Theorem krullndrng 33436

Description: Krull's theorem for non-division-rings: Existence of a nonzero maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
krullndrng.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
krullndrng.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
krullndrng.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
krullndrng	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })

Distinct variable groups:   0 ,𝑚   𝑅,𝑚

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑚)

Proof of Theorem krullndrng

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		krullndrng.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		krull 33434	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑛 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
4		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
5		krullndrng.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
6		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		krullndrng.1	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (MaxIdeal‘𝑅) = (MaxIdeal‘𝑅)
9	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }}) → 𝑅 ∈ NzRing)
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }}) → (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})
11	6, 7, 8, 9, 10	drngmxidlr 33433	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }}) → 𝑅 ∈ DivRing)
12	5, 11	mtand 815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})
13	12	neqned 2933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝑅) ≠ {{ 0 }})
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → (MaxIdeal‘𝑅) ≠ {{ 0 }})
15		n0nsnel 32485	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ (MaxIdeal‘𝑅) ≠ {{ 0 }}) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })
16	4, 14, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })
17	3, 16	exlimddv 1936	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  {csn 4574  ‘cfv 6477  Basecbs 17112  0_gc0g 17335  NzRingcnzr 20420  DivRingcdr 20637  MaxIdealcmxidl 33414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-ac2 10346  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-rpss 7651  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-dju 9786  df-card 9824  df-ac 9999  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-n0 12374  df-xnn0 12447  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-hash 14230  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-0g 17337  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-subg 19028  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-oppr 20248  df-dvdsr 20268  df-unit 20269  df-invr 20299  df-nzr 20421  df-subrg 20478  df-drng 20639  df-lmod 20788  df-lss 20858  df-lsp 20898  df-sra 21100  df-rgmod 21101  df-lidl 21138  df-rsp 21139  df-mxidl 33415

This theorem is referenced by:  1arithufdlem1  33499