Theorem dgr0 24963

Description: The degree of the zero polynomial is zero. Note: this differs from some other definitions of the degree of the zero polynomial, such as -1, -∞ or undefined. But it is convenient for us to define it this way, so that we have dgrcl 24934, dgreq0 24966 and coeid 24939 without having to special-case zero, although plydivalg 24999 is a little more complicated as a result. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgr0	⊢ (deg‘0𝑝) = 0

Proof of Theorem dgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0p 24375	. . 3 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
2	1	fveq2i 6665	. 2 ⊢ (deg‘0𝑝) = (deg‘(ℂ × {0}))
3		0cn 10676	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		0dgr 24946	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {0})) = 0)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (deg‘(ℂ × {0})) = 0
6	2, 5	eqtri 2781	1 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {csn 4525   × cxp 5525  ‘cfv 6339  ℂcc 10578  0cc0 10580  0_𝑝c0p 24374  degcdgr 24888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658  ax-addf 10659

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-sup 8944  df-inf 8945  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-rp 12436  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-fl 13216  df-seq 13424  df-exp 13485  df-hash 13746  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-clim 14898  df-rlim 14899  df-sum 15096  df-0p 24375  df-ply 24889  df-coe 24891  df-dgr 24892

This theorem is referenced by:  dgreq0  24966  dgrlt  24967  dgradd2  24969  dgrmulc  24972  dgrcolem1  24974  dgrcolem2  24975  plyrem  25005  facth  25006  fta1lem  25007  vieta1lem1  25010  vieta1lem2  25011  vieta1  25012  aalioulem2  25033  ftalem2  25763  ftalem4  25765  ftalem5  25766  basellem4  25773  dgrsub2  40480  mncn0  40484  aaitgo  40507