Theorem matecld 21323

Description: Each entry (according to Wikipedia "Matrix (mathematics)", 30-Dec-2018, https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)#Definition (or element or component or coefficient or cell) of a matrix is an element of the underlying ring, deduction form. (Contributed by AV, 27-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matecl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matecl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
matecld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matecld.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
matecld.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑁)
matecld.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
matecld	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem matecld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matecld.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
2		matecld.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑁)
3		matecld.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
4		matecld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5	3, 4	eleqtrdi 2848	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
6		matecl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7		matecl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8	6, 7	matecl 21322	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)
9	1, 2, 5, 8	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760   Mat cmat 21304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-ot 4550  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-hom 16826  df-cco 16827  df-0g 16946  df-prds 16952  df-pws 16954  df-sra 20209  df-rgmod 20210  df-dsmm 20694  df-frlm 20709  df-mat 21305

This theorem is referenced by:  mat1mhm  21381  dmatmulcl  21397  dmatcrng  21399  scmatscm  21410  scmatcrng  21418  maduf  21538  pmatcoe1fsupp  21598  cpmatel2  21610  cpmatmcllem  21615  mat2pmatf1  21626  mat2pmatghm  21627  mat2pmatmul  21628  mat2pmatlin  21632  m2cpm  21638  cpm2mf  21649  m2cpminvid  21650  m2cpminvid2lem  21651  m2cpminvid2  21652  m2cpmfo  21653  decpmatcl  21664  decpmatmullem  21668  decpmatmul  21669  pmatcollpw1lem1  21671  pmatcollpw1lem2  21672  pmatcollpw1  21673  pmatcollpw2  21675  monmatcollpw  21676  pmatcollpwlem  21677  pmatcollpw  21678  pmatcollpw3lem  21680  pmatcollpwscmatlem2  21687  pm2mpf1  21696  mptcoe1matfsupp  21699  mply1topmatcl  21702  mp2pm2mplem2  21704  mp2pm2mplem4  21706  mdetpmtr1  31487  mdetpmtr2  31488  mdetpmtr12  31489  madjusmdetlem1  31491  madjusmdetlem3  31493  mdetlap  31496