Theorem erngring-rN 41699

Description: An endomorphism ring is a ring. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 4-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ernggrp.h-r	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d-r	⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
erngring-rN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)

Proof of Theorem erngring-rN

Dummy variables 𝑓 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ernggrp.h-r	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		ernggrp.d-r	. 2 ⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2769	. 2 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		eqid 2769	. 2 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2769	. 2 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2769	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑏 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))) = (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑏 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
7		eqid 2769	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
8		eqid 2769	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ◡(𝑎‘𝑓))) = (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
9		eqid 2769	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑏 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑏 ∘ 𝑎)) = (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑏 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑏 ∘ 𝑎))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	erngdvlem3-rN 41697	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ↦ cmpt 5194   I cid 5556  ^◡ccnv 5661   ↾ cres 5664   ∘ ccom 5666  ‘cfv 6537   ∈ cmpo 7413  Basecbs 17269  Ringcrg 20315  HLchlt 40049  LHypclh 40683  LTrncltrn 40800  TEndoctendo 41451  EDRing_Rcedring-rN 41453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-riotaBAD 39652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-undef 8269  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-0g 17494  df-proset 18350  df-poset 18369  df-plt 18384  df-lub 18400  df-glb 18401  df-join 18402  df-meet 18403  df-p0 18479  df-p1 18480  df-lat 18488  df-clat 18555  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-mgp 20217  df-ring 20317  df-oposet 39875  df-ol 39877  df-oml 39878  df-covers 39965  df-ats 39966  df-atl 39997  df-cvlat 40021  df-hlat 40050  df-llines 40197  df-lplanes 40198  df-lvols 40199  df-lines 40200  df-psubsp 40202  df-pmap 40203  df-padd 40495  df-lhyp 40687  df-laut 40688  df-ldil 40803  df-ltrn 40804  df-trl 40858  df-tendo 41454  df-edring-rN 41455

This theorem is referenced by: (None)