Theorem lcfl6lem 40971

Description: Lemma for lcfl6 40973. A functional 𝐺 (whose kernel is closed by dochsnkr 40945) is comletely determined by a vector 𝑋 in the orthocomplement in its kernel at which the functional value is 1. Note that the ∖ { 0 } in the 𝑋 hypothesis is redundant by the last hypothesis but allows easier use of other theorems. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl6lem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl6lem.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6lem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6lem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl6lem.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfl6lem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfl6lem.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfl6lem.i	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lcfl6lem.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfl6lem.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfl6lem.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl6lem.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl6lem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl6lem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfl6lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
lcfl6lem.y	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
lcfl6lem	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   1 ,𝑘,𝑤   ⊥ ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤, 0

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤,𝑣)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑘)   1 (𝑣)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfl6lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl6lem.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		lcfl6lem.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
3		lcfl6lem.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
4		eqid 2728	. 2 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
5		lcfl6lem.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		lcfl6lem.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7		lcfl6lem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		lcfl6lem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		lcfl6lem.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	7, 8, 9	dvhlvec 40582	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
11	7, 8, 9	dvhlmod 40583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12		lcfl6lem.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13	1, 5, 6, 11, 12	lkrssv 38568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
14		lcfl6lem.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
15	7, 8, 1, 14	dochssv 40828	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
16	9, 13, 15	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
17		lcfl6lem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
18	17	eldifad 3959	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
19	16, 18	sseldd 3981	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
20		lcfl6lem.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
21		lcfl6lem.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
22		lcfl6lem.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
23		eqid 2728	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
24		eldifsni 4794	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
25	17, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
26		eldifsn 4791	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
27	19, 25, 26	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
28	7, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 5, 2, 3, 23, 9, 27	dochflcl 40948	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))) ∈ 𝐹)
29	7, 14, 8, 1, 20, 5, 6, 9, 12, 17	dochsnkr 40945	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
30	7, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 6, 2, 3, 23, 9, 27	dochsnkr2 40946	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
31	29, 30	eqtr4d 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))))
32		lcfl6lem.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = 1 )
33		lcfl6lem.i	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
34	7, 14, 8, 1, 21, 22, 20, 2, 3, 33, 9, 27, 23	dochfl1 40949	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))‘𝑋) = 1 )
35	32, 34	eqtr4d 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = ((𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))‘𝑋))
36	7, 14, 8, 1, 2, 4, 20, 5, 6, 9, 12, 17	dochfln0 40950	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ (0g‘𝑆))
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 19, 12, 28, 31, 35, 36	eqlkr3 38573	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  {csn 4629   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6548  ℩crio 7375  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  +_gcplusg 17232  Scalarcsca 17235   ·_𝑠 cvsca 17236  0_gc0g 17420  1_rcur 20120  LFnlclfn 38529  LKerclk 38557  HLchlt 38822  LHypclh 39457  DVecHcdvh 40551  ocHcoch 40820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38425

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-undef 8278  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-cntz 19267  df-lsm 19590  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-drng 20625  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-lvec 20987  df-lsatoms 38448  df-lshyp 38449  df-lfl 38530  df-lkr 38558  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632  df-tgrp 40216  df-tendo 40228  df-edring 40230  df-dveca 40476  df-disoa 40502  df-dvech 40552  df-dib 40612  df-dic 40646  df-dih 40702  df-doch 40821  df-djh 40868

This theorem is referenced by:  lcfl6  40973