Theorem matecld 20556

Description: Each entry (according to Wikipedia "Matrix (mathematics)", 30-Dec-2018, https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)#Definition (or element or component or coefficient or cell) of a matrix is an element of the underlying ring, deduction form. (Contributed by AV, 27-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matecl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matecl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
matecld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matecld.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
matecld.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑁)
matecld.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
matecld	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem matecld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matecld.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
2		matecld.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑁)
3		matecld.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
4		matecld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5	3, 4	syl6eleq 2889	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
6		matecl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7		matecl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8	6, 7	matecl 20555	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)
9	1, 2, 5, 8	syl3anc 1491	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6102  (class class class)co 6879  Basecbs 16183   Mat cmat 20537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-ot 4378  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-supp 7534  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-ixp 8150  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-fsupp 8519  df-sup 8591  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11580  df-z 11666  df-dec 11783  df-uz 11930  df-fz 12580  df-struct 16185  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-ress 16191  df-plusg 16279  df-mulr 16280  df-sca 16282  df-vsca 16283  df-ip 16284  df-tset 16285  df-ple 16286  df-ds 16288  df-hom 16290  df-cco 16291  df-0g 16416  df-prds 16422  df-pws 16424  df-sra 19494  df-rgmod 19495  df-dsmm 20400  df-frlm 20415  df-mat 20538

This theorem is referenced by:  mat1mhm  20615  dmatmulcl  20631  dmatcrng  20633  scmatscm  20644  scmatcrng  20652  maduf  20772  pmatcoe1fsupp  20833  cpmatel2  20845  cpmatmcllem  20850  mat2pmatf1  20861  mat2pmatghm  20862  mat2pmatmul  20863  mat2pmatlin  20867  m2cpm  20873  cpm2mf  20884  m2cpminvid  20885  m2cpminvid2lem  20886  m2cpminvid2  20887  m2cpmfo  20888  decpmatcl  20899  decpmatmullem  20903  decpmatmul  20904  pmatcollpw1lem1  20906  pmatcollpw1lem2  20907  pmatcollpw1  20908  pmatcollpw2  20910  monmatcollpw  20911  pmatcollpwlem  20912  pmatcollpw  20913  pmatcollpw3lem  20915  pmatcollpwscmatlem2  20922  pm2mpf1  20931  mptcoe1matfsupp  20934  mply1topmatcl  20937  mp2pm2mplem2  20939  mp2pm2mplem4  20941  mdetpmtr1  30404  mdetpmtr2  30405  mdetpmtr12  30406  madjusmdetlem1  30408  madjusmdetlem3  30410  mdetlap  30413