Theorem prjspnequivnorm 43926

Description: In a free module, a nonzero vector is equivalent to its normalized vector. (Contributed by SN, 24-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspnnorm.e	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspnnorm.j	⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
prjspnnorm.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘(𝑣‘(𝐽‘𝑣))) · 𝑣))
prjspnnorm.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspnnorm.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspnnorm.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspnnorm.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
prjspnnorm.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
prjspnnorm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
prjspnnorm.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
prjspnnorm.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prjspnequivnorm	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∼ (𝐹‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦   𝐼,𝑙,𝑣,𝑥,𝑦   𝑖,𝐽,𝑙,𝑣,𝑥,𝑦   𝐾,𝑏,𝑖,𝑥,𝑦   𝑁,𝑏,𝑖   𝑆,𝑙   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   𝑋,𝑏,𝑖,𝑙,𝑣,𝑥,𝑦   · ,𝑙,𝑣,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑖, 𝑏, 𝑙)   𝐵(𝑖, 𝑙)   ∼ (𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑖, 𝑏, 𝑙)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑖, 𝑏)   · (𝑖, 𝑏)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑖, 𝑏, 𝑙)   𝐼(𝑖, 𝑏)   𝐽(𝑏)   𝐾(𝑣, 𝑙)   𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑙)   𝑊(𝑣, 𝑖, 𝑏)

Proof of Theorem prjspnequivnorm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspnnorm.e	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2		prjspnnorm.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
3		prjspnnorm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
4		prjspnnorm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
5		prjspnnorm.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		prjspnnorm.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	prjspner 43913	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐵)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
9		prjspnnorm.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		prjspnnorm.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
11		prjspnnorm.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
12	6	drngringd 21039	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
13		prjspnnorm.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	11, 2, 3, 12, 13, 9, 4	frlmnzcoordcl2 43922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐽‘𝑋)) ∈ 𝑆)
15	11, 2, 3, 12, 13, 9	frlmnzcoordn0 43923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐽‘𝑋)) ≠ (0g‘𝐾))
16	4, 8, 10, 6, 14, 15	drnginvrcld 21064	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋‘(𝐽‘𝑋))) ∈ 𝑆)
17	4, 8, 10, 6, 14, 15	drnginvrn0d 43851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋‘(𝐽‘𝑋))) ≠ (0g‘𝐾))
18	1, 2, 3, 4, 5, 8, 6, 9, 16, 17	prjspnvs 43914	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑋‘(𝐽‘𝑋))) · 𝑋) ∼ 𝑋)
19	7, 18	ersym 8768	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∼ ((𝐼‘(𝑋‘(𝐽‘𝑋))) · 𝑋))
20		prjspnnorm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘(𝑣‘(𝐽‘𝑣))) · 𝑣))
21	20, 9	prjspnnormval 43925	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ((𝐼‘(𝑋‘(𝐽‘𝑋))) · 𝑋))
22	19, 21	breqtrrd 5139	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∼ (𝐹‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  {crab 3416   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5108  {copab 5173   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  infcinf 9470  ℝcr 11238  0cc0 11239   < clt 11382  ℕ₀cn0 12646  ...cfz 13679  Basecbs 17431   ·_𝑠 cvsca 17476  0_gc0g 17660  inv_rcinvr 20668  DivRingcdr 21031   freeLMod cfrlm 22107

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-0g 17662  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-subrg 20873  df-drng 21033  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lvec 21429  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-dsmm 22093  df-frlm 22108

This theorem is used by:  prjspnnorm  43927