Theorem evls1rhmlem 22346

Description: Lemma for evl1rhm 22357 and evls1rhm 22347 (formerly part of the proof of evl1rhm 22357): The first function of the composition forming the univariate polynomial evaluation map function for a (sub)ring is a ring homomorphism. (Contributed by AV, 11-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1rhmlem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1rhmlem.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s 𝐵)
evl1rhmlem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))

Assertion

Ref	Expression
evls1rhmlem	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) RingHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑇(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem evls1rhmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1rhmlem.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
2		ovex 7481	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V
3		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
4		evl1rhmlem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	3, 4	pwsbas 17547	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V) → (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
6	2, 5	mpan2 690	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
7	6	mpteq1d 5261	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
8	1, 7	eqtrid 2792	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
9		evl1rhmlem.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s 𝐵)
10		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))
11		crngring 20272	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	4	fvexi 6934	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐵 ∈ V)
14	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐵 ↑m 1o) ∈ V)
15		df1o2 8529	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
16		0ex 5325	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
17		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))
18	15, 12, 16, 17	mapsnf1o3 8953	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑m 1o)
19		f1of 6862	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑m 1o) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑m 1o))
20	18, 19	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑m 1o))
21	9, 3, 10, 11, 13, 14, 20	pwsco1rhm 20528	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) RingHom 𝑇))
22	8, 21	eqeltrd 2844	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ∅c0 4352  {csn 4648   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1_oc1o 8515   ↑_m cmap 8884  Basecbs 17258   ↑_s cpws 17506  CRingccrg 20261   RingHom crh 20495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-ghm 19253  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-rhm 20498

This theorem is referenced by:  evls1rhm  22347  evl1rhm  22357