HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhnmoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhnmoi 29836
Description: The norm of an operator in Hilbert space. (Contributed by NM, 19-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhnmo.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
hhnmo.2 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑈)
Assertion
Ref Expression
hhnmoi normop = 𝑁

Proof of Theorem hhnmoi
Dummy variables 𝑥 𝑡 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nmop 29774 . 2 normop = (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↦ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑡𝑦)))}, ℝ*, < ))
2 hhnmo.1 . . . 4 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
32hhnv 29100 . . 3 𝑈 ∈ NrmCVec
42hhba 29102 . . . 4 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
52hhnm 29106 . . . 4 norm = (normCV𝑈)
6 hhnmo.2 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑈)
74, 4, 5, 5, 6nmoofval 28697 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → 𝑁 = (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↦ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑡𝑦)))}, ℝ*, < )))
83, 3, 7mp2an 692 . 2 𝑁 = (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↦ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑡𝑦)))}, ℝ*, < ))
91, 8eqtr4i 2764 1 normop = 𝑁
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  {cab 2716  wrex 3054  cop 4522   class class class wbr 5030  cmpt 5110  cfv 6339  (class class class)co 7170  m cmap 8437  supcsup 8977  1c1 10616  *cxr 10752   < clt 10753  cle 10754  NrmCVeccnv 28519   normOpOLD cnmoo 28676  chba 28854   + cva 28855   · csm 28856  normcno 28858  normopcnop 28880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-hilex 28934  ax-hfvadd 28935  ax-hvcom 28936  ax-hvass 28937  ax-hv0cl 28938  ax-hvaddid 28939  ax-hfvmul 28940  ax-hvmulid 28941  ax-hvmulass 28942  ax-hvdistr1 28943  ax-hvdistr2 28944  ax-hvmul0 28945  ax-hfi 29014  ax-his1 29017  ax-his2 29018  ax-his3 29019  ax-his4 29020
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-sup 8979  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-seq 13461  df-exp 13522  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-grpo 28428  df-gid 28429  df-ablo 28480  df-vc 28494  df-nv 28527  df-va 28530  df-ba 28531  df-nmcv 28535  df-nmoo 28680  df-hnorm 28903  df-hvsub 28906  df-nmop 29774
This theorem is referenced by:  hhbloi  29837  nmopub2tHIL  29845  nmlnop0iHIL  29931
  Copyright terms: Public domain W3C validator