl6lem.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfl6lem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfl6lem.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfl6lem.i	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lcfl6lem.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfl6lem.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfl6lem.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl6lem.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl6lem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl6lem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfl6lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
lcfl6lem.y	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
lcfl6lem	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   1 ,𝑘,𝑤   ⊥ ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤, 0

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤,𝑣)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑘)   1 (𝑣)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfl6lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl6lem.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		lcfl6lem.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
3		lcfl6lem.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
4		eqid 2823	. 2 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
5		lcfl6lem.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		lcfl6lem.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7		lcfl6lem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		lcfl6lem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		lcfl6lem.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	7, 8, 9	dvhlvec 38247	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
11	7, 8, 9	dvhlmod 38248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12		lcfl6lem.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13	1, 5, 6, 11, 12	lkrssv 36234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
14		lcfl6lem.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
15	7, 8, 1, 14	dochssv 38493	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
16	9, 13, 15	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
17		lcfl6lem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
18	17	eldifad 3950	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
19	16, 18	sseldd 3970	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
20		lcfl6lem.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
21		lcfl6lem.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
22		lcfl6lem.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
23		eqid 2823	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
24		eldifsni 4724	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
25	17, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
26		eldifsn 4721	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
27	19, 25, 26	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
28	7, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 5, 2, 3, 23, 9, 27	dochflcl 38613	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))) ∈ 𝐹)
29	7, 14, 8, 1, 20, 5, 6, 9, 12, 17	dochsnkr 38610	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
30	7, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 6, 2, 3, 23, 9, 27	dochsnkr2 38611	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
31	29, 30	eqtr4d 2861	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))))
32		lcfl6lem.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = 1 )
33		lcfl6lem.i	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
34	7, 14, 8, 1, 21, 22, 20, 2, 3, 33, 9, 27, 23	dochfl1 38614	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))‘𝑋) = 1 )
35	32, 34	eqtr4d 2861	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))‘𝑋))
36	7, 14, 8, 1, 2, 4, 20, 5, 6, 9, 12, 17	dochfln0 38615	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ (0g‘𝑆))
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 19, 12, 28, 31, 35, 36	eqlkr3 36239	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∃wrex 3141   ∖ cdif 3935   ⊆ wss 3938  {csn 4569   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357  ℩crio 7115  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  Scalarcsca 16570   ·_𝑠 cvsca 16571  0_gc0g 16715  1_rcur 19253  LFnlclfn 36195  LKerclk 36223  HLchlt 36488  LHypclh 37122  DVecHcdvh 38216  ocHcoch 38485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-riotaBAD 36091

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-undef 7941  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-0g 16717  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-p1 17652  df-lat 17658  df-clat 17720  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-cntz 18449  df-lsm 18763  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-dvr 19435  df-drng 19506  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-lvec 19877  df-lsatoms 36114  df-lshyp 36115  df-lfl 36196  df-lkr 36224  df-oposet 36314  df-ol 36316  df-oml 36317  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489  df-llines 36636  df-lplanes 36637  df-lvols 36638  df-lines 36639  df-psubsp 36641  df-pmap 36642  df-padd 36934  df-lhyp 37126  df-laut 37127  df-ldil 37242  df-ltrn 37243  df-trl 37297  df-tgrp 37881  df-tendo 37893  df-edring 37895  df-dveca 38141  df-disoa 38167  df-dvech 38217  df-dib 38277  df-dic 38311  df-dih 38367  df-doch 38486  df-djh 38533

This theorem is referenced by:  lcfl6  38638