MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matecld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matecld 21791
Description: Each entry (according to Wikipedia "Matrix (mathematics)", 30-Dec-2018, https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)#Definition (or element or component or coefficient or cell) of a matrix is an element of the underlying ring, deduction form. (Contributed by AV, 27-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matecl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matecl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
matecld.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matecld.i (𝜑𝐼𝑁)
matecld.j (𝜑𝐽𝑁)
matecld.m (𝜑𝑀𝐵)
Assertion
Ref Expression
matecld (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem matecld
StepHypRef Expression
1 matecld.i . 2 (𝜑𝐼𝑁)
2 matecld.j . 2 (𝜑𝐽𝑁)
3 matecld.m . . 3 (𝜑𝑀𝐵)
4 matecld.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
53, 4eleqtrdi 2848 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
6 matecl.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 matecl.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
86, 7matecl 21790 . 2 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)
91, 2, 5, 8syl3anc 1372 1 (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090   Mat cmat 21770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-prds 17336  df-pws 17338  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-mat 21771
This theorem is referenced by:  mat1mhm  21849  dmatmulcl  21865  dmatcrng  21867  scmatscm  21878  scmatcrng  21886  maduf  22006  pmatcoe1fsupp  22066  cpmatel2  22078  cpmatmcllem  22083  mat2pmatf1  22094  mat2pmatghm  22095  mat2pmatmul  22096  mat2pmatlin  22100  m2cpm  22106  cpm2mf  22117  m2cpminvid  22118  m2cpminvid2lem  22119  m2cpminvid2  22120  m2cpmfo  22121  decpmatcl  22132  decpmatmullem  22136  decpmatmul  22137  pmatcollpw1lem1  22139  pmatcollpw1lem2  22140  pmatcollpw1  22141  pmatcollpw2  22143  monmatcollpw  22144  pmatcollpwlem  22145  pmatcollpw  22146  pmatcollpw3lem  22148  pmatcollpwscmatlem2  22155  pm2mpf1  22164  mptcoe1matfsupp  22167  mply1topmatcl  22170  mp2pm2mplem2  22172  mp2pm2mplem4  22174  mdetpmtr1  32444  mdetpmtr2  32445  mdetpmtr12  32446  madjusmdetlem1  32448  madjusmdetlem3  32450  mdetlap  32453
  Copyright terms: Public domain W3C validator