Theorem lcfl6lem 42373

Description: Lemma for lcfl6 42375. A functional 𝐺 (whose kernel is closed by dochsnkr 42347) is completely determined by a vector 𝑋 in the orthocomplement in its kernel at which the functional value is 1. Note that the ∖ { 0 } in the 𝑋 hypothesis is redundant by the last hypothesis but allows easier use of other theorems. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl6lem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl6lem.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6lem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6lem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl6lem.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfl6lem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfl6lem.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfl6lem.i	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lcfl6lem.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfl6lem.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfl6lem.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl6lem.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl6lem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl6lem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfl6lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
lcfl6lem.y	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
lcfl6lem	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   1 ,𝑘,𝑤   ⊥ ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤, 0

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤, 𝑣)   𝑈(𝑤, 𝑣, 𝑘)   1 (𝑣)   𝐹(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐺(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐻(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐾(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐿(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝑉(𝑤, 𝑘)   𝑊(𝑤, 𝑣, 𝑘)   0 (𝑣, 𝑘)

Proof of Theorem lcfl6lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl6lem.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		lcfl6lem.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
3		lcfl6lem.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
4		eqid 2762	. 2 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
5		lcfl6lem.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		lcfl6lem.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7		lcfl6lem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		lcfl6lem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		lcfl6lem.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	7, 8, 9	dvhlvec 41984	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
11	7, 8, 9	dvhlmod 41985	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12		lcfl6lem.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13	1, 5, 6, 11, 12	lkrssv 39971	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
14		lcfl6lem.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
15	7, 8, 1, 14	dochssv 42230	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
16	9, 13, 15	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
17		lcfl6lem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
18	17	eldifad 3914	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
19	16, 18	sseldd 3935	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
20		lcfl6lem.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
21		lcfl6lem.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
22		lcfl6lem.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
23		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
24		eldifsni 4756	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
25	17, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
26		eldifsn 4751	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
27	19, 25, 26	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
28	7, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 5, 2, 3, 23, 9, 27	dochflcl 42350	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))) ∈ 𝐹)
29	7, 14, 8, 1, 20, 5, 6, 9, 12, 17	dochsnkr 42347	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
30	7, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 6, 2, 3, 23, 9, 27	dochsnkr2 42348	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
31	29, 30	eqtr4d 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))))
32		lcfl6lem.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = 1 )
33		lcfl6lem.i	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
34	7, 14, 8, 1, 21, 22, 20, 2, 3, 33, 9, 27, 23	dochfl1 42351	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))‘𝑋) = 1 )
35	32, 34	eqtr4d 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))‘𝑋))
36	7, 14, 8, 1, 2, 4, 20, 5, 6, 9, 12, 17	dochfln0 42352	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ (0g‘𝑆))
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 19, 12, 28, 31, 35, 36	eqlkr3 39976	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4587   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  ℩crio 7372  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  Scalarcsca 17349   ·_𝑠 cvsca 17350  0_gc0g 17528  1_rcur 20324  LFnlclfn 39932  LKerclk 39960  HLchlt 40225  LHypclh 40859  DVecHcdvh 41953  ocHcoch 42222

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-riotaBAD 39828

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-undef 8274  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-0g 17530  df-proset 18386  df-poset 18405  df-plt 18420  df-lub 18436  df-glb 18437  df-join 18438  df-meet 18439  df-p0 18515  df-p1 18516  df-lat 18524  df-clat 18591  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-submnd 18896  df-grp 19064  df-minusg 19065  df-sbg 19066  df-subg 19250  df-cntz 19448  df-lsm 19767  df-cmn 19913  df-abl 19914  df-mgp 20278  df-rng 20292  df-ur 20325  df-ring 20378  df-oppr 20482  df-dvdsr 20502  df-unit 20503  df-invr 20533  df-dvr 20546  df-drng 20896  df-lmod 21050  df-lss 21120  df-lsp 21160  df-lvec 21291  df-lsatoms 39851  df-lshyp 39852  df-lfl 39933  df-lkr 39961  df-oposet 40051  df-ol 40053  df-oml 40054  df-covers 40141  df-ats 40142  df-atl 40173  df-cvlat 40197  df-hlat 40226  df-llines 40373  df-lplanes 40374  df-lvols 40375  df-lines 40376  df-psubsp 40378  df-pmap 40379  df-padd 40671  df-lhyp 40863  df-laut 40864  df-ldil 40979  df-ltrn 40980  df-trl 41034  df-tgrp 41618  df-tendo 41630  df-edring 41632  df-dveca 41878  df-disoa 41904  df-dvech 41954  df-dib 42014  df-dic 42048  df-dih 42104  df-doch 42223  df-djh 42270

This theorem is used by:  lcfl6  42375