MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matecld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matecld 20951
Description: Each entry (according to Wikipedia "Matrix (mathematics)", 30-Dec-2018, https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)#Definition (or element or component or coefficient or cell) of a matrix is an element of the underlying ring, deduction form. (Contributed by AV, 27-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matecl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matecl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
matecld.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matecld.i (𝜑𝐼𝑁)
matecld.j (𝜑𝐽𝑁)
matecld.m (𝜑𝑀𝐵)
Assertion
Ref Expression
matecld (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem matecld
StepHypRef Expression
1 matecld.i . 2 (𝜑𝐼𝑁)
2 matecld.j . 2 (𝜑𝐽𝑁)
3 matecld.m . . 3 (𝜑𝑀𝐵)
4 matecld.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
53, 4syl6eleq 2927 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
6 matecl.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 matecl.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
86, 7matecl 20950 . 2 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)
91, 2, 5, 8syl3anc 1365 1 (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2106  cfv 6351  (class class class)co 7151  Basecbs 16475   Mat cmat 20932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-ot 4572  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-prds 16713  df-pws 16715  df-sra 19866  df-rgmod 19867  df-dsmm 20792  df-frlm 20807  df-mat 20933
This theorem is referenced by:  mat1mhm  21009  dmatmulcl  21025  dmatcrng  21027  scmatscm  21038  scmatcrng  21046  maduf  21166  pmatcoe1fsupp  21225  cpmatel2  21237  cpmatmcllem  21242  mat2pmatf1  21253  mat2pmatghm  21254  mat2pmatmul  21255  mat2pmatlin  21259  m2cpm  21265  cpm2mf  21276  m2cpminvid  21277  m2cpminvid2lem  21278  m2cpminvid2  21279  m2cpmfo  21280  decpmatcl  21291  decpmatmullem  21295  decpmatmul  21296  pmatcollpw1lem1  21298  pmatcollpw1lem2  21299  pmatcollpw1  21300  pmatcollpw2  21302  monmatcollpw  21303  pmatcollpwlem  21304  pmatcollpw  21305  pmatcollpw3lem  21307  pmatcollpwscmatlem2  21314  pm2mpf1  21323  mptcoe1matfsupp  21326  mply1topmatcl  21329  mp2pm2mplem2  21331  mp2pm2mplem4  21333  mdetpmtr1  30975  mdetpmtr2  30976  mdetpmtr12  30977  madjusmdetlem1  30979  madjusmdetlem3  30981  mdetlap  30984
  Copyright terms: Public domain W3C validator