Theorem prjspnequivnorm 43703

Description: In a free module, a nonzero vector is equivalent to its normalized vector. (Contributed by SN, 24-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspnnorm.e	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspnnorm.j	⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
prjspnnorm.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘(𝑣‘(𝐽‘𝑣))) · 𝑣))
prjspnnorm.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspnnorm.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspnnorm.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspnnorm.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
prjspnnorm.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
prjspnnorm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
prjspnnorm.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
prjspnnorm.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prjspnequivnorm	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∼ (𝐹‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦   𝐼,𝑙,𝑣,𝑥,𝑦   𝑖,𝐽,𝑙,𝑣,𝑥,𝑦   𝐾,𝑏,𝑖,𝑥,𝑦   𝑁,𝑏,𝑖   𝑆,𝑙   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   𝑋,𝑏,𝑖,𝑙,𝑣,𝑥,𝑦   · ,𝑙,𝑣,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑖, 𝑏, 𝑙)   𝐵(𝑖, 𝑙)   ∼ (𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑖, 𝑏, 𝑙)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑖, 𝑏)   · (𝑖, 𝑏)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑖, 𝑏, 𝑙)   𝐼(𝑖, 𝑏)   𝐽(𝑏)   𝐾(𝑣, 𝑙)   𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑙)   𝑊(𝑣, 𝑖, 𝑏)

Proof of Theorem prjspnequivnorm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspnnorm.e	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2		prjspnnorm.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
3		prjspnnorm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
4		prjspnnorm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
5		prjspnnorm.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		prjspnnorm.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	prjspner 43690	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐵)
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
9		prjspnnorm.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		prjspnnorm.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
11		prjspnnorm.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
12	6	drngringd 20988	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
13		prjspnnorm.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	11, 2, 3, 12, 13, 9, 4	frlmnzcoordcl2 43699	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐽‘𝑋)) ∈ 𝑆)
15	11, 2, 3, 12, 13, 9	frlmnzcoordn0 43700	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐽‘𝑋)) ≠ (0g‘𝐾))
16	4, 8, 10, 6, 14, 15	drnginvrcld 21013	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋‘(𝐽‘𝑋))) ∈ 𝑆)
17	4, 8, 10, 6, 14, 15	drnginvrn0d 43628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋‘(𝐽‘𝑋))) ≠ (0g‘𝐾))
18	1, 2, 3, 4, 5, 8, 6, 9, 16, 17	prjspnvs 43691	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑋‘(𝐽‘𝑋))) · 𝑋) ∼ 𝑋)
19	7, 18	ersym 8730	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∼ ((𝐼‘(𝑋‘(𝐽‘𝑋))) · 𝑋))
20		prjspnnorm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘(𝑣‘(𝐽‘𝑣))) · 𝑣))
21	20, 9	prjspnnormval 43702	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ((𝐼‘(𝑋‘(𝐽‘𝑋))) · 𝑋))
22	19, 21	breqtrrd 5132	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∼ (𝐹‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {crab 3412   ∖ cdif 4045  {csn 4583   class class class wbr 5102  {copab 5166   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  infcinf 9433  ℝcr 11199  0cc0 11200   < clt 11343  ℕ₀cn0 12606  ...cfz 13639  Basecbs 17387   ·_𝑠 cvsca 17432  0_gc0g 17610  inv_rcinvr 20617  DivRingcdr 20980   freeLMod cfrlm 22052

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-subrg 20822  df-drng 20982  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lvec 21378  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-dsmm 22038  df-frlm 22053

This theorem is used by:  prjspnnorm  43704