binomcxplemwb - Mathbox for Steve Rodriguez

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Theorem binomcxplemwb 44367

Description: Lemma for binomcxp 44376. The lemma in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
binomcxplem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
binomcxplemwb	⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C_𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C_𝑐(𝐾 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C_𝑐𝐾)))

**Proof of Theorem binomcxplemwb**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		binomcxplem.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
4	1, 3	npcand 11624	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐾) + 𝐾) = 𝐶)
5	4	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) + 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)))
6	1, 3	subcld 11620	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐾) ∈ ℂ)
7	2	nnnn0d 12587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ₀)
8		fallfaccl 16052	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
9	1, 7, 8	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
10	6, 3, 9	adddird 11286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) + 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))))
11	5, 10	eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))))
12	11	oveq1d 7446	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)))
13	1, 7	bccval 44357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶C_𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
14	13	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐶C_𝑐𝐾)) = (𝐶 · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
15		faccl 14322	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
16	15	nncnd 12282	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
17	7, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
18		facne0 14325	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (!‘𝐾) ≠ 0)
19	7, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
20	1, 9, 17, 19	divassd 12078	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = (𝐶 · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
21	14, 20	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐶C_𝑐𝐾)) = ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)))
22	6, 9, 17, 19	divassd 12078	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((𝐶 − 𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
23	22	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))) = (((𝐶 − 𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
24	6, 9	mulcld 11281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) ∈ ℂ)
25	3, 9	mulcld 11281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) ∈ ℂ)
26	24, 25, 17, 19	divdird 12081	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)) = ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
27	13	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C_𝑐𝐾)) = ((𝐶 − 𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
28		nnm1nn0 12567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ₀)
29	2, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ₀)
30		faccl 14322	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
31	30	nncnd 12282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
32	29, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
33		facne0 14325	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(𝐾 − 1)) ≠ 0)
34	29, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 1)) ≠ 0)
35	2	nnne0d 12316	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
36	9, 32, 3, 34, 35	divcan5d 12069	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1)))) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))))
37		1cnd 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
38	3, 37	npcand 11624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
39	38	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = (!‘𝐾))
40	38	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
41		facp1 14317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ₀ → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)))
42	29, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)))
43	3, 32	mulcomd 11282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
44	40, 42, 43	3eqtr4d 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))))
45	39, 44	eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) = (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))))
46	45	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1)))))
47	3, 37	subcld 11620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
48	1, 47	subcld 11620	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
49		fallfaccl 16052	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ₀) → (𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
50	1, 29, 49	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
51	48, 50, 32, 34	divassd 12078	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) / (!‘(𝐾 − 1))) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1)))))
52	38	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐶 FallFac 𝐾))
53		fallfacp1 16066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ₀) → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
54	1, 29, 53	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
55	52, 54	eqtr3d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
56	48, 50	mulcomd 11282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
57	55, 56	eqtr4d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))))
58	57	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))) = (((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) / (!‘(𝐾 − 1))))
59	1, 29	bccval 44357	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶C_𝑐(𝐾 − 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1))))
60	59	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C_𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1)))))
61	51, 58, 60	3eqtr4rd 2788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C_𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))))
62	36, 46, 61	3eqtr4rd 2788	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C_𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)))
63	27, 62	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C_𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C_𝑐(𝐾 − 1)))) = (((𝐶 − 𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
64	23, 26, 63	3eqtr4rd 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C_𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C_𝑐(𝐾 − 1)))) = ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)))
65	12, 21, 64	3eqtr4rd 2788	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C_𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C_𝑐(𝐾 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C_𝑐𝐾)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2940 ‘cfv 6561 (class class class)co 7431 ℂcc 11153 0cc0 11155 1c1 11156 + caddc 11158 · cmul 11160 − cmin 11492 / cdiv 11920 ℕcn 12266 ℕ₀cn0 12526 !cfa 14312 FallFac cfallfac 16040 C_𝑐cbcc 44355

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-rep 5279 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-inf2 9681 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231 ax-pre-mulgt0 11232 ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3380 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-pss 3971 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-op 4633 df-uni 4908 df-int 4947 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-pred 6321 df-ord 6387 df-on 6388 df-lim 6389 df-suc 6390 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-isom 6570 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-om 7888 df-1st 8014 df-2nd 8015 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8411 df-rdg 8450 df-1o 8506 df-er 8745 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-fin 8989 df-sup 9482 df-oi 9550 df-card 9979 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-div 11921 df-nn 12267 df-2 12329 df-3 12330 df-n0 12527 df-z 12614 df-uz 12879 df-rp 13035 df-fz 13548 df-fzo 13695 df-seq 14043 df-exp 14103 df-fac 14313 df-hash 14370 df-cj 15138 df-re 15139 df-im 15140 df-sqrt 15274 df-abs 15275 df-clim 15524 df-prod 15940 df-fallfac 16043 df-bcc 44356

This theorem is referenced by: binomcxplemnotnn0 44375

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