Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mncn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mncn0 41495
Description: A monic polynomial is not zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
mncn0 (𝑃 ∈ ( Monic β€˜π‘†) β†’ 𝑃 β‰  0𝑝)

Proof of Theorem mncn0
StepHypRef Expression
1 mnccoe 41494 . 2 (𝑃 ∈ ( Monic β€˜π‘†) β†’ ((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜(degβ€˜π‘ƒ)) = 1)
2 coe0 25633 . . . . . . 7 (coeffβ€˜0𝑝) = (β„•0 Γ— {0})
32fveq1i 6848 . . . . . 6 ((coeffβ€˜0𝑝)β€˜(degβ€˜0𝑝)) = ((β„•0 Γ— {0})β€˜(degβ€˜0𝑝))
4 dgr0 25639 . . . . . . . 8 (degβ€˜0𝑝) = 0
5 0nn0 12435 . . . . . . . 8 0 ∈ β„•0
64, 5eqeltri 2834 . . . . . . 7 (degβ€˜0𝑝) ∈ β„•0
7 c0ex 11156 . . . . . . . 8 0 ∈ V
87fvconst2 7158 . . . . . . 7 ((degβ€˜0𝑝) ∈ β„•0 β†’ ((β„•0 Γ— {0})β€˜(degβ€˜0𝑝)) = 0)
96, 8ax-mp 5 . . . . . 6 ((β„•0 Γ— {0})β€˜(degβ€˜0𝑝)) = 0
103, 9eqtri 2765 . . . . 5 ((coeffβ€˜0𝑝)β€˜(degβ€˜0𝑝)) = 0
11 0ne1 12231 . . . . 5 0 β‰  1
1210, 11eqnetri 3015 . . . 4 ((coeffβ€˜0𝑝)β€˜(degβ€˜0𝑝)) β‰  1
13 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑃 = 0𝑝 β†’ (coeffβ€˜π‘ƒ) = (coeffβ€˜0𝑝))
14 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑃 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜π‘ƒ) = (degβ€˜0𝑝))
1513, 14fveq12d 6854 . . . . 5 (𝑃 = 0𝑝 β†’ ((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜(degβ€˜π‘ƒ)) = ((coeffβ€˜0𝑝)β€˜(degβ€˜0𝑝)))
1615neeq1d 3004 . . . 4 (𝑃 = 0𝑝 β†’ (((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜(degβ€˜π‘ƒ)) β‰  1 ↔ ((coeffβ€˜0𝑝)β€˜(degβ€˜0𝑝)) β‰  1))
1712, 16mpbiri 258 . . 3 (𝑃 = 0𝑝 β†’ ((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜(degβ€˜π‘ƒ)) β‰  1)
1817necon2i 2979 . 2 (((coeffβ€˜π‘ƒ)β€˜(degβ€˜π‘ƒ)) = 1 β†’ 𝑃 β‰  0𝑝)
191, 18syl 17 1 (𝑃 ∈ ( Monic β€˜π‘†) β†’ 𝑃 β‰  0𝑝)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  {csn 4591   Γ— cxp 5636  β€˜cfv 6501  0cc0 11058  1c1 11059  β„•0cn0 12420  0𝑝c0p 25049  coeffccoe 25563  degcdgr 25564   Monic cmnc 41487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-0p 25050  df-ply 25565  df-coe 25567  df-dgr 25568  df-mnc 41489
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator