Theorem hhnmoi 32382

Description: The norm of an operator in Hilbert space. (Contributed by NM, 19-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhnmo.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhnmo.2	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hhnmoi	⊢ normop = 𝑁

Proof of Theorem hhnmoi

Dummy variables 𝑥 𝑡 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nmop 32320	. 2 ⊢ normop = (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↦ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑡‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
2		hhnmo.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnv 31646	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4	2	hhba 31648	. . . 4 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
5	2	hhnm 31652	. . . 4 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)
6		hhnmo.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑈)
7	4, 4, 5, 5, 6	nmoofval 31243	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → 𝑁 = (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↦ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑡‘𝑦)))}, ℝ*, < )))
8	3, 3, 7	mp2an 705	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↦ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑡‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
9	1, 8	eqtr4i 2786	1 ⊢ normop = 𝑁

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738  ∃wrex 3086  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  supcsup 9410  1c1 11125  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268  NrmCVeccnv 31065   normOp_OLD cnmoo 31222   ℋchba 31400   +_ℎ cva 31401   ·_ℎ csm 31402  norm_ℎcno 31404  norm_opcnop 31426

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-hilex 31480  ax-hfvadd 31481  ax-hvcom 31482  ax-hvass 31483  ax-hv0cl 31484  ax-hvaddid 31485  ax-hfvmul 31486  ax-hvmulid 31487  ax-hvmulass 31488  ax-hvdistr1 31489  ax-hvdistr2 31490  ax-hvmul0 31491  ax-hfi 31560  ax-his1 31563  ax-his2 31564  ax-his3 31565  ax-his4 31566

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-grpo 30974  df-gid 30975  df-ablo 31026  df-vc 31040  df-nv 31073  df-va 31076  df-ba 31077  df-nmcv 31081  df-nmoo 31226  df-hnorm 31449  df-hvsub 31452  df-nmop 32320

This theorem is used by:  hhbloi  32383  nmopub2tHIL  32391  nmlnop0iHIL  32477