Theorem hhbloi 31829

Description: A bounded linear operator in Hilbert space. (Contributed by NM, 19-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhnmo.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhblo.2	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hhbloi	⊢ BndLinOp = 𝐵

Proof of Theorem hhbloi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bdop 31769	. 2 ⊢ BndLinOp = {𝑥 ∈ LinOp ∣ (normop‘𝑥) < +∞}
2		hhnmo.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnv 31092	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑈) = (𝑈 normOpOLD 𝑈)
5	2, 4	hhnmoi 31828	. . . 4 ⊢ normop = (𝑈 normOpOLD 𝑈)
6		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑈) = (𝑈 LnOp 𝑈)
7	2, 6	hhlnoi 31827	. . . 4 ⊢ LinOp = (𝑈 LnOp 𝑈)
8		hhblo.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)
9	5, 7, 8	bloval 30708	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → 𝐵 = {𝑥 ∈ LinOp ∣ (normop‘𝑥) < +∞})
10	3, 3, 9	mp2an 690	. 2 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ LinOp ∣ (normop‘𝑥) < +∞}
11	1, 10	eqtr4i 2757	1 ⊢ BndLinOp = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3419  ⟨cop 4629   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  +∞cpnf 11283   < clt 11286  NrmCVeccnv 30511   LnOp clno 30667   normOp_OLD cnmoo 30668   BLnOp cblo 30669   +_ℎ cva 30847   ·_ℎ csm 30848  norm_ℎcno 30850  norm_opcnop 30872  LinOpclo 30874  BndLinOpcbo 30875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-hilex 30926  ax-hfvadd 30927  ax-hvcom 30928  ax-hvass 30929  ax-hv0cl 30930  ax-hvaddid 30931  ax-hfvmul 30932  ax-hvmulid 30933  ax-hvmulass 30934  ax-hvdistr1 30935  ax-hvdistr2 30936  ax-hvmul0 30937  ax-hfi 31006  ax-his1 31009  ax-his2 31010  ax-his3 31011  ax-his4 31012

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9475  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-n0 12516  df-z 12602  df-uz 12866  df-rp 13020  df-seq 14013  df-exp 14073  df-cj 15096  df-re 15097  df-im 15098  df-sqrt 15232  df-abs 15233  df-grpo 30420  df-gid 30421  df-ablo 30472  df-vc 30486  df-nv 30519  df-va 30522  df-ba 30523  df-sm 30524  df-nmcv 30527  df-lno 30671  df-nmoo 30672  df-blo 30673  df-hnorm 30895  df-hvsub 30898  df-nmop 31766  df-lnop 31768  df-bdop 31769

This theorem is referenced by:  hmopbdoptHIL  31915