Theorem mncn0 38650

Description: A monic polynomial is not zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mncn0	⊢ (𝑃 ∈ ( Monic ‘𝑆) → 𝑃 ≠ 0𝑝)

Proof of Theorem mncn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnccoe 38649	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ( Monic ‘𝑆) → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = 1)
2		coe0 24449	. . . . . . 7 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
3	2	fveq1i 6447	. . . . . 6 ⊢ ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)) = ((ℕ0 × {0})‘(deg‘0𝑝))
4		dgr0 24455	. . . . . . . 8 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
5		0nn0 11659	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	4, 5	eqeltri 2854	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘0𝑝) ∈ ℕ0
7		c0ex 10370	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
8	7	fvconst2 6741	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘0𝑝) ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘(deg‘0𝑝)) = 0)
9	6, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ0 × {0})‘(deg‘0𝑝)) = 0
10	3, 9	eqtri 2801	. . . . 5 ⊢ ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)) = 0
11		0ne1 11446	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
12	10, 11	eqnetri 3038	. . . 4 ⊢ ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)) ≠ 1
13		fveq2 6446	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (coeff‘𝑃) = (coeff‘0𝑝))
14		fveq2 6446	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (deg‘𝑃) = (deg‘0𝑝))
15	13, 14	fveq12d 6453	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)))
16	15	neeq1d 3027	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ≠ 1 ↔ ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)) ≠ 1))
17	12, 16	mpbiri 250	. . 3 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ≠ 1)
18	17	necon2i 3002	. 2 ⊢ (((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = 1 → 𝑃 ≠ 0𝑝)
19	1, 18	syl 17	1 ⊢ (𝑃 ∈ ( Monic ‘𝑆) → 𝑃 ≠ 0𝑝)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968  {csn 4397   × cxp 5353  ‘cfv 6135  0cc0 10272  1c1 10273  ℕ₀cn0 11642  0_𝑝c0p 23873  coeffccoe 24379  degcdgr 24380   Monic cmnc 38642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-0p 23874  df-ply 24381  df-coe 24383  df-dgr 24384  df-mnc 38644

This theorem is referenced by: (None)