Theorem binomcxplemwb 44929

Description: Lemma for binomcxp 44938. The lemma in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxplem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemwb	⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)))

Proof of Theorem binomcxplemwb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		binomcxplem.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
4	1, 3	npcand 11548	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐾) + 𝐾) = 𝐶)
5	4	oveq1d 7413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) + 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)))
6	1, 3	subcld 11544	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐾) ∈ ℂ)
7	2	nnnn0d 12544	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
8		fallfaccl 16048	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
9	1, 7, 8	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
10	6, 3, 9	adddird 11209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) + 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))))
11	5, 10	eqtr3d 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))))
12	11	oveq1d 7413	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)))
13	1, 7	bccval 44919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
14	13	oveq2d 7414	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)) = (𝐶 · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
15		faccl 14298	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
16	15	nncnd 12228	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
17	7, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
18		facne0 14301	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ≠ 0)
19	7, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
20	1, 9, 17, 19	divassd 12004	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = (𝐶 · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
21	14, 20	eqtr4d 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)) = ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)))
22	6, 9, 17, 19	divassd 12004	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((𝐶 − 𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
23	22	oveq1d 7413	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))) = (((𝐶 − 𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
24	6, 9	mulcld 11204	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) ∈ ℂ)
25	3, 9	mulcld 11204	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) ∈ ℂ)
26	24, 25, 17, 19	divdird 12007	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)) = ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
27	13	oveq2d 7414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) = ((𝐶 − 𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
28		nnm1nn0 12524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
29	2, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
30		faccl 14298	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
31	30	nncnd 12228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
32	29, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
33		facne0 14301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ≠ 0)
34	29, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 1)) ≠ 0)
35	2	nnne0d 12265	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
36	9, 32, 3, 34, 35	divcan5d 11995	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1)))) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))))
37		1cnd 11177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
38	3, 37	npcand 11548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
39	38	fveq2d 6873	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = (!‘𝐾))
40	38	oveq2d 7414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
41		facp1 14293	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)))
42	29, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)))
43	3, 32	mulcomd 11205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
44	40, 42, 43	3eqtr4d 2809	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))))
45	39, 44	eqtr3d 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) = (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))))
46	45	oveq2d 7414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1)))))
47	3, 37	subcld 11544	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
48	1, 47	subcld 11544	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
49		fallfaccl 16048	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
50	1, 29, 49	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
51	48, 50, 32, 34	divassd 12004	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) / (!‘(𝐾 − 1))) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1)))))
52	38	oveq2d 7414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐶 FallFac 𝐾))
53		fallfacp1 16062	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
54	1, 29, 53	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
55	52, 54	eqtr3d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
56	48, 50	mulcomd 11205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
57	55, 56	eqtr4d 2802	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))))
58	57	oveq1d 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))) = (((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) / (!‘(𝐾 − 1))))
59	1, 29	bccval 44919	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1))))
60	59	oveq2d 7414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1)))))
61	51, 58, 60	3eqtr4rd 2810	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))))
62	36, 46, 61	3eqtr4rd 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)))
63	27, 62	oveq12d 7416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = (((𝐶 − 𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
64	23, 26, 63	3eqtr4rd 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)))
65	12, 21, 64	3eqtr4rd 2810	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11416   / cdiv 11846  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12483  !cfa 14288   FallFac cfallfac 16036  C_𝑐cbcc 44917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14017  df-exp 14077  df-fac 14289  df-hash 14346  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-clim 15517  df-prod 15936  df-fallfac 16039  df-bcc 44918

This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  44937