Theorem lcfl6lem 41607

Description: Lemma for lcfl6 41609. A functional 𝐺 (whose kernel is closed by dochsnkr 41581) is completely determined by a vector 𝑋 in the orthocomplement in its kernel at which the functional value is 1. Note that the ∖ { 0 } in the 𝑋 hypothesis is redundant by the last hypothesis but allows easier use of other theorems. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl6lem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl6lem.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6lem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6lem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl6lem.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfl6lem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfl6lem.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfl6lem.i	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lcfl6lem.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfl6lem.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfl6lem.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl6lem.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl6lem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl6lem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfl6lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
lcfl6lem.y	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
lcfl6lem	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   1 ,𝑘,𝑤   ⊥ ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤, 0

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤,𝑣)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑘)   1 (𝑣)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfl6lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl6lem.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		lcfl6lem.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
3		lcfl6lem.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
4		eqid 2733	. 2 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
5		lcfl6lem.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		lcfl6lem.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7		lcfl6lem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		lcfl6lem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		lcfl6lem.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	7, 8, 9	dvhlvec 41218	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
11	7, 8, 9	dvhlmod 41219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12		lcfl6lem.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13	1, 5, 6, 11, 12	lkrssv 39205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
14		lcfl6lem.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
15	7, 8, 1, 14	dochssv 41464	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
16	9, 13, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
17		lcfl6lem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
18	17	eldifad 3911	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
19	16, 18	sseldd 3932	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
20		lcfl6lem.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
21		lcfl6lem.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
22		lcfl6lem.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
23		eqid 2733	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
24		eldifsni 4743	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
25	17, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
26		eldifsn 4739	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
27	19, 25, 26	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
28	7, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 5, 2, 3, 23, 9, 27	dochflcl 41584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))) ∈ 𝐹)
29	7, 14, 8, 1, 20, 5, 6, 9, 12, 17	dochsnkr 41581	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
30	7, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 6, 2, 3, 23, 9, 27	dochsnkr2 41582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
31	29, 30	eqtr4d 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))))
32		lcfl6lem.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = 1 )
33		lcfl6lem.i	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
34	7, 14, 8, 1, 21, 22, 20, 2, 3, 33, 9, 27, 23	dochfl1 41585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))‘𝑋) = 1 )
35	32, 34	eqtr4d 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))‘𝑋))
36	7, 14, 8, 1, 2, 4, 20, 5, 6, 9, 12, 17	dochfln0 41586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ (0g‘𝑆))
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 19, 12, 28, 31, 35, 36	eqlkr3 39210	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∃wrex 3058   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4577   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  ℩crio 7311  (class class class)co 7355  Basecbs 17130  +_gcplusg 17171  Scalarcsca 17174   ·_𝑠 cvsca 17175  0_gc0g 17353  1_rcur 20109  LFnlclfn 39166  LKerclk 39194  HLchlt 39459  LHypclh 40093  DVecHcdvh 41187  ocHcoch 41456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-riotaBAD 39062

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-undef 8212  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-0g 17355  df-proset 18210  df-poset 18229  df-plt 18244  df-lub 18260  df-glb 18261  df-join 18262  df-meet 18263  df-p0 18339  df-p1 18340  df-lat 18348  df-clat 18415  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-submnd 18702  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19046  df-cntz 19239  df-lsm 19558  df-cmn 19704  df-abl 19705  df-mgp 20069  df-rng 20081  df-ur 20110  df-ring 20163  df-oppr 20265  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-drng 20656  df-lmod 20805  df-lss 20875  df-lsp 20915  df-lvec 21047  df-lsatoms 39085  df-lshyp 39086  df-lfl 39167  df-lkr 39195  df-oposet 39285  df-ol 39287  df-oml 39288  df-covers 39375  df-ats 39376  df-atl 39407  df-cvlat 39431  df-hlat 39460  df-llines 39607  df-lplanes 39608  df-lvols 39609  df-lines 39610  df-psubsp 39612  df-pmap 39613  df-padd 39905  df-lhyp 40097  df-laut 40098  df-ldil 40213  df-ltrn 40214  df-trl 40268  df-tgrp 40852  df-tendo 40864  df-edring 40866  df-dveca 41112  df-disoa 41138  df-dvech 41188  df-dib 41248  df-dic 41282  df-dih 41338  df-doch 41457  df-djh 41504

This theorem is referenced by:  lcfl6  41609