Theorem krullndrng 33541

Description: Krull's theorem for non-division-rings: Existence of a nonzero maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
krullndrng.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
krullndrng.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
krullndrng.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
krullndrng	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })

Distinct variable groups:   0 ,𝑚   𝑅,𝑚

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑚)

Proof of Theorem krullndrng

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		krullndrng.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		krull 33539	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑛 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
4		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
5		krullndrng.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
6		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		krullndrng.1	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (MaxIdeal‘𝑅) = (MaxIdeal‘𝑅)
9	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }}) → 𝑅 ∈ NzRing)
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }}) → (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})
11	6, 7, 8, 9, 10	drngmxidlr 33538	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }}) → 𝑅 ∈ DivRing)
12	5, 11	mtand 816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})
13	12	neqned 2939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝑅) ≠ {{ 0 }})
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → (MaxIdeal‘𝑅) ≠ {{ 0 }})
15		n0nsnel 32585	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ (MaxIdeal‘𝑅) ≠ {{ 0 }}) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })
16	4, 14, 15	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })
17	3, 16	exlimddv 1937	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061  {csn 4567  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  NzRingcnzr 20489  DivRingcdr 20706  MaxIdealcmxidl 33519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-rpss 7677  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-ac 10038  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-hash 14293  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-nzr 20490  df-subrg 20547  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206  df-rsp 21207  df-mxidl 33520

This theorem is referenced by:  1arithufdlem1  33604