Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1rhmlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1rhmlem 20479
 Description: Lemma for evl1rhm 20490 and evls1rhm 20480 (formerly part of the proof of evl1rhm 20490): The first function of the composition forming the univariate polynomial evaluation map function for a (sub)ring is a ring homomorphism. (Contributed by AV, 11-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1rhmlem.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1rhmlem.t 𝑇 = (𝑅s 𝐵)
evl1rhmlem.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
Assertion
Ref Expression
evls1rhmlem (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 ∈ ((𝑅s (𝐵m 1o)) RingHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑇(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem evls1rhmlem
StepHypRef Expression
1 evl1rhmlem.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
2 ovex 7179 . . . . 5 (𝐵m 1o) ∈ V
3 eqid 2824 . . . . . 6 (𝑅s (𝐵m 1o)) = (𝑅s (𝐵m 1o))
4 evl1rhmlem.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
53, 4pwsbas 16758 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐵m 1o) ∈ V) → (𝐵m (𝐵m 1o)) = (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))))
62, 5mpan2 690 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (𝐵m (𝐵m 1o)) = (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))))
76mpteq1d 5142 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
81, 7syl5eq 2871 . 2 (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
9 evl1rhmlem.t . . 3 𝑇 = (𝑅s 𝐵)
10 eqid 2824 . . 3 (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))) = (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o)))
11 crngring 19306 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
124fvexi 6673 . . . 4 𝐵 ∈ V
1312a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝐵 ∈ V)
142a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (𝐵m 1o) ∈ V)
15 df1o2 8108 . . . . 5 1o = {∅}
16 0ex 5198 . . . . 5 ∅ ∈ V
17 eqid 2824 . . . . 5 (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))
1815, 12, 16, 17mapsnf1o3 8451 . . . 4 (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵1-1-onto→(𝐵m 1o)
19 f1of 6604 . . . 4 ((𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵1-1-onto→(𝐵m 1o) → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵m 1o))
2018, 19mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵m 1o))
219, 3, 10, 11, 13, 14, 20pwsco1rhm 19488 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑅s (𝐵m 1o)) RingHom 𝑇))
228, 21eqeltrd 2916 1 (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 ∈ ((𝑅s (𝐵m 1o)) RingHom 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  ∅c0 4276  {csn 4550   ↦ cmpt 5133   × cxp 5541   ∘ ccom 5547  ⟶wf 6340  –1-1-onto→wf1o 6343  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146  1oc1o 8087   ↑m cmap 8398  Basecbs 16481   ↑s cpws 16718  CRingccrg 19296   RingHom crh 19462 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8899  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-fz 12893  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-ip 16581  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-hom 16587  df-cco 16588  df-0g 16713  df-prds 16719  df-pws 16721  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-mhm 17954  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-ghm 18354  df-mgp 19238  df-ur 19250  df-ring 19297  df-cring 19298  df-rnghom 19465 This theorem is referenced by:  evls1rhm  20480  evl1rhm  20490
 Copyright terms: Public domain W3C validator