Theorem evls1rhmlem 20046

Description: Lemma for evl1rhm 20056 and evls1rhm 20047 (formerly part of the proof of evl1rhm 20056): The first function of the composition forming the univariate polynomial evaluation map function for a (sub)ring is a ring homomorphism. (Contributed by AV, 11-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1rhmlem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1rhmlem.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s 𝐵)
evl1rhmlem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))

Assertion

Ref	Expression
evls1rhmlem	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o)) RingHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑇(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem evls1rhmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1rhmlem.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
2		ovex 6937	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ↑𝑚 1o) ∈ V
3		eqid 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o)) = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o))
4		evl1rhmlem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	3, 4	pwsbas 16500	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐵 ↑𝑚 1o) ∈ V) → (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1o)) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o))))
6	2, 5	mpan2 684	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1o)) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o))))
7	6	mpteq1d 4961	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
8	1, 7	syl5eq 2873	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
9		evl1rhmlem.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s 𝐵)
10		eqid 2825	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o)))
11		crngring 18912	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	4	fvexi 6447	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐵 ∈ V)
14	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐵 ↑𝑚 1o) ∈ V)
15		df1o2 7839	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
16		0ex 5014	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
17		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))
18	15, 12, 16, 17	mapsnf1o3 8173	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 1o)
19		f1of 6378	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 1o) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑𝑚 1o))
20	18, 19	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑𝑚 1o))
21	9, 3, 10, 11, 13, 14, 20	pwsco1rhm 19094	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o)) RingHom 𝑇))
22	8, 21	eqeltrd 2906	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o)) RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3414  ∅c0 4144  {csn 4397   ↦ cmpt 4952   × cxp 5340   ∘ ccom 5346  ⟶wf 6119  –1-1-onto→wf1o 6122  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  1_oc1o 7819   ↑_𝑚 cmap 8122  Basecbs 16222   ↑_s cpws 16460  CRingccrg 18902   RingHom crh 19068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-hom 16329  df-cco 16330  df-0g 16455  df-prds 16461  df-pws 16463  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-ghm 18009  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-cring 18904  df-rnghom 19071

This theorem is referenced by:  evls1rhm  20047  evl1rhm  20056