Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemwb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemwb 44343
Description: Lemma for binomcxp 44352. The lemma in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxplem.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
binomcxplemwb (𝜑 → (((𝐶𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)))

Proof of Theorem binomcxplemwb
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 binomcxplem.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
32nncnd 12279 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
41, 3npcand 11621 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝐾) + 𝐾) = 𝐶)
54oveq1d 7445 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶𝐾) + 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)))
61, 3subcld 11617 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐾) ∈ ℂ)
72nnnn0d 12584 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
8 fallfaccl 16048 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
91, 7, 8syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
106, 3, 9adddird 11283 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶𝐾) + 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))))
115, 10eqtr3d 2776 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))))
1211oveq1d 7445 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)))
131, 7bccval 44333 . . . 4 (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
1413oveq2d 7446 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)) = (𝐶 · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
15 faccl 14318 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
1615nncnd 12279 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
177, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
18 facne0 14321 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ≠ 0)
197, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
201, 9, 17, 19divassd 12075 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = (𝐶 · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
2114, 20eqtr4d 2777 . 2 (𝜑 → (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)) = ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)))
226, 9, 17, 19divassd 12075 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((𝐶𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
2322oveq1d 7445 . . 3 (𝜑 → ((((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))) = (((𝐶𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
246, 9mulcld 11278 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) ∈ ℂ)
253, 9mulcld 11278 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) ∈ ℂ)
2624, 25, 17, 19divdird 12078 . . 3 (𝜑 → ((((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)) = ((((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
2713oveq2d 7446 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) = ((𝐶𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
28 nnm1nn0 12564 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
292, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
30 faccl 14318 . . . . . . . 8 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
3130nncnd 12279 . . . . . . 7 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
3229, 31syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
33 facne0 14321 . . . . . . 7 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ≠ 0)
3429, 33syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝐾 − 1)) ≠ 0)
352nnne0d 12313 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ≠ 0)
369, 32, 3, 34, 35divcan5d 12066 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1)))) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))))
37 1cnd 11253 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
383, 37npcand 11621 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3938fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = (!‘𝐾))
4038oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
41 facp1 14313 . . . . . . . . 9 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)))
4229, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)))
433, 32mulcomd 11279 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
4440, 42, 433eqtr4d 2784 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))))
4539, 44eqtr3d 2776 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝐾) = (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))))
4645oveq2d 7446 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1)))))
473, 37subcld 11617 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
481, 47subcld 11617 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 − (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
49 fallfaccl 16048 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
501, 29, 49syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
5148, 50, 32, 34divassd 12075 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) / (!‘(𝐾 − 1))) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1)))))
5238oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐶 FallFac 𝐾))
53 fallfacp1 16062 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
541, 29, 53syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
5552, 54eqtr3d 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
5648, 50mulcomd 11279 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
5755, 56eqtr4d 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))))
5857oveq1d 7445 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))) = (((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) / (!‘(𝐾 − 1))))
591, 29bccval 44333 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1))))
6059oveq2d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1)))))
6151, 58, 603eqtr4rd 2785 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))))
6236, 46, 613eqtr4rd 2785 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)))
6327, 62oveq12d 7448 . . 3 (𝜑 → (((𝐶𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = (((𝐶𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
6423, 26, 633eqtr4rd 2785 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = ((((𝐶𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)))
6512, 21, 643eqtr4rd 2785 1 (𝜑 → (((𝐶𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  0cn0 12523  !cfa 14308   FallFac cfallfac 16036  C𝑐cbcc 44331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-prod 15936  df-fallfac 16039  df-bcc 44332
This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  44351
  Copyright terms: Public domain W3C validator