Theorem mncn0 42563

Description: A monic polynomial is not zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mncn0	⊢ (𝑃 ∈ ( Monic ‘𝑆) → 𝑃 ≠ 0𝑝)

Proof of Theorem mncn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnccoe 42562	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ( Monic ‘𝑆) → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = 1)
2		coe0 26203	. . . . . . 7 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
3	2	fveq1i 6898	. . . . . 6 ⊢ ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)) = ((ℕ0 × {0})‘(deg‘0𝑝))
4		dgr0 26210	. . . . . . . 8 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
5		0nn0 12518	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	4, 5	eqeltri 2825	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘0𝑝) ∈ ℕ0
7		c0ex 11239	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
8	7	fvconst2 7216	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘0𝑝) ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘(deg‘0𝑝)) = 0)
9	6, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ0 × {0})‘(deg‘0𝑝)) = 0
10	3, 9	eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)) = 0
11		0ne1 12314	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
12	10, 11	eqnetri 3008	. . . 4 ⊢ ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)) ≠ 1
13		fveq2 6897	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (coeff‘𝑃) = (coeff‘0𝑝))
14		fveq2 6897	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (deg‘𝑃) = (deg‘0𝑝))
15	13, 14	fveq12d 6904	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)))
16	15	neeq1d 2997	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ≠ 1 ↔ ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)) ≠ 1))
17	12, 16	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ≠ 1)
18	17	necon2i 2972	. 2 ⊢ (((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = 1 → 𝑃 ≠ 0𝑝)
19	1, 18	syl 17	1 ⊢ (𝑃 ∈ ( Monic ‘𝑆) → 𝑃 ≠ 0𝑝)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  {csn 4629   × cxp 5676  ‘cfv 6548  0cc0 11139  1c1 11140  ℕ₀cn0 12503  0_𝑝c0p 25611  coeffccoe 26133  degcdgr 26134   Monic cmnc 42555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-0p 25612  df-ply 26135  df-coe 26137  df-dgr 26138  df-mnc 42557

This theorem is referenced by: (None)