Theorem hhnmoi 32060

Description: The norm of an operator in Hilbert space. (Contributed by NM, 19-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhnmo.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhnmo.2	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hhnmoi	⊢ normop = 𝑁

Proof of Theorem hhnmoi

Dummy variables 𝑥 𝑡 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nmop 31998	. 2 ⊢ normop = (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↦ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑡‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
2		hhnmo.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnv 31324	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4	2	hhba 31326	. . . 4 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
5	2	hhnm 31330	. . . 4 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)
6		hhnmo.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑈)
7	4, 4, 5, 5, 6	nmoofval 30921	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → 𝑁 = (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↦ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑡‘𝑦)))}, ℝ*, < )))
8	3, 3, 7	mp2an 702	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↦ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑡‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
9	1, 8	eqtr4i 2787	1 ⊢ normop = 𝑁

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {cab 2739  ∃wrex 3085  ⟨cop 4585   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8801  supcsup 9379  1c1 11067  ℝ^*cxr 11208   < clt 11209   ≤ cle 11210  NrmCVeccnv 30743   normOp_OLD cnmoo 30900   ℋchba 31078   +_ℎ cva 31079   ·_ℎ csm 31080  norm_ℎcno 31082  norm_opcnop 31104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144  ax-hilex 31158  ax-hfvadd 31159  ax-hvcom 31160  ax-hvass 31161  ax-hv0cl 31162  ax-hvaddid 31163  ax-hfvmul 31164  ax-hvmulid 31165  ax-hvmulass 31166  ax-hvdistr1 31167  ax-hvdistr2 31168  ax-hvmul0 31169  ax-hfi 31238  ax-his1 31241  ax-his2 31242  ax-his3 31243  ax-his4 31244

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9381  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-rp 12987  df-seq 14008  df-exp 14068  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-grpo 30652  df-gid 30653  df-ablo 30704  df-vc 30718  df-nv 30751  df-va 30754  df-ba 30755  df-nmcv 30759  df-nmoo 30904  df-hnorm 31127  df-hvsub 31130  df-nmop 31998

This theorem is referenced by:  hhbloi  32061  nmopub2tHIL  32069  nmlnop0iHIL  32155