Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemwb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemwb 43846
Description: Lemma for binomcxp 43855. The lemma in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxplem.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
binomcxplem.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
binomcxplemwb (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถC๐‘๐พ)) + ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)))) = (๐ถ ยท (๐ถC๐‘๐พ)))

Proof of Theorem binomcxplemwb
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.c . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2 binomcxplem.k . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
32nncnd 12253 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
41, 3npcand 11600 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐พ) + ๐พ) = ๐ถ)
54oveq1d 7428 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) + ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) = (๐ถ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)))
61, 3subcld 11596 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚)
72nnnn0d 12557 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
8 fallfaccl 15987 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ FallFac ๐พ) โˆˆ โ„‚)
91, 7, 8syl2anc 582 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac ๐พ) โˆˆ โ„‚)
106, 3, 9adddird 11264 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) + ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) = (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) + (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ))))
115, 10eqtr3d 2767 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) = (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) + (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ))))
1211oveq1d 7428 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) = ((((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) + (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ))) / (!โ€˜๐พ)))
131, 7bccval 43836 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถC๐‘๐พ) = ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ)))
1413oveq2d 7429 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (๐ถC๐‘๐พ)) = (๐ถ ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))))
15 faccl 14269 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
1615nncnd 12253 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
177, 16syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
18 facne0 14272 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐พ) โ‰  0)
197, 18syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐พ) โ‰  0)
201, 9, 17, 19divassd 12050 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) = (๐ถ ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))))
2114, 20eqtr4d 2768 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (๐ถC๐‘๐พ)) = ((๐ถ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)))
226, 9, 17, 19divassd 12050 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) = ((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))))
2322oveq1d 7428 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) + ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ))) = (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))) + ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ))))
246, 9mulcld 11259 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
253, 9mulcld 11259 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
2624, 25, 17, 19divdird 12053 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) + (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ))) / (!โ€˜๐พ)) = ((((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) + ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ))))
2713oveq2d 7429 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถC๐‘๐พ)) = ((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))))
28 nnm1nn0 12538 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
292, 28syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
30 faccl 14269 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
3130nncnd 12253 . . . . . . 7 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
3229, 31syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
33 facne0 14272 . . . . . . 7 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โ‰  0)
3429, 33syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โ‰  0)
352nnne0d 12287 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰  0)
369, 32, 3, 34, 35divcan5d 12041 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (๐พ ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) = ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
37 1cnd 11234 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
383, 37npcand 11600 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) + 1) = ๐พ)
3938fveq2d 6894 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = (!โ€˜๐พ))
4038oveq2d 7429 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
41 facp1 14264 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) + 1)))
4229, 41syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) + 1)))
433, 32mulcomd 11260 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
4440, 42, 433eqtr4d 2775 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = (๐พ ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
4539, 44eqtr3d 2767 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐พ) = (๐พ ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
4645oveq2d 7429 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) = ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (๐พ ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))))
473, 37subcld 11596 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
481, 47subcld 11596 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
49 fallfaccl 15987 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
501, 29, 49syl2anc 582 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5148, 50, 32, 34divassd 12050 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1))) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))))
5238oveq2d 7429 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac ((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = (๐ถ FallFac ๐พ))
53 fallfacp1 16001 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ FallFac ((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))))
541, 29, 53syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac ((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))))
5552, 54eqtr3d 2767 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac ๐พ) = ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))))
5648, 50mulcomd 11260 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1))) = ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))))
5755, 56eqtr4d 2768 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac ๐พ) = ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1))))
5857oveq1d 7428 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) = (((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1))) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
591, 29bccval 43836 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)) = ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
6059oveq2d 7429 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))))
6151, 58, 603eqtr4rd 2776 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
6236, 46, 613eqtr4rd 2776 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)))
6327, 62oveq12d 7431 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถC๐‘๐พ)) + ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)))) = (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))) + ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ))))
6423, 26, 633eqtr4rd 2776 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถC๐‘๐พ)) + ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)))) = ((((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) + (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ))) / (!โ€˜๐พ)))
6512, 21, 643eqtr4rd 2776 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถC๐‘๐พ)) + ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)))) = (๐ถ ยท (๐ถC๐‘๐พ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11131  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   โˆ’ cmin 11469   / cdiv 11896  โ„•cn 12237  โ„•0cn0 12497  !cfa 14259   FallFac cfallfac 15975  C๐‘cbcc 43834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-prod 15877  df-fallfac 15978  df-bcc 43835
This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  43854
  Copyright terms: Public domain W3C validator