Theorem krullndrng 33562

Description: Krull's theorem for non-division-rings: Existence of a nonzero maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
krullndrng.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
krullndrng.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
krullndrng.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
krullndrng	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })

Distinct variable groups:   0 ,𝑚   𝑅,𝑚

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑚)

Proof of Theorem krullndrng

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		krullndrng.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		krull 33560	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑛 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
4		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
5		krullndrng.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
6		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		krullndrng.1	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (MaxIdeal‘𝑅) = (MaxIdeal‘𝑅)
9	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }}) → 𝑅 ∈ NzRing)
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }}) → (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})
11	6, 7, 8, 9, 10	drngmxidlr 33559	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }}) → 𝑅 ∈ DivRing)
12	5, 11	mtand 815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})
13	12	neqned 2939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝑅) ≠ {{ 0 }})
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → (MaxIdeal‘𝑅) ≠ {{ 0 }})
15		n0nsnel 32590	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ (MaxIdeal‘𝑅) ≠ {{ 0 }}) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })
16	4, 14, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })
17	3, 16	exlimddv 1936	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  {csn 4580  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  0_gc0g 17359  NzRingcnzr 20445  DivRingcdr 20662  MaxIdealcmxidl 33540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-ac2 10373  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-rpss 7668  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9813  df-card 9851  df-ac 10026  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-hash 14254  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-nzr 20446  df-subrg 20503  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163  df-rsp 21164  df-mxidl 33541

This theorem is referenced by:  1arithufdlem1  33625