Theorem hhnmoi 32190

Description: The norm of an operator in Hilbert space. (Contributed by NM, 19-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhnmo.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhnmo.2	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hhnmoi	⊢ normop = 𝑁

Proof of Theorem hhnmoi

Dummy variables 𝑥 𝑡 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nmop 32128	. 2 ⊢ normop = (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↦ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑡‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
2		hhnmo.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnv 31454	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4	2	hhba 31456	. . . 4 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
5	2	hhnm 31460	. . . 4 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)
6		hhnmo.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑈)
7	4, 4, 5, 5, 6	nmoofval 31051	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → 𝑁 = (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↦ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑡‘𝑦)))}, ℝ*, < )))
8	3, 3, 7	mp2an 704	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↦ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑡‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
9	1, 8	eqtr4i 2795	1 ⊢ normop = 𝑁

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747  ∃wrex 3095  ⟨cop 4597   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8820  supcsup 9396  1c1 11097  ℝ^*cxr 11238   < clt 11239   ≤ cle 11240  NrmCVeccnv 30873   normOp_OLD cnmoo 31030   ℋchba 31208   +_ℎ cva 31209   ·_ℎ csm 31210  norm_ℎcno 31212  norm_opcnop 31234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-hilex 31288  ax-hfvadd 31289  ax-hvcom 31290  ax-hvass 31291  ax-hv0cl 31292  ax-hvaddid 31293  ax-hfvmul 31294  ax-hvmulid 31295  ax-hvmulass 31296  ax-hvdistr1 31297  ax-hvdistr2 31298  ax-hvmul0 31299  ax-hfi 31368  ax-his1 31371  ax-his2 31372  ax-his3 31373  ax-his4 31374

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-grpo 30782  df-gid 30783  df-ablo 30834  df-vc 30848  df-nv 30881  df-va 30884  df-ba 30885  df-nmcv 30889  df-nmoo 31034  df-hnorm 31257  df-hvsub 31260  df-nmop 32128

This theorem is referenced by:  hhbloi  32191  nmopub2tHIL  32199  nmlnop0iHIL  32285