Theorem dgr0 26302

Description: The degree of the zero polynomial is zero. Note: this differs from some other definitions of the degree of the zero polynomial, such as -1, -∞ or undefined. But it is convenient for us to define it this way, so that we have dgrcl 26273, dgreq0 26305 and coeid 26278 without having to special-case zero, although plydivalg 26340 is a little more complicated as a result. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgr0	⊢ (deg‘0𝑝) = 0

Proof of Theorem dgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0p 25712	. . 3 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
2	1	fveq2i 6866	. 2 ⊢ (deg‘0𝑝) = (deg‘(ℂ × {0}))
3		0cn 11168	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		0dgr 26285	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {0})) = 0)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (deg‘(ℂ × {0})) = 0
6	2, 5	eqtri 2784	1 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {csn 4581   × cxp 5643  ‘cfv 6517  ℂcc 11068  0cc0 11070  0_𝑝c0p 25711  degcdgr 26227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-0p 25712  df-ply 26228  df-coe 26230  df-dgr 26231

This theorem is referenced by:  dgreq0  26305  dgrlt  26306  dgradd2  26308  dgrmulc  26311  dgrcolem1  26313  dgrcolem2  26314  plyrem  26346  facth  26347  fta1lem  26348  vieta1lem1  26351  vieta1lem2  26352  vieta1  26353  aalioulem2  26374  ftalem2  27115  ftalem4  27117  ftalem5  27118  basellem4  27125  dgrsub2  43676  mncn0  43680  aaitgo  43703