Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemwb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemwb 43698
Description: Lemma for binomcxp 43707. The lemma in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxplem.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
binomcxplem.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
binomcxplemwb (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถC๐‘๐พ)) + ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)))) = (๐ถ ยท (๐ถC๐‘๐พ)))

Proof of Theorem binomcxplemwb
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.c . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2 binomcxplem.k . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
32nncnd 12244 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
41, 3npcand 11591 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐พ) + ๐พ) = ๐ถ)
54oveq1d 7429 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) + ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) = (๐ถ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)))
61, 3subcld 11587 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚)
72nnnn0d 12548 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
8 fallfaccl 15978 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ FallFac ๐พ) โˆˆ โ„‚)
91, 7, 8syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac ๐พ) โˆˆ โ„‚)
106, 3, 9adddird 11255 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) + ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) = (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) + (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ))))
115, 10eqtr3d 2769 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) = (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) + (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ))))
1211oveq1d 7429 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) = ((((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) + (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ))) / (!โ€˜๐พ)))
131, 7bccval 43688 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถC๐‘๐พ) = ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ)))
1413oveq2d 7430 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (๐ถC๐‘๐พ)) = (๐ถ ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))))
15 faccl 14260 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
1615nncnd 12244 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
177, 16syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
18 facne0 14263 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐พ) โ‰  0)
197, 18syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐พ) โ‰  0)
201, 9, 17, 19divassd 12041 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) = (๐ถ ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))))
2114, 20eqtr4d 2770 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (๐ถC๐‘๐พ)) = ((๐ถ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)))
226, 9, 17, 19divassd 12041 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) = ((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))))
2322oveq1d 7429 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) + ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ))) = (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))) + ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ))))
246, 9mulcld 11250 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
253, 9mulcld 11250 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
2624, 25, 17, 19divdird 12044 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) + (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ))) / (!โ€˜๐พ)) = ((((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) + ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ))))
2713oveq2d 7430 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถC๐‘๐พ)) = ((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))))
28 nnm1nn0 12529 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
292, 28syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
30 faccl 14260 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
3130nncnd 12244 . . . . . . 7 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
3229, 31syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
33 facne0 14263 . . . . . . 7 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โ‰  0)
3429, 33syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โ‰  0)
352nnne0d 12278 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰  0)
369, 32, 3, 34, 35divcan5d 12032 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (๐พ ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) = ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
37 1cnd 11225 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
383, 37npcand 11591 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) + 1) = ๐พ)
3938fveq2d 6895 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = (!โ€˜๐พ))
4038oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
41 facp1 14255 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) + 1)))
4229, 41syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) + 1)))
433, 32mulcomd 11251 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
4440, 42, 433eqtr4d 2777 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = (๐พ ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
4539, 44eqtr3d 2769 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐พ) = (๐พ ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
4645oveq2d 7430 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) = ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (๐พ ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))))
473, 37subcld 11587 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
481, 47subcld 11587 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
49 fallfaccl 15978 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
501, 29, 49syl2anc 583 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5148, 50, 32, 34divassd 12041 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1))) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))))
5238oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac ((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = (๐ถ FallFac ๐พ))
53 fallfacp1 15992 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ FallFac ((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))))
541, 29, 53syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac ((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))))
5552, 54eqtr3d 2769 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac ๐พ) = ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))))
5648, 50mulcomd 11251 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1))) = ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))))
5755, 56eqtr4d 2770 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac ๐พ) = ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1))))
5857oveq1d 7429 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) = (((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1))) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
591, 29bccval 43688 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)) = ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
6059oveq2d 7430 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))))
6151, 58, 603eqtr4rd 2778 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
6236, 46, 613eqtr4rd 2778 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)))
6327, 62oveq12d 7432 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถC๐‘๐พ)) + ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)))) = (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))) + ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ))))
6423, 26, 633eqtr4rd 2778 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถC๐‘๐พ)) + ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)))) = ((((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) + (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ))) / (!โ€˜๐พ)))
6512, 21, 643eqtr4rd 2778 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถC๐‘๐พ)) + ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)))) = (๐ถ ยท (๐ถC๐‘๐พ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   โˆ’ cmin 11460   / cdiv 11887  โ„•cn 12228  โ„•0cn0 12488  !cfa 14250   FallFac cfallfac 15966  C๐‘cbcc 43686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-prod 15868  df-fallfac 15969  df-bcc 43687
This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  43706
  Copyright terms: Public domain W3C validator