Theorem subrg1ascl 19951

Description: The scalar injection function in a subring algebra is the same up to a restriction to the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrg1ascl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
subrg1ascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
subrg1ascl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
subrg1ascl.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
subrg1ascl.r	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrg1ascl.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
subrg1ascl	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 ↾ 𝑇))

Proof of Theorem subrg1ascl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2799	. 2 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
2		subrg1ascl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		subrg1ascl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
4	2, 3	ply1ascl 19950	. 2 ⊢ 𝐴 = (algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
5		subrg1ascl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
6		eqid 2799	. 2 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝐻) = (1𝑜 mPoly 𝐻)
7		1on 7806	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ On
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1𝑜 ∈ On)
9		subrg1ascl.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
10		subrg1ascl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
11		subrg1ascl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑈)
12	10, 11	ply1ascl 19950	. 2 ⊢ 𝐶 = (algSc‘(1𝑜 mPoly 𝐻))
13	1, 4, 5, 6, 8, 9, 12	subrgascl 19820	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 ↾ 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ↾ cres 5314  Oncon0 5941  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  1_𝑜c1o 7792   ↾_s cress 16185  SubRingcsubrg 19094  algSccascl 19634   mPoly cmpl 19676  Poly₁cpl1 19869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-ofr 7132  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-tset 16286  df-ple 16287  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-ghm 17971  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-subrg 19096  df-ascl 19637  df-psr 19679  df-mpl 19681  df-opsr 19683  df-psr1 19872  df-ply1 19874

This theorem is referenced by: (None)