Theorem matecld 22487

Description: Each entry (according to Wikipedia "Matrix (mathematics)", 30-Dec-2018, https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)#Definition (or element or component or coefficient or cell) of a matrix is an element of the underlying ring, deduction form. (Contributed by AV, 27-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matecl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matecl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
matecld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matecld.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
matecld.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑁)
matecld.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
matecld	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem matecld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matecld.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
2		matecld.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑁)
3		matecld.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
4		matecld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5	3, 4	eleqtrdi 2873	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
6		matecl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7		matecl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8	6, 7	matecl 22486	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)
9	1, 2, 5, 8	syl3anc 1391	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  Basecbs 17246   Mat cmat 22468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8142  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-er 8679  df-map 8811  df-ixp 8881  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-fsupp 9309  df-sup 9389  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-fz 13514  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-hom 17311  df-cco 17312  df-0g 17471  df-prds 17477  df-pws 17479  df-sra 21241  df-rgmod 21242  df-dsmm 21785  df-frlm 21800  df-mat 22469

This theorem is referenced by:  mat1mhm  22545  dmatmulcl  22561  dmatcrng  22563  scmatscm  22574  scmatcrng  22582  maduf  22702  pmatcoe1fsupp  22762  cpmatel2  22774  cpmatmcllem  22779  mat2pmatf1  22790  mat2pmatghm  22791  mat2pmatmul  22792  mat2pmatlin  22796  m2cpm  22802  cpm2mf  22813  m2cpminvid  22814  m2cpminvid2lem  22815  m2cpminvid2  22816  m2cpmfo  22817  decpmatcl  22828  decpmatmullem  22832  decpmatmul  22833  pmatcollpw1lem1  22835  pmatcollpw1lem2  22836  pmatcollpw1  22837  pmatcollpw2  22839  monmatcollpw  22840  pmatcollpwlem  22841  pmatcollpw  22842  pmatcollpw3lem  22844  pmatcollpwscmatlem2  22851  pm2mpf1  22860  mptcoe1matfsupp  22863  mply1topmatcl  22866  mp2pm2mplem2  22868  mp2pm2mplem4  22870  mdetpmtr1  34121  mdetpmtr2  34122  mdetpmtr12  34123  madjusmdetlem1  34125  madjusmdetlem3  34127  mdetlap  34130