Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemwb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemwb 42720
Description: Lemma for binomcxp 42729. The lemma in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxplem.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
binomcxplem.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
binomcxplemwb (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถC๐‘๐พ)) + ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)))) = (๐ถ ยท (๐ถC๐‘๐พ)))

Proof of Theorem binomcxplemwb
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.c . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2 binomcxplem.k . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
32nncnd 12177 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
41, 3npcand 11524 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐พ) + ๐พ) = ๐ถ)
54oveq1d 7376 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) + ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) = (๐ถ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)))
61, 3subcld 11520 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚)
72nnnn0d 12481 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
8 fallfaccl 15907 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ FallFac ๐พ) โˆˆ โ„‚)
91, 7, 8syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac ๐พ) โˆˆ โ„‚)
106, 3, 9adddird 11188 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) + ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) = (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) + (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ))))
115, 10eqtr3d 2775 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) = (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) + (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ))))
1211oveq1d 7376 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) = ((((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) + (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ))) / (!โ€˜๐พ)))
131, 7bccval 42710 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถC๐‘๐พ) = ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ)))
1413oveq2d 7377 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (๐ถC๐‘๐พ)) = (๐ถ ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))))
15 faccl 14192 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
1615nncnd 12177 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
177, 16syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
18 facne0 14195 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐พ) โ‰  0)
197, 18syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐พ) โ‰  0)
201, 9, 17, 19divassd 11974 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) = (๐ถ ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))))
2114, 20eqtr4d 2776 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (๐ถC๐‘๐พ)) = ((๐ถ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)))
226, 9, 17, 19divassd 11974 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) = ((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))))
2322oveq1d 7376 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) + ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ))) = (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))) + ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ))))
246, 9mulcld 11183 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
253, 9mulcld 11183 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
2624, 25, 17, 19divdird 11977 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) + (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ))) / (!โ€˜๐พ)) = ((((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) + ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ))))
2713oveq2d 7377 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถC๐‘๐พ)) = ((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))))
28 nnm1nn0 12462 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
292, 28syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
30 faccl 14192 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
3130nncnd 12177 . . . . . . 7 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
3229, 31syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
33 facne0 14195 . . . . . . 7 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โ‰  0)
3429, 33syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โ‰  0)
352nnne0d 12211 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰  0)
369, 32, 3, 34, 35divcan5d 11965 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (๐พ ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) = ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
37 1cnd 11158 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
383, 37npcand 11524 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) + 1) = ๐พ)
3938fveq2d 6850 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = (!โ€˜๐พ))
4038oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
41 facp1 14187 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) + 1)))
4229, 41syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) + 1)))
433, 32mulcomd 11184 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
4440, 42, 433eqtr4d 2783 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = (๐พ ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
4539, 44eqtr3d 2775 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐พ) = (๐พ ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
4645oveq2d 7377 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) = ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (๐พ ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))))
473, 37subcld 11520 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
481, 47subcld 11520 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
49 fallfaccl 15907 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
501, 29, 49syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5148, 50, 32, 34divassd 11974 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1))) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))))
5238oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac ((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = (๐ถ FallFac ๐พ))
53 fallfacp1 15921 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ FallFac ((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))))
541, 29, 53syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac ((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))))
5552, 54eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac ๐พ) = ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))))
5648, 50mulcomd 11184 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1))) = ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))))
5755, 56eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac ๐พ) = ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1))))
5857oveq1d 7376 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) = (((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1))) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
591, 29bccval 42710 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)) = ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
6059oveq2d 7377 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))))
6151, 58, 603eqtr4rd 2784 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
6236, 46, 613eqtr4rd 2784 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)))
6327, 62oveq12d 7379 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถC๐‘๐พ)) + ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)))) = (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))) + ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ))))
6423, 26, 633eqtr4rd 2784 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถC๐‘๐พ)) + ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)))) = ((((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) + (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ))) / (!โ€˜๐พ)))
6512, 21, 643eqtr4rd 2784 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถC๐‘๐พ)) + ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)))) = (๐ถ ยท (๐ถC๐‘๐พ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  โ„•cn 12161  โ„•0cn0 12421  !cfa 14182   FallFac cfallfac 15895  C๐‘cbcc 42708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-prod 15797  df-fallfac 15898  df-bcc 42709
This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  42728
  Copyright terms: Public domain W3C validator