Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl6lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfl6lem 40872
Description: Lemma for lcfl6 40874. A functional 𝐺 (whose kernel is closed by dochsnkr 40846) is comletely determined by a vector 𝑋 in the orthocomplement in its kernel at which the functional value is 1. Note that the βˆ– { 0 } in the 𝑋 hypothesis is redundant by the last hypothesis but allows easier use of other theorems. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl6lem.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lcfl6lem.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfl6lem.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfl6lem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcfl6lem.a + = (+gβ€˜π‘ˆ)
lcfl6lem.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
lcfl6lem.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lcfl6lem.i 1 = (1rβ€˜π‘†)
lcfl6lem.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
lcfl6lem.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
lcfl6lem.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lcfl6lem.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
lcfl6lem.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lcfl6lem.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfl6lem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) βˆ– { 0 }))
lcfl6lem.y (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = 1 )
Assertion
Ref Expression
lcfl6lem (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑋})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑣,π‘˜,𝑀, +   1 ,π‘˜,𝑀   βŠ₯ ,π‘˜,𝑣,𝑀   𝑅,π‘˜,𝑣   𝑆,π‘˜   Β· ,π‘˜,𝑣,𝑀   𝑣,𝑉   π‘˜,𝑋,𝑣,𝑀   𝑀, 0
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝑅(𝑀)   𝑆(𝑀,𝑣)   π‘ˆ(𝑀,𝑣,π‘˜)   1 (𝑣)   𝐹(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐺(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐻(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐾(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐿(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝑉(𝑀,π‘˜)   π‘Š(𝑀,𝑣,π‘˜)   0 (𝑣,π‘˜)

Proof of Theorem lcfl6lem
StepHypRef Expression
1 lcfl6lem.v . 2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
2 lcfl6lem.s . 2 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
3 lcfl6lem.r . 2 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
4 eqid 2724 . 2 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
5 lcfl6lem.f . 2 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
6 lcfl6lem.l . 2 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
7 lcfl6lem.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 lcfl6lem.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 lcfl6lem.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
107, 8, 9dvhlvec 40483 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
117, 8, 9dvhlmod 40484 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
12 lcfl6lem.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
131, 5, 6, 11, 12lkrssv 38469 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† 𝑉)
14 lcfl6lem.o . . . . 5 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
157, 8, 1, 14dochssv 40729 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) βŠ† 𝑉)
169, 13, 15syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) βŠ† 𝑉)
17 lcfl6lem.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) βˆ– { 0 }))
1817eldifad 3953 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)))
1916, 18sseldd 3976 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
20 lcfl6lem.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
21 lcfl6lem.a . . 3 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
22 lcfl6lem.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
23 eqid 2724 . . 3 (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑋})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑋)))) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑋})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑋))))
24 eldifsni 4786 . . . . 5 (𝑋 ∈ (( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) βˆ– { 0 }) β†’ 𝑋 β‰  0 )
2517, 24syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
26 eldifsn 4783 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ))
2719, 25, 26sylanbrc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
287, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 5, 2, 3, 23, 9, 27dochflcl 40849 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑋})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑋)))) ∈ 𝐹)
297, 14, 8, 1, 20, 5, 6, 9, 12, 17dochsnkr 40846 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
307, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 6, 2, 3, 23, 9, 27dochsnkr2 40847 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑋})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑋))))) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
3129, 30eqtr4d 2767 . 2 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑋})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑋))))))
32 lcfl6lem.y . . 3 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = 1 )
33 lcfl6lem.i . . . 4 1 = (1rβ€˜π‘†)
347, 14, 8, 1, 21, 22, 20, 2, 3, 33, 9, 27, 23dochfl1 40850 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑋})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑋))))β€˜π‘‹) = 1 )
3532, 34eqtr4d 2767 . 2 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑋})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑋))))β€˜π‘‹))
367, 14, 8, 1, 2, 4, 20, 5, 6, 9, 12, 17dochfln0 40851 . 2 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  (0gβ€˜π‘†))
371, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 19, 12, 28, 31, 35, 36eqlkr3 38474 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑋})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆƒwrex 3062   βˆ– cdif 3938   βŠ† wss 3941  {csn 4621   ↦ cmpt 5222  β€˜cfv 6534  β„©crio 7357  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  0gc0g 17390  1rcur 20082  LFnlclfn 38430  LKerclk 38458  HLchlt 38723  LHypclh 39358  DVecHcdvh 40452  ocHcoch 40721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 38326
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18393  df-clat 18460  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lvec 20947  df-lsatoms 38349  df-lshyp 38350  df-lfl 38431  df-lkr 38459  df-oposet 38549  df-ol 38551  df-oml 38552  df-covers 38639  df-ats 38640  df-atl 38671  df-cvlat 38695  df-hlat 38724  df-llines 38872  df-lplanes 38873  df-lvols 38874  df-lines 38875  df-psubsp 38877  df-pmap 38878  df-padd 39170  df-lhyp 39362  df-laut 39363  df-ldil 39478  df-ltrn 39479  df-trl 39533  df-tgrp 40117  df-tendo 40129  df-edring 40131  df-dveca 40377  df-disoa 40403  df-dvech 40453  df-dib 40513  df-dic 40547  df-dih 40603  df-doch 40722  df-djh 40769
This theorem is referenced by:  lcfl6  40874
  Copyright terms: Public domain W3C validator