Theorem krullndrng 33474

Description: Krull's theorem for non-division-rings: Existence of a nonzero maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
krullndrng.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
krullndrng.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
krullndrng.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
krullndrng	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })

Distinct variable groups:   0 ,𝑚   𝑅,𝑚

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑚)

Proof of Theorem krullndrng

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		krullndrng.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		krull 33472	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑛 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
4		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
5		krullndrng.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
6		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		krullndrng.1	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (MaxIdeal‘𝑅) = (MaxIdeal‘𝑅)
9	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }}) → 𝑅 ∈ NzRing)
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }}) → (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})
11	6, 7, 8, 9, 10	drngmxidlr 33471	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }}) → 𝑅 ∈ DivRing)
12	5, 11	mtand 815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})
13	12	neqned 2953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝑅) ≠ {{ 0 }})
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → (MaxIdeal‘𝑅) ≠ {{ 0 }})
15		n0nsnel 32544	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ (MaxIdeal‘𝑅) ≠ {{ 0 }}) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })
16	4, 14, 15	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })
17	3, 16	exlimddv 1934	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  {csn 4648  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  0_gc0g 17499  NzRingcnzr 20538  DivRingcdr 20751  MaxIdealcmxidl 33452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-ac2 10532  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-rpss 7758  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-ac 10185  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-hash 14380  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-nzr 20539  df-subrg 20597  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-rsp 21242  df-mxidl 33453

This theorem is referenced by:  1arithufdlem1  33537