HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhnmoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhnmoi 31724
Description: The norm of an operator in Hilbert space. (Contributed by NM, 19-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhnmo.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
hhnmo.2 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
hhnmoi normop = 𝑁

Proof of Theorem hhnmoi
Dummy variables π‘₯ 𝑑 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nmop 31662 . 2 normop = (𝑑 ∈ ( β„‹ ↑m β„‹) ↦ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (normβ„Žβ€˜(π‘‘β€˜π‘¦)))}, ℝ*, < ))
2 hhnmo.1 . . . 4 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
32hhnv 30988 . . 3 π‘ˆ ∈ NrmCVec
42hhba 30990 . . . 4 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
52hhnm 30994 . . . 4 normβ„Ž = (normCVβ€˜π‘ˆ)
6 hhnmo.2 . . . 4 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘ˆ)
74, 4, 5, 5, 6nmoofval 30585 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘ˆ ∈ NrmCVec) β†’ 𝑁 = (𝑑 ∈ ( β„‹ ↑m β„‹) ↦ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (normβ„Žβ€˜(π‘‘β€˜π‘¦)))}, ℝ*, < )))
83, 3, 7mp2an 691 . 2 𝑁 = (𝑑 ∈ ( β„‹ ↑m β„‹) ↦ sup({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘₯ = (normβ„Žβ€˜(π‘‘β€˜π‘¦)))}, ℝ*, < ))
91, 8eqtr4i 2759 1 normop = 𝑁
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2705  βˆƒwrex 3067  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑m cmap 8845  supcsup 9464  1c1 11140  β„*cxr 11278   < clt 11279   ≀ cle 11280  NrmCVeccnv 30407   normOpOLD cnmoo 30564   β„‹chba 30742   +β„Ž cva 30743   Β·β„Ž csm 30744  normβ„Žcno 30746  normopcnop 30768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-hilex 30822  ax-hfvadd 30823  ax-hvcom 30824  ax-hvass 30825  ax-hv0cl 30826  ax-hvaddid 30827  ax-hfvmul 30828  ax-hvmulid 30829  ax-hvmulass 30830  ax-hvdistr1 30831  ax-hvdistr2 30832  ax-hvmul0 30833  ax-hfi 30902  ax-his1 30905  ax-his2 30906  ax-his3 30907  ax-his4 30908
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-grpo 30316  df-gid 30317  df-ablo 30368  df-vc 30382  df-nv 30415  df-va 30418  df-ba 30419  df-nmcv 30423  df-nmoo 30568  df-hnorm 30791  df-hvsub 30794  df-nmop 31662
This theorem is referenced by:  hhbloi  31725  nmopub2tHIL  31733  nmlnop0iHIL  31819
  Copyright terms: Public domain W3C validator