Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl6lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfl6lem 40835
Description: Lemma for lcfl6 40837. A functional 𝐺 (whose kernel is closed by dochsnkr 40809) is comletely determined by a vector 𝑋 in the orthocomplement in its kernel at which the functional value is 1. Note that the ∖ { 0 } in the 𝑋 hypothesis is redundant by the last hypothesis but allows easier use of other theorems. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl6lem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl6lem.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6lem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6lem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl6lem.a + = (+g𝑈)
lcfl6lem.t · = ( ·𝑠𝑈)
lcfl6lem.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfl6lem.i 1 = (1r𝑆)
lcfl6lem.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfl6lem.z 0 = (0g𝑈)
lcfl6lem.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl6lem.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl6lem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfl6lem.g (𝜑𝐺𝐹)
lcfl6lem.x (𝜑𝑋 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }))
lcfl6lem.y (𝜑 → (𝐺𝑋) = 1 )
Assertion
Ref Expression
lcfl6lem (𝜑𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   1 ,𝑘,𝑤   ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤, 0
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤,𝑣)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑘)   1 (𝑣)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfl6lem
StepHypRef Expression
1 lcfl6lem.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
2 lcfl6lem.s . 2 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
3 lcfl6lem.r . 2 𝑅 = (Base‘𝑆)
4 eqid 2731 . 2 (0g𝑆) = (0g𝑆)
5 lcfl6lem.f . 2 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6 lcfl6lem.l . 2 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7 lcfl6lem.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 lcfl6lem.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9 lcfl6lem.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
107, 8, 9dvhlvec 40446 . 2 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
117, 8, 9dvhlmod 40447 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
12 lcfl6lem.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐹)
131, 5, 6, 11, 12lkrssv 38432 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉)
14 lcfl6lem.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
157, 8, 1, 14dochssv 40692 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑉)
169, 13, 15syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑉)
17 lcfl6lem.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }))
1817eldifad 3960 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))
1916, 18sseldd 3983 . 2 (𝜑𝑋𝑉)
20 lcfl6lem.z . . 3 0 = (0g𝑈)
21 lcfl6lem.a . . 3 + = (+g𝑈)
22 lcfl6lem.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑈)
23 eqid 2731 . . 3 (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))) = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
24 eldifsni 4793 . . . . 5 (𝑋 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
2517, 24syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋0 )
26 eldifsn 4790 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉𝑋0 ))
2719, 25, 26sylanbrc 582 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
287, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 5, 2, 3, 23, 9, 27dochflcl 40812 . 2 (𝜑 → (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))) ∈ 𝐹)
297, 14, 8, 1, 20, 5, 6, 9, 12, 17dochsnkr 40809 . . 3 (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑋}))
307, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 6, 2, 3, 23, 9, 27dochsnkr2 40810 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘(𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))) = ( ‘{𝑋}))
3129, 30eqtr4d 2774 . 2 (𝜑 → (𝐿𝐺) = (𝐿‘(𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))))
32 lcfl6lem.y . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑋) = 1 )
33 lcfl6lem.i . . . 4 1 = (1r𝑆)
347, 14, 8, 1, 21, 22, 20, 2, 3, 33, 9, 27, 23dochfl1 40813 . . 3 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))‘𝑋) = 1 )
3532, 34eqtr4d 2774 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑋) = ((𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))‘𝑋))
367, 14, 8, 1, 2, 4, 20, 5, 6, 9, 12, 17dochfln0 40814 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ (0g𝑆))
371, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 19, 12, 28, 31, 35, 36eqlkr3 38437 1 (𝜑𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wrex 3069  cdif 3945  wss 3948  {csn 4628  cmpt 5231  cfv 6543  crio 7367  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  0gc0g 17392  1rcur 20082  LFnlclfn 38393  LKerclk 38421  HLchlt 38686  LHypclh 39321  DVecHcdvh 40415  ocHcoch 40684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-riotaBAD 38289
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-undef 8264  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lvec 20947  df-lsatoms 38312  df-lshyp 38313  df-lfl 38394  df-lkr 38422  df-oposet 38512  df-ol 38514  df-oml 38515  df-covers 38602  df-ats 38603  df-atl 38634  df-cvlat 38658  df-hlat 38687  df-llines 38835  df-lplanes 38836  df-lvols 38837  df-lines 38838  df-psubsp 38840  df-pmap 38841  df-padd 39133  df-lhyp 39325  df-laut 39326  df-ldil 39441  df-ltrn 39442  df-trl 39496  df-tgrp 40080  df-tendo 40092  df-edring 40094  df-dveca 40340  df-disoa 40366  df-dvech 40416  df-dib 40476  df-dic 40510  df-dih 40566  df-doch 40685  df-djh 40732
This theorem is referenced by:  lcfl6  40837
  Copyright terms: Public domain W3C validator