Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1rhmlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1rhmlem 20046
 Description: Lemma for evl1rhm 20056 and evls1rhm 20047 (formerly part of the proof of evl1rhm 20056): The first function of the composition forming the univariate polynomial evaluation map function for a (sub)ring is a ring homomorphism. (Contributed by AV, 11-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1rhmlem.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1rhmlem.t 𝑇 = (𝑅s 𝐵)
evl1rhmlem.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
Assertion
Ref Expression
evls1rhmlem (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 ∈ ((𝑅s (𝐵𝑚 1o)) RingHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑇(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem evls1rhmlem
StepHypRef Expression
1 evl1rhmlem.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
2 ovex 6937 . . . . 5 (𝐵𝑚 1o) ∈ V
3 eqid 2825 . . . . . 6 (𝑅s (𝐵𝑚 1o)) = (𝑅s (𝐵𝑚 1o))
4 evl1rhmlem.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
53, 4pwsbas 16500 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐵𝑚 1o) ∈ V) → (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) = (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1o))))
62, 5mpan2 684 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) = (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1o))))
76mpteq1d 4961 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1o))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
81, 7syl5eq 2873 . 2 (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1o))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))))
9 evl1rhmlem.t . . 3 𝑇 = (𝑅s 𝐵)
10 eqid 2825 . . 3 (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1o))) = (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1o)))
11 crngring 18912 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
124fvexi 6447 . . . 4 𝐵 ∈ V
1312a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝐵 ∈ V)
142a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (𝐵𝑚 1o) ∈ V)
15 df1o2 7839 . . . . 5 1o = {∅}
16 0ex 5014 . . . . 5 ∅ ∈ V
17 eqid 2825 . . . . 5 (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))
1815, 12, 16, 17mapsnf1o3 8173 . . . 4 (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵1-1-onto→(𝐵𝑚 1o)
19 f1of 6378 . . . 4 ((𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵1-1-onto→(𝐵𝑚 1o) → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵𝑚 1o))
2018, 19mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵𝑚 1o))
219, 3, 10, 11, 13, 14, 20pwsco1rhm 19094 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1o))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑅s (𝐵𝑚 1o)) RingHom 𝑇))
228, 21eqeltrd 2906 1 (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 ∈ ((𝑅s (𝐵𝑚 1o)) RingHom 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3414  ∅c0 4144  {csn 4397   ↦ cmpt 4952   × cxp 5340   ∘ ccom 5346  ⟶wf 6119  –1-1-onto→wf1o 6122  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  1oc1o 7819   ↑𝑚 cmap 8122  Basecbs 16222   ↑s cpws 16460  CRingccrg 18902   RingHom crh 19068 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-hom 16329  df-cco 16330  df-0g 16455  df-prds 16461  df-pws 16463  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-ghm 18009  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-cring 18904  df-rnghom 19071 This theorem is referenced by:  evls1rhm  20047  evl1rhm  20056
 Copyright terms: Public domain W3C validator