Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemwb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemwb 41488
Description: Lemma for binomcxp 41497. The lemma in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxplem.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
binomcxplemwb (𝜑 → (((𝐶𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)))

Proof of Theorem binomcxplemwb
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 binomcxplem.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
32nncnd 11725 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
41, 3npcand 11072 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝐾) + 𝐾) = 𝐶)
54oveq1d 7179 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶𝐾) + 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)))
61, 3subcld 11068 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐾) ∈ ℂ)
72nnnn0d 12029 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
8 fallfaccl 15455 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
91, 7, 8syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
106, 3, 9adddird 10737 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶𝐾) + 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))))
115, 10eqtr3d 2775 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))))
1211oveq1d 7179 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)))
131, 7bccval 41478 . . . 4 (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
1413oveq2d 7180 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)) = (𝐶 · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
15 faccl 13728 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
1615nncnd 11725 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
177, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
18 facne0 13731 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ≠ 0)
197, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
201, 9, 17, 19divassd 11522 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = (𝐶 · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
2114, 20eqtr4d 2776 . 2 (𝜑 → (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)) = ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)))
226, 9, 17, 19divassd 11522 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((𝐶𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
2322oveq1d 7179 . . 3 (𝜑 → ((((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))) = (((𝐶𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
246, 9mulcld 10732 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) ∈ ℂ)
253, 9mulcld 10732 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) ∈ ℂ)
2624, 25, 17, 19divdird 11525 . . 3 (𝜑 → ((((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)) = ((((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
2713oveq2d 7180 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) = ((𝐶𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
28 nnm1nn0 12010 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
292, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
30 faccl 13728 . . . . . . . 8 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
3130nncnd 11725 . . . . . . 7 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
3229, 31syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
33 facne0 13731 . . . . . . 7 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ≠ 0)
3429, 33syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝐾 − 1)) ≠ 0)
352nnne0d 11759 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ≠ 0)
369, 32, 3, 34, 35divcan5d 11513 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1)))) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))))
37 1cnd 10707 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
383, 37npcand 11072 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3938fveq2d 6672 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = (!‘𝐾))
4038oveq2d 7180 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
41 facp1 13723 . . . . . . . . 9 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)))
4229, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)))
433, 32mulcomd 10733 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
4440, 42, 433eqtr4d 2783 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))))
4539, 44eqtr3d 2775 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝐾) = (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))))
4645oveq2d 7180 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1)))))
473, 37subcld 11068 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
481, 47subcld 11068 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 − (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
49 fallfaccl 15455 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
501, 29, 49syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
5148, 50, 32, 34divassd 11522 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) / (!‘(𝐾 − 1))) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1)))))
5238oveq2d 7180 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐶 FallFac 𝐾))
53 fallfacp1 15469 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
541, 29, 53syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
5552, 54eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
5648, 50mulcomd 10733 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
5755, 56eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))))
5857oveq1d 7179 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))) = (((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) / (!‘(𝐾 − 1))))
591, 29bccval 41478 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1))))
6059oveq2d 7180 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1)))))
6151, 58, 603eqtr4rd 2784 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))))
6236, 46, 613eqtr4rd 2784 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)))
6327, 62oveq12d 7182 . . 3 (𝜑 → (((𝐶𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = (((𝐶𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
6423, 26, 633eqtr4rd 2784 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = ((((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)))
6512, 21, 643eqtr4rd 2784 1 (𝜑 → (((𝐶𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  cfv 6333  (class class class)co 7164  cc 10606  0cc0 10608  1c1 10609   + caddc 10611   · cmul 10613  cmin 10941   / cdiv 11368  cn 11709  0cn0 11969  !cfa 13718   FallFac cfallfac 15443  C𝑐cbcc 41476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-rp 12466  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-exp 13515  df-fac 13719  df-hash 13776  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-clim 14928  df-prod 15345  df-fallfac 15446  df-bcc 41477
This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  41496
  Copyright terms: Public domain W3C validator