Theorem lcfl6lem 42157

Description: Lemma for lcfl6 42159. A functional 𝐺 (whose kernel is closed by dochsnkr 42131) is completely determined by a vector 𝑋 in the orthocomplement in its kernel at which the functional value is 1. Note that the ∖ { 0 } in the 𝑋 hypothesis is redundant by the last hypothesis but allows easier use of other theorems. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl6lem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl6lem.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6lem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6lem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl6lem.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfl6lem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfl6lem.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfl6lem.i	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lcfl6lem.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfl6lem.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfl6lem.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl6lem.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl6lem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl6lem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfl6lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
lcfl6lem.y	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
lcfl6lem	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   1 ,𝑘,𝑤   ⊥ ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤, 0

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤,𝑣)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑘)   1 (𝑣)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfl6lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl6lem.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		lcfl6lem.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
3		lcfl6lem.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
4		eqid 2769	. 2 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
5		lcfl6lem.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		lcfl6lem.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7		lcfl6lem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		lcfl6lem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		lcfl6lem.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	7, 8, 9	dvhlvec 41768	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
11	7, 8, 9	dvhlmod 41769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12		lcfl6lem.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13	1, 5, 6, 11, 12	lkrssv 39755	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
14		lcfl6lem.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
15	7, 8, 1, 14	dochssv 42014	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
16	9, 13, 15	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
17		lcfl6lem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
18	17	eldifad 3925	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
19	16, 18	sseldd 3946	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
20		lcfl6lem.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
21		lcfl6lem.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
22		lcfl6lem.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
23		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
24		eldifsni 4759	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
25	17, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
26		eldifsn 4755	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
27	19, 25, 26	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
28	7, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 5, 2, 3, 23, 9, 27	dochflcl 42134	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))) ∈ 𝐹)
29	7, 14, 8, 1, 20, 5, 6, 9, 12, 17	dochsnkr 42131	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
30	7, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 6, 2, 3, 23, 9, 27	dochsnkr2 42132	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
31	29, 30	eqtr4d 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))))
32		lcfl6lem.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = 1 )
33		lcfl6lem.i	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
34	7, 14, 8, 1, 21, 22, 20, 2, 3, 33, 9, 27, 23	dochfl1 42135	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))‘𝑋) = 1 )
35	32, 34	eqtr4d 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))‘𝑋))
36	7, 14, 8, 1, 2, 4, 20, 5, 6, 9, 12, 17	dochfln0 42136	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ (0g‘𝑆))
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 19, 12, 28, 31, 35, 36	eqlkr3 39760	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  {csn 4591   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6534  ℩crio 7364  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  Scalarcsca 17309   ·_𝑠 cvsca 17310  0_gc0g 17488  1_rcur 20259  LFnlclfn 39716  LKerclk 39744  HLchlt 40009  LHypclh 40643  DVecHcdvh 41737  ocHcoch 42006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-riotaBAD 39612

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-undef 8265  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-0g 17490  df-proset 18346  df-poset 18365  df-plt 18380  df-lub 18396  df-glb 18397  df-join 18398  df-meet 18399  df-p0 18475  df-p1 18476  df-lat 18484  df-clat 18551  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-subg 19185  df-cntz 19383  df-lsm 19702  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-drng 20811  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067  df-lvec 21198  df-lsatoms 39635  df-lshyp 39636  df-lfl 39717  df-lkr 39745  df-oposet 39835  df-ol 39837  df-oml 39838  df-covers 39925  df-ats 39926  df-atl 39957  df-cvlat 39981  df-hlat 40010  df-llines 40157  df-lplanes 40158  df-lvols 40159  df-lines 40160  df-psubsp 40162  df-pmap 40163  df-padd 40455  df-lhyp 40647  df-laut 40648  df-ldil 40763  df-ltrn 40764  df-trl 40818  df-tgrp 41402  df-tendo 41414  df-edring 41416  df-dveca 41662  df-disoa 41688  df-dvech 41738  df-dib 41798  df-dic 41832  df-dih 41888  df-doch 42007  df-djh 42054

This theorem is referenced by:  lcfl6  42159