Theorem binomcxplemwb 45159

Description: Lemma for binomcxp 45168. The lemma in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxplem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemwb	⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)))

Proof of Theorem binomcxplemwb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		binomcxplem.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12276	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
4	1, 3	npcand 11600	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐾) + 𝐾) = 𝐶)
5	4	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) + 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)))
6	1, 3	subcld 11596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐾) ∈ ℂ)
7	2	nnnn0d 12592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
8		fallfaccl 16107	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
9	1, 7, 8	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
10	6, 3, 9	adddird 11261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) + 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))))
11	5, 10	eqtr3d 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))))
12	11	oveq1d 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)))
13	1, 7	bccval 45149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
14	13	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)) = (𝐶 · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
15		faccl 14349	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
16	15	nncnd 12276	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
17	7, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
18		facne0 14352	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ≠ 0)
19	7, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
20	1, 9, 17, 19	divassd 12053	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = (𝐶 · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
21	14, 20	eqtr4d 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)) = ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)))
22	6, 9, 17, 19	divassd 12053	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((𝐶 − 𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
23	22	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))) = (((𝐶 − 𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
24	6, 9	mulcld 11256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) ∈ ℂ)
25	3, 9	mulcld 11256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) ∈ ℂ)
26	24, 25, 17, 19	divdird 12056	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)) = ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
27	13	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) = ((𝐶 − 𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
28		nnm1nn0 12572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
29	2, 28	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
30		faccl 14349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
31	30	nncnd 12276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
32	29, 31	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
33		facne0 14352	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ≠ 0)
34	29, 33	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 1)) ≠ 0)
35	2	nnne0d 12313	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
36	9, 32, 3, 34, 35	divcan5d 12044	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1)))) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))))
37		1cnd 11229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
38	3, 37	npcand 11600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
39	38	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = (!‘𝐾))
40	38	oveq2d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
41		facp1 14344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)))
42	29, 41	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)))
43	3, 32	mulcomd 11257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
44	40, 42, 43	3eqtr4d 2807	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))))
45	39, 44	eqtr3d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) = (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))))
46	45	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1)))))
47	3, 37	subcld 11596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
48	1, 47	subcld 11596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
49		fallfaccl 16107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
50	1, 29, 49	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
51	48, 50, 32, 34	divassd 12053	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) / (!‘(𝐾 − 1))) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1)))))
52	38	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐶 FallFac 𝐾))
53		fallfacp1 16120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
54	1, 29, 53	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
55	52, 54	eqtr3d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
56	48, 50	mulcomd 11257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
57	55, 56	eqtr4d 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))))
58	57	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))) = (((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) / (!‘(𝐾 − 1))))
59	1, 29	bccval 45149	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1))))
60	59	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1)))))
61	51, 58, 60	3eqtr4rd 2808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))))
62	36, 46, 61	3eqtr4rd 2808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)))
63	27, 62	oveq12d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = (((𝐶 − 𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
64	23, 26, 63	3eqtr4rd 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)))
65	12, 21, 64	3eqtr4rd 2808	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   − cmin 11468   / cdiv 11898  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  !cfa 14339   FallFac cfallfac 16095  C_𝑐cbcc 45147

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-prod 15995  df-fallfac 16098  df-bcc 45148

This theorem is used by:  binomcxplemnotnn0  45167