Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemwb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemwb 43097
Description: Lemma for binomcxp 43106. The lemma in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxplem.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
binomcxplem.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
binomcxplemwb (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถC๐‘๐พ)) + ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)))) = (๐ถ ยท (๐ถC๐‘๐พ)))

Proof of Theorem binomcxplemwb
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.c . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2 binomcxplem.k . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
32nncnd 12227 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
41, 3npcand 11574 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐พ) + ๐พ) = ๐ถ)
54oveq1d 7423 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) + ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) = (๐ถ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)))
61, 3subcld 11570 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚)
72nnnn0d 12531 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
8 fallfaccl 15959 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ FallFac ๐พ) โˆˆ โ„‚)
91, 7, 8syl2anc 584 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac ๐พ) โˆˆ โ„‚)
106, 3, 9adddird 11238 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) + ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) = (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) + (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ))))
115, 10eqtr3d 2774 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) = (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) + (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ))))
1211oveq1d 7423 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) = ((((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) + (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ))) / (!โ€˜๐พ)))
131, 7bccval 43087 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถC๐‘๐พ) = ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ)))
1413oveq2d 7424 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (๐ถC๐‘๐พ)) = (๐ถ ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))))
15 faccl 14242 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
1615nncnd 12227 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
177, 16syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
18 facne0 14245 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐พ) โ‰  0)
197, 18syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐พ) โ‰  0)
201, 9, 17, 19divassd 12024 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) = (๐ถ ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))))
2114, 20eqtr4d 2775 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (๐ถC๐‘๐พ)) = ((๐ถ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)))
226, 9, 17, 19divassd 12024 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) = ((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))))
2322oveq1d 7423 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) + ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ))) = (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))) + ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ))))
246, 9mulcld 11233 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
253, 9mulcld 11233 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
2624, 25, 17, 19divdird 12027 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) + (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ))) / (!โ€˜๐พ)) = ((((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) + ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ))))
2713oveq2d 7424 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถC๐‘๐พ)) = ((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))))
28 nnm1nn0 12512 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
292, 28syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
30 faccl 14242 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
3130nncnd 12227 . . . . . . 7 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
3229, 31syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
33 facne0 14245 . . . . . . 7 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โ‰  0)
3429, 33syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โ‰  0)
352nnne0d 12261 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰  0)
369, 32, 3, 34, 35divcan5d 12015 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (๐พ ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) = ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
37 1cnd 11208 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
383, 37npcand 11574 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) + 1) = ๐พ)
3938fveq2d 6895 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = (!โ€˜๐พ))
4038oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
41 facp1 14237 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) + 1)))
4229, 41syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐พ โˆ’ 1) + 1)))
433, 32mulcomd 11234 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
4440, 42, 433eqtr4d 2782 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = (๐พ ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
4539, 44eqtr3d 2774 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐พ) = (๐พ ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
4645oveq2d 7424 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)) = ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (๐พ ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))))
473, 37subcld 11570 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
481, 47subcld 11570 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
49 fallfaccl 15959 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
501, 29, 49syl2anc 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5148, 50, 32, 34divassd 12024 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1))) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))))
5238oveq2d 7424 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac ((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = (๐ถ FallFac ๐พ))
53 fallfacp1 15973 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ FallFac ((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))))
541, 29, 53syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac ((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))))
5552, 54eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac ๐พ) = ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))))
5648, 50mulcomd 11234 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1))) = ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))))
5755, 56eqtr4d 2775 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ FallFac ๐พ) = ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1))))
5857oveq1d 7423 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) = (((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1))) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
591, 29bccval 43087 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)) = ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
6059oveq2d 7424 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐ถ FallFac (๐พ โˆ’ 1)) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))))
6151, 58, 603eqtr4rd 2783 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
6236, 46, 613eqtr4rd 2783 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ)))
6327, 62oveq12d 7426 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถC๐‘๐พ)) + ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)))) = (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท ((๐ถ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ))) + ((๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) / (!โ€˜๐พ))))
6423, 26, 633eqtr4rd 2783 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถC๐‘๐พ)) + ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)))) = ((((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถ FallFac ๐พ)) + (๐พ ยท (๐ถ FallFac ๐พ))) / (!โ€˜๐พ)))
6512, 21, 643eqtr4rd 2783 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐พ) ยท (๐ถC๐‘๐พ)) + ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)))) = (๐ถ ยท (๐ถC๐‘๐พ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  โ„•cn 12211  โ„•0cn0 12471  !cfa 14232   FallFac cfallfac 15947  C๐‘cbcc 43085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-prod 15849  df-fallfac 15950  df-bcc 43086
This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  43105
  Copyright terms: Public domain W3C validator