Theorem hhbloi 32561

Description: A bounded linear operator in Hilbert space. (Contributed by NM, 19-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhnmo.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhblo.2	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hhbloi	⊢ BndLinOp = 𝐵

Proof of Theorem hhbloi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bdop 32501	. 2 ⊢ BndLinOp = {𝑥 ∈ LinOp ∣ (normop‘𝑥) < +∞}
2		hhnmo.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnv 31824	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑈) = (𝑈 normOpOLD 𝑈)
5	2, 4	hhnmoi 32560	. . . 4 ⊢ normop = (𝑈 normOpOLD 𝑈)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑈) = (𝑈 LnOp 𝑈)
7	2, 6	hhlnoi 32559	. . . 4 ⊢ LinOp = (𝑈 LnOp 𝑈)
8		hhblo.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)
9	5, 7, 8	bloval 31440	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → 𝐵 = {𝑥 ∈ LinOp ∣ (normop‘𝑥) < +∞})
10	3, 3, 9	mp2an 705	. 2 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ LinOp ∣ (normop‘𝑥) < +∞}
11	1, 10	eqtr4i 2789	1 ⊢ BndLinOp = 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  ⟨cop 4840   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  +∞cpnf 11379   < clt 11382  NrmCVeccnv 31243   LnOp clno 31399   normOp_OLD cnmoo 31400   BLnOp cblo 31401   +_ℎ cva 31579   ·_ℎ csm 31580  norm_ℎcno 31582  norm_opcnop 31604  LinOpclo 31606  BndLinOpcbo 31607

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-hilex 31658  ax-hfvadd 31659  ax-hvcom 31660  ax-hvass 31661  ax-hv0cl 31662  ax-hvaddid 31663  ax-hfvmul 31664  ax-hvmulid 31665  ax-hvmulass 31666  ax-hvdistr1 31667  ax-hvdistr2 31668  ax-hvmul0 31669  ax-hfi 31738  ax-his1 31741  ax-his2 31742  ax-his3 31743  ax-his4 31744

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-grpo 31152  df-gid 31153  df-ablo 31204  df-vc 31218  df-nv 31251  df-va 31254  df-ba 31255  df-sm 31256  df-nmcv 31259  df-lno 31403  df-nmoo 31404  df-blo 31405  df-hnorm 31627  df-hvsub 31630  df-nmop 32498  df-lnop 32500  df-bdop 32501

This theorem is used by:  hmopbdoptHIL  32647