Theorem hhbloi 31934

Description: A bounded linear operator in Hilbert space. (Contributed by NM, 19-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhnmo.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhblo.2	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hhbloi	⊢ BndLinOp = 𝐵

Proof of Theorem hhbloi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bdop 31874	. 2 ⊢ BndLinOp = {𝑥 ∈ LinOp ∣ (normop‘𝑥) < +∞}
2		hhnmo.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnv 31197	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑈) = (𝑈 normOpOLD 𝑈)
5	2, 4	hhnmoi 31933	. . . 4 ⊢ normop = (𝑈 normOpOLD 𝑈)
6		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑈) = (𝑈 LnOp 𝑈)
7	2, 6	hhlnoi 31932	. . . 4 ⊢ LinOp = (𝑈 LnOp 𝑈)
8		hhblo.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)
9	5, 7, 8	bloval 30813	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → 𝐵 = {𝑥 ∈ LinOp ∣ (normop‘𝑥) < +∞})
10	3, 3, 9	mp2an 691	. 2 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ LinOp ∣ (normop‘𝑥) < +∞}
11	1, 10	eqtr4i 2771	1 ⊢ BndLinOp = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  +∞cpnf 11321   < clt 11324  NrmCVeccnv 30616   LnOp clno 30772   normOp_OLD cnmoo 30773   BLnOp cblo 30774   +_ℎ cva 30952   ·_ℎ csm 30953  norm_ℎcno 30955  norm_opcnop 30977  LinOpclo 30979  BndLinOpcbo 30980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hvcom 31033  ax-hvass 31034  ax-hv0cl 31035  ax-hvaddid 31036  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulid 31038  ax-hvmulass 31039  ax-hvdistr1 31040  ax-hvdistr2 31041  ax-hvmul0 31042  ax-hfi 31111  ax-his1 31114  ax-his2 31115  ax-his3 31116  ax-his4 31117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-grpo 30525  df-gid 30526  df-ablo 30577  df-vc 30591  df-nv 30624  df-va 30627  df-ba 30628  df-sm 30629  df-nmcv 30632  df-lno 30776  df-nmoo 30777  df-blo 30778  df-hnorm 31000  df-hvsub 31003  df-nmop 31871  df-lnop 31873  df-bdop 31874

This theorem is referenced by:  hmopbdoptHIL  32020