binomcxplemwb - Mathbox for Steve Rodriguez

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Theorem binomcxplemwb 44339

Description: Lemma for binomcxp 44348. The lemma in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
binomcxplem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
binomcxplemwb	⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C_𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C_𝑐(𝐾 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C_𝑐𝐾)))

**Proof of Theorem binomcxplemwb**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		binomcxplem.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
4	1, 3	npcand 11606	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐾) + 𝐾) = 𝐶)
5	4	oveq1d 7428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) + 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)))
6	1, 3	subcld 11602	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐾) ∈ ℂ)
7	2	nnnn0d 12570	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ₀)
8		fallfaccl 16035	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
9	1, 7, 8	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
10	6, 3, 9	adddird 11268	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) + 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))))
11	5, 10	eqtr3d 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) = (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))))
12	11	oveq1d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)))
13	1, 7	bccval 44329	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶C_𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
14	13	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐶C_𝑐𝐾)) = (𝐶 · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
15		faccl 14305	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
16	15	nncnd 12264	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
17	7, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
18		facne0 14308	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (!‘𝐾) ≠ 0)
19	7, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
20	1, 9, 17, 19	divassd 12060	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = (𝐶 · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
21	14, 20	eqtr4d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐶C_𝑐𝐾)) = ((𝐶 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)))
22	6, 9, 17, 19	divassd 12060	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((𝐶 − 𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
23	22	oveq1d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))) = (((𝐶 − 𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
24	6, 9	mulcld 11263	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) ∈ ℂ)
25	3, 9	mulcld 11263	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) ∈ ℂ)
26	24, 25, 17, 19	divdird 12063	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)) = ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
27	13	oveq2d 7429	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C_𝑐𝐾)) = ((𝐶 − 𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))))
28		nnm1nn0 12550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ₀)
29	2, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ₀)
30		faccl 14305	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
31	30	nncnd 12264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
32	29, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
33		facne0 14308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(𝐾 − 1)) ≠ 0)
34	29, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 1)) ≠ 0)
35	2	nnne0d 12298	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
36	9, 32, 3, 34, 35	divcan5d 12051	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1)))) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))))
37		1cnd 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
38	3, 37	npcand 11606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
39	38	fveq2d 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = (!‘𝐾))
40	38	oveq2d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
41		facp1 14300	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ₀ → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)))
42	29, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = ((!‘(𝐾 − 1)) · ((𝐾 − 1) + 1)))
43	3, 32	mulcomd 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
44	40, 42, 43	3eqtr4d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))))
45	39, 44	eqtr3d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) = (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1))))
46	45	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)) = ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (𝐾 · (!‘(𝐾 − 1)))))
47	3, 37	subcld 11602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
48	1, 47	subcld 11602	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
49		fallfaccl 16035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ₀) → (𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
50	1, 29, 49	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
51	48, 50, 32, 34	divassd 12060	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) / (!‘(𝐾 − 1))) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1)))))
52	38	oveq2d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐶 FallFac 𝐾))
53		fallfacp1 16049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ₀) → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
54	1, 29, 53	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
55	52, 54	eqtr3d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
56	48, 50	mulcomd 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) · (𝐶 − (𝐾 − 1))))
57	55, 56	eqtr4d 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))))
58	57	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))) = (((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶 FallFac (𝐾 − 1))) / (!‘(𝐾 − 1))))
59	1, 29	bccval 44329	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶C_𝑐(𝐾 − 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1))))
60	59	oveq2d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C_𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · ((𝐶 FallFac (𝐾 − 1)) / (!‘(𝐾 − 1)))))
61	51, 58, 60	3eqtr4rd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C_𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘(𝐾 − 1))))
62	36, 46, 61	3eqtr4rd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C_𝑐(𝐾 − 1))) = ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾)))
63	27, 62	oveq12d 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C_𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C_𝑐(𝐾 − 1)))) = (((𝐶 − 𝐾) · ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾))) + ((𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾)) / (!‘𝐾))))
64	23, 26, 63	3eqtr4rd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C_𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C_𝑐(𝐾 − 1)))) = ((((𝐶 − 𝐾) · (𝐶 FallFac 𝐾)) + (𝐾 · (𝐶 FallFac 𝐾))) / (!‘𝐾)))
65	12, 21, 64	3eqtr4rd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐾) · (𝐶C_𝑐𝐾)) + ((𝐶 − (𝐾 − 1)) · (𝐶C_𝑐(𝐾 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C_𝑐𝐾)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1539 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2931 ‘cfv 6541 (class class class)co 7413 ℂcc 11135 0cc0 11137 1c1 11138 + caddc 11140 · cmul 11142 − cmin 11474 / cdiv 11902 ℕcn 12248 ℕ₀cn0 12509 !cfa 14295 FallFac cfallfac 16023 C_𝑐cbcc 44327

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1794 ax-4 1808 ax-5 1909 ax-6 1966 ax-7 2006 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2140 ax-11 2156 ax-12 2176 ax-ext 2706 ax-rep 5259 ax-sep 5276 ax-nul 5286 ax-pow 5345 ax-pr 5412 ax-un 7737 ax-inf2 9663 ax-cnex 11193 ax-resscn 11194 ax-1cn 11195 ax-icn 11196 ax-addcl 11197 ax-addrcl 11198 ax-mulcl 11199 ax-mulrcl 11200 ax-mulcom 11201 ax-addass 11202 ax-mulass 11203 ax-distr 11204 ax-i2m1 11205 ax-1ne0 11206 ax-1rid 11207 ax-rnegex 11208 ax-rrecex 11209 ax-cnre 11210 ax-pre-lttri 11211 ax-pre-lttrn 11212 ax-pre-ltadd 11213 ax-pre-mulgt0 11214 ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1779 df-nf 1783 df-sb 2064 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2726 df-clel 2808 df-nfc 2884 df-ne 2932 df-nel 3036 df-ral 3051 df-rex 3060 df-rmo 3363 df-reu 3364 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3771 df-csb 3880 df-dif 3934 df-un 3936 df-in 3938 df-ss 3948 df-pss 3951 df-nul 4314 df-if 4506 df-pw 4582 df-sn 4607 df-pr 4609 df-op 4613 df-uni 4888 df-int 4927 df-iun 4973 df-br 5124 df-opab 5186 df-mpt 5206 df-tr 5240 df-id 5558 df-eprel 5564 df-po 5572 df-so 5573 df-fr 5617 df-se 5618 df-we 5619 df-xp 5671 df-rel 5672 df-cnv 5673 df-co 5674 df-dm 5675 df-rn 5676 df-res 5677 df-ima 5678 df-pred 6301 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6543 df-fn 6544 df-f 6545 df-f1 6546 df-fo 6547 df-f1o 6548 df-fv 6549 df-isom 6550 df-riota 7370 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-om 7870 df-1st 7996 df-2nd 7997 df-frecs 8288 df-wrecs 8319 df-recs 8393 df-rdg 8432 df-1o 8488 df-er 8727 df-en 8968 df-dom 8969 df-sdom 8970 df-fin 8971 df-sup 9464 df-oi 9532 df-card 9961 df-pnf 11279 df-mnf 11280 df-xr 11281 df-ltxr 11282 df-le 11283 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11903 df-nn 12249 df-2 12311 df-3 12312 df-n0 12510 df-z 12597 df-uz 12861 df-rp 13017 df-fz 13530 df-fzo 13677 df-seq 14025 df-exp 14085 df-fac 14296 df-hash 14353 df-cj 15121 df-re 15122 df-im 15123 df-sqrt 15257 df-abs 15258 df-clim 15507 df-prod 15923 df-fallfac 16026 df-bcc 44328

This theorem is referenced by: binomcxplemnotnn0 44347

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