Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemwb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemwb 39380
Description: Lemma for binomcxp 39389. The lemma in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxplem.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
binomcxplemwb (𝜑 → (((𝐶𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)))

Proof of Theorem binomcxplemwb
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 binomcxplem.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
32nncnd 11368 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
41, 3npcand 10717 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝐾) + 𝐾) = 𝐶)
54oveq1d 6920 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶𝐾) + 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)))
61, 3subcld 10713 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐾) ∈ ℂ)
72nnnn0d 11678 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
8 fallfaccl 15119 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
91, 7, 8syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
106, 3, 9adddird 10382 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶𝐾) + 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))))
115, 10eqtr3d 2863 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))))
1211oveq1d 6920 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)))
131, 7bccval 39370 . . . 4 (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
1413oveq2d 6921 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)) = (𝐶 · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
15 faccl 13363 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
1615nncnd 11368 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
177, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
18 facne0 13366 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ≠ 0)
197, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
201, 9, 17, 19divassd 11162 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = (𝐶 · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
2114, 20eqtr4d 2864 . 2 (𝜑 → (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)) = ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)))
226, 9, 17, 19divassd 11162 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((𝐶𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
2322oveq1d 6920 . . 3 (𝜑 → ((((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))) = (((𝐶𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
246, 9mulcld 10377 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) ∈ ℂ)
253, 9mulcld 10377 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) ∈ ℂ)
2624, 25, 17, 19divdird 11165 . . 3 (𝜑 → ((((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)) = ((((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
2713oveq2d 6921 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) = ((𝐶𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
28 nnm1nn0 11661 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
292, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
30 faccl 13363 . . . . . . . 8 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
3130nncnd 11368 . . . . . . 7 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
3229, 31syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
33 facne0 13366 . . . . . . 7 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ≠ 0)
3429, 33syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝐾 − 1)) ≠ 0)
352nnne0d 11401 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ≠ 0)
369, 32, 3, 34, 35divcan5d 11153 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1)))) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))))
37 1cnd 10351 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
383, 37npcand 10717 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3938fveq2d 6437 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = (!‘𝐾))
4038oveq2d 6921 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
41 facp1 13358 . . . . . . . . 9 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)))
4229, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)))
433, 32mulcomd 10378 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
4440, 42, 433eqtr4d 2871 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))))
4539, 44eqtr3d 2863 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝐾) = (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))))
4645oveq2d 6921 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1)))))
473, 37subcld 10713 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
481, 47subcld 10713 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 − (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
49 fallfaccl 15119 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
501, 29, 49syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
5148, 50, 32, 34divassd 11162 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) / (!‘(𝐾 − 1))) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1)))))
5238oveq2d 6921 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐶 FallFac 𝐾))
53 fallfacp1 15133 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
541, 29, 53syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
5552, 54eqtr3d 2863 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
5648, 50mulcomd 10378 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
5755, 56eqtr4d 2864 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))))
5857oveq1d 6920 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))) = (((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) / (!‘(𝐾 − 1))))
591, 29bccval 39370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1))))
6059oveq2d 6921 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1)))))
6151, 58, 603eqtr4rd 2872 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))))
6236, 46, 613eqtr4rd 2872 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)))
6327, 62oveq12d 6923 . . 3 (𝜑 → (((𝐶𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = (((𝐶𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
6423, 26, 633eqtr4rd 2872 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = ((((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)))
6512, 21, 643eqtr4rd 2872 1 (𝜑 → (((𝐶𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  cfv 6123  (class class class)co 6905  cc 10250  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   · cmul 10257  cmin 10585   / cdiv 11009  cn 11350  0cn0 11618  !cfa 13353   FallFac cfallfac 15107  C𝑐cbcc 39368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-exp 13155  df-fac 13354  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-prod 15009  df-fallfac 15110  df-bcc 39369
This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  39388
  Copyright terms: Public domain W3C validator