Theorem binomcxplemwb 45086

Description: Lemma for binomcxp 45095. The lemma in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxplem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemwb	⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)))

Proof of Theorem binomcxplemwb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		binomcxplem.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12255	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
4	1, 3	npcand 11579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐾) + 𝐾) = 𝐶)
5	4	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) + 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)))
6	1, 3	subcld 11575	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐾) ∈ ℂ)
7	2	nnnn0d 12571	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
8		fallfaccl 16077	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
9	1, 7, 8	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
10	6, 3, 9	adddird 11240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) + 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))))
11	5, 10	eqtr3d 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))))
12	11	oveq1d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)))
13	1, 7	bccval 45076	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
14	13	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)) = (𝐶 · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
15		faccl 14326	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
16	15	nncnd 12255	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
17	7, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
18		facne0 14329	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ≠ 0)
19	7, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
20	1, 9, 17, 19	divassd 12032	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = (𝐶 · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
21	14, 20	eqtr4d 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)) = ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)))
22	6, 9, 17, 19	divassd 12032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((𝐶 − 𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
23	22	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))) = (((𝐶 − 𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
24	6, 9	mulcld 11235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) ∈ ℂ)
25	3, 9	mulcld 11235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) ∈ ℂ)
26	24, 25, 17, 19	divdird 12035	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)) = ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
27	13	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) = ((𝐶 − 𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
28		nnm1nn0 12551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
29	2, 28	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
30		faccl 14326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
31	30	nncnd 12255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
32	29, 31	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
33		facne0 14329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ≠ 0)
34	29, 33	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 1)) ≠ 0)
35	2	nnne0d 12292	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
36	9, 32, 3, 34, 35	divcan5d 12023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1)))) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))))
37		1cnd 11208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
38	3, 37	npcand 11579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
39	38	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = (!‘𝐾))
40	38	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
41		facp1 14321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)))
42	29, 41	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)))
43	3, 32	mulcomd 11236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
44	40, 42, 43	3eqtr4d 2807	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))))
45	39, 44	eqtr3d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) = (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))))
46	45	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1)))))
47	3, 37	subcld 11575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
48	1, 47	subcld 11575	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
49		fallfaccl 16077	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
50	1, 29, 49	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
51	48, 50, 32, 34	divassd 12032	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) / (!‘(𝐾 − 1))) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1)))))
52	38	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐶 FallFac 𝐾))
53		fallfacp1 16090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
54	1, 29, 53	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
55	52, 54	eqtr3d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
56	48, 50	mulcomd 11236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
57	55, 56	eqtr4d 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))))
58	57	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))) = (((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) / (!‘(𝐾 − 1))))
59	1, 29	bccval 45076	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1))))
60	59	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1)))))
61	51, 58, 60	3eqtr4rd 2808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))))
62	36, 46, 61	3eqtr4rd 2808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)))
63	27, 62	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = (((𝐶 − 𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
64	23, 26, 63	3eqtr4rd 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)))
65	12, 21, 64	3eqtr4rd 2808	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝐾)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11447   / cdiv 11877  ℕcn 12239  ℕ₀cn0 12510  !cfa 14316   FallFac cfallfac 16065  C_𝑐cbcc 45074

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-prod 15965  df-fallfac 16068  df-bcc 45075

This theorem is used by:  binomcxplemnotnn0  45094