Theorem krullndrng 33293

Description: Krull's theorem for non-division-rings: Existence of a nonzero maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
krullndrng.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
krullndrng.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
krullndrng.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
krullndrng	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })

Distinct variable groups:   0 ,𝑚   𝑅,𝑚

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑚)

Proof of Theorem krullndrng

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		krullndrng.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		krull 33291	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑛 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
4		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
5		krullndrng.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
6		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		krullndrng.1	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (MaxIdeal‘𝑅) = (MaxIdeal‘𝑅)
9	1	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }}) → 𝑅 ∈ NzRing)
10		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }}) → (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})
11	6, 7, 8, 9, 10	drngmxidlr 33290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }}) → 𝑅 ∈ DivRing)
12	5, 11	mtand 814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})
13	12	neqned 2936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝑅) ≠ {{ 0 }})
14	13	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → (MaxIdeal‘𝑅) ≠ {{ 0 }})
15		n0nsnel 32389	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ (MaxIdeal‘𝑅) ≠ {{ 0 }}) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })
16	4, 14, 15	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })
17	3, 16	exlimddv 1930	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∃wrex 3059  {csn 4630  ‘cfv 6549  Basecbs 17183  0_gc0g 17424  NzRingcnzr 20463  DivRingcdr 20636  MaxIdealcmxidl 33271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-ac2 10488  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-rpss 7729  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9926  df-card 9964  df-ac 10141  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-hash 14326  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19086  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-nzr 20464  df-subrg 20520  df-drng 20638  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-lidl 21116  df-rsp 21117  df-mxidl 33272

This theorem is referenced by:  1arithufdlem1  33359