Theorem evls1rhmlem 22481

Description: Lemma for evl1rhm 22492 and evls1rhm 22482 (formerly part of the proof of evl1rhm 22492): The first function of the composition forming the univariate polynomial evaluation map function for a (sub)ring is a ring homomorphism. (Contributed by AV, 11-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1rhmlem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1rhmlem.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s 𝐵)
evl1rhmlem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))

Assertion

Ref	Expression
evls1rhmlem	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) RingHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑇(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem evls1rhmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1rhmlem.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
2		ovex 7443	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
4		evl1rhmlem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	3, 4	pwsbas 17535	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V) → (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
6	2, 5	mpan2 703	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
7	6	mpteq1d 5201	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
8	1, 7	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
9		evl1rhmlem.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s 𝐵)
10		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))
11		crngring 20322	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	4	fvexi 6895	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐵 ∈ V)
14	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐵 ↑m 1o) ∈ V)
15		df1o2 8456	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
16		0ex 5270	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
17		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))
18	15, 12, 16, 17	mapsnf1o3 8889	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑m 1o)
19		f1of 6820	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑m 1o) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑m 1o))
20	18, 19	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑m 1o))
21	9, 3, 10, 11, 13, 14, 20	pwsco1rhm 20589	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) RingHom 𝑇))
22	8, 21	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4286  {csn 4589   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1_oc1o 8442   ↑_m cmap 8820  Basecbs 17264   ↑_s cpws 17494  CRingccrg 20311   RingHom crh 20547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-ghm 19279  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-rhm 20550

This theorem is referenced by:  evls1rhm  22482  evl1rhm  22492