Theorem cht3 27224

Description: The Chebyshev function at 3. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cht3	⊢ (θ‘3) = (log‘6)

Proof of Theorem cht3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12274	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	fveq2i 6864	. 2 ⊢ (θ‘3) = (θ‘(2 + 1))
3		2z 12596	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		3prm 16718	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℙ
5	1, 4	eqeltrri 2858	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ ℙ
6		chtprm 27204	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (2 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(2 + 1)) = ((θ‘2) + (log‘(2 + 1))))
7	3, 5, 6	mp2an 702	. 2 ⊢ (θ‘(2 + 1)) = ((θ‘2) + (log‘(2 + 1)))
8		2rp 12991	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
9		3rp 12992	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ+
10		relogmul 26644	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (log‘(2 · 3)) = ((log‘2) + (log‘3)))
11	8, 9, 10	mp2an 702	. . 3 ⊢ (log‘(2 · 3)) = ((log‘2) + (log‘3))
12		2t3e6 12377	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = 6
13	12	fveq2i 6864	. . 3 ⊢ (log‘(2 · 3)) = (log‘6)
14		cht2 27223	. . . . 5 ⊢ (θ‘2) = (log‘2)
15	14	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ (log‘2) = (θ‘2)
16	1	fveq2i 6864	. . . 4 ⊢ (log‘3) = (log‘(2 + 1))
17	15, 16	oveq12i 7402	. . 3 ⊢ ((log‘2) + (log‘3)) = ((θ‘2) + (log‘(2 + 1)))
18	11, 13, 17	3eqtr3ri 2793	. 2 ⊢ ((θ‘2) + (log‘(2 + 1))) = (log‘6)
19	2, 7, 18	3eqtri 2788	1 ⊢ (θ‘3) = (log‘6)

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  1c1 11067   + caddc 11069   · cmul 11071  2c2 12265  3c3 12266  6c6 12269  ℤcz 12561  ℝ⁺crp 12986  ℙcprime 16695  logclog 26606  θccht 27142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144  ax-addf 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-fi 9350  df-sup 9381  df-inf 9382  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-q 12943  df-rp 12987  df-xneg 13107  df-xadd 13108  df-xmul 13109  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14008  df-exp 14068  df-fac 14280  df-bc 14309  df-hash 14337  df-shft 15073  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15488  df-clim 15505  df-rlim 15506  df-sum 15704  df-ef 16087  df-sin 16089  df-cos 16090  df-pi 16092  df-dvds 16277  df-prm 16696  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17522  df-qtop 17527  df-imas 17528  df-xps 17530  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-submnd 18808  df-mulg 19100  df-cntz 19347  df-cmn 19812  df-psmet 21403  df-xmet 21404  df-met 21405  df-bl 21406  df-mopn 21407  df-fbas 21408  df-fg 21409  df-cnfld 21412  df-top 22941  df-topon 22958  df-topsp 22980  df-bases 22993  df-cld 23066  df-ntr 23067  df-cls 23068  df-nei 23145  df-lp 23183  df-perf 23184  df-cn 23274  df-cnp 23275  df-haus 23362  df-tx 23609  df-hmeo 23802  df-fil 23893  df-fm 23985  df-flim 23986  df-flf 23987  df-xms 24367  df-ms 24368  df-tms 24369  df-cncf 24927  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26608  df-cht 27148

This theorem is referenced by:  chtub  27263  bposlem6  27340