Theorem mncn0 40953

Description: A monic polynomial is not zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mncn0	⊢ (𝑃 ∈ ( Monic ‘𝑆) → 𝑃 ≠ 0𝑝)

Proof of Theorem mncn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnccoe 40952	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ( Monic ‘𝑆) → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = 1)
2		coe0 25407	. . . . . . 7 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
3	2	fveq1i 6770	. . . . . 6 ⊢ ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)) = ((ℕ0 × {0})‘(deg‘0𝑝))
4		dgr0 25413	. . . . . . . 8 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
5		0nn0 12240	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	4, 5	eqeltri 2837	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘0𝑝) ∈ ℕ0
7		c0ex 10962	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
8	7	fvconst2 7074	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘0𝑝) ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘(deg‘0𝑝)) = 0)
9	6, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ0 × {0})‘(deg‘0𝑝)) = 0
10	3, 9	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)) = 0
11		0ne1 12036	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
12	10, 11	eqnetri 3016	. . . 4 ⊢ ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)) ≠ 1
13		fveq2 6769	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (coeff‘𝑃) = (coeff‘0𝑝))
14		fveq2 6769	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (deg‘𝑃) = (deg‘0𝑝))
15	13, 14	fveq12d 6776	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)))
16	15	neeq1d 3005	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ≠ 1 ↔ ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)) ≠ 1))
17	12, 16	mpbiri 257	. . 3 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ≠ 1)
18	17	necon2i 2980	. 2 ⊢ (((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = 1 → 𝑃 ≠ 0𝑝)
19	1, 18	syl 17	1 ⊢ (𝑃 ∈ ( Monic ‘𝑆) → 𝑃 ≠ 0𝑝)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  {csn 4567   × cxp 5587  ‘cfv 6431  0cc0 10864  1c1 10865  ℕ₀cn0 12225  0_𝑝c0p 24823  coeffccoe 25337  degcdgr 25338   Monic cmnc 40945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9369  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941  ax-pre-sup 10942

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-1o 8282  df-er 8473  df-map 8592  df-pm 8593  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-fin 8712  df-sup 9171  df-inf 9172  df-oi 9239  df-card 9690  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-div 11625  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-n0 12226  df-z 12312  df-uz 12574  df-rp 12722  df-fz 13231  df-fzo 13374  df-fl 13502  df-seq 13712  df-exp 13773  df-hash 14035  df-cj 14800  df-re 14801  df-im 14802  df-sqrt 14936  df-abs 14937  df-clim 15187  df-rlim 15188  df-sum 15388  df-0p 24824  df-ply 25339  df-coe 25341  df-dgr 25342  df-mnc 40947

This theorem is referenced by: (None)