Theorem frlmnzcoordcl2 43636

Description: The first nonzero coordinate is a scalar. (Contributed by SN, 24-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmnzcoordcl.j	⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
frlmnzcoordcl.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
frlmnzcoordcl.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
frlmnzcoordcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
frlmnzcoordcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
frlmnzcoordcl.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
frlmnzcoordcl2.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
frlmnzcoordcl2	⊢ (𝜑 → (𝑉‘(𝐽‘𝑉)) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑏   𝐾,𝑏,𝑖   𝑁,𝑏,𝑖   𝑉,𝑏,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖, 𝑏)   𝐵(𝑖)   𝑆(𝑖, 𝑏)   𝐽(𝑖, 𝑏)   𝑊(𝑖, 𝑏)

Proof of Theorem frlmnzcoordcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7453	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
2		frlmnzcoordcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
3		difss 4083	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ (Base‘𝑊)
4	2, 3	eqsstri 3977	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)
5		frlmnzcoordcl.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
6	4, 5	sselid 3929	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘𝑊))
7		frlmnzcoordcl.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
8		frlmnzcoordcl2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
9		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
10	7, 8, 9	frlmbasf 22059	. . 3 ⊢ (((0...𝑁) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑉:(0...𝑁)⟶𝑆)
11	1, 6, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0...𝑁)⟶𝑆)
12		frlmnzcoordcl.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
13		frlmnzcoordcl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
14		frlmnzcoordcl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	12, 7, 2, 13, 14, 5	frlmnzcoordcl 43635	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑉) ∈ (0...𝑁))
16	11, 15	ffvelcdmd 7083	1 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘(𝐽‘𝑉)) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  infcinf 9426  ℝcr 11192  0cc0 11193   < clt 11336  ℕ₀cn0 12599  ...cfz 13632  Basecbs 17380  0_gc0g 17603  Ringcrg 20452   freeLMod cfrlm 22045

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-prds 17611  df-pws 17613  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-subg 19326  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-subrg 20815  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-sra 21441  df-rgmod 21442  df-dsmm 22031  df-frlm 22046

This theorem is used by:  prjspnequivnorm  43640  prjspnnorm  43641