Theorem fsumneg 15843

Description: Negation of a finite sum. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumneg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumneg.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumneg	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 -𝐵 = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumneg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		neg1cn 12207	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
4		fsumneg.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	1, 3, 4	fsummulc2 15840	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (-1 · 𝐵))
6	1, 4	fsumcl 15789	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
7	6	mulm1d 11670	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
8	4	mulm1d 11670	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
9	8	sumeq2dv 15758	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (-1 · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 -𝐵)
10	5, 7, 9	3eqtr3rd 2807	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 -𝐵 = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  ℂcc 11102  1c1 11105   · cmul 11109  -cneg 11446  Σcsu 15742

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-rp 13021  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14372  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-clim 15544  df-sum 15743

This theorem is used by:  fsumsub  15844  incexclem  15895  incexc  15896  dvfsumge  26190  dvfsum2  26202  birthdaylem3  27127  amgmlem  27163  rpvmasum2  27685  pntrsumo1  27738  pntrlog2bndlem2  27751  pntrlog2bndlem4  27753  pntpbnd1  27759  amgmwlem  50677