MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsmslem1 24456
Description: Lemma for prdsms 24460. The distance function of a product structure is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsxms.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsxms.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
prdsxms.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
prdsxms.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
prdsxms.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsms.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢MetSp)
Assertion
Ref Expression
prdsmslem1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅))

Proof of Theorem prdsmslem1
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜))) = (𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))
2 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜))))
3 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))
4 eqid 2728 . . 3 ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))) = ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
5 eqid 2728 . . 3 (distβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))) = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜))))
6 prdsxms.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
7 prdsxms.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
8 prdsms.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢MetSp)
98ffvelcdmda 7099 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘˜) ∈ MetSp)
103, 4msmet 24383 . . . 4 ((π‘…β€˜π‘˜) ∈ MetSp β†’ ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
119, 10syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜)))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘˜))))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11prdsmet 24296 . 2 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜))))))
13 prdsxms.d . . 3 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
14 prdsxms.y . . . . 5 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
158feqmptd 6972 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))
1615oveq2d 7442 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜))))
1714, 16eqtrid 2780 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜))))
1817fveq2d 6906 . . 3 (πœ‘ β†’ (distβ€˜π‘Œ) = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))))
1913, 18eqtrid 2780 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))))
20 prdsxms.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
2117fveq2d 6906 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))))
2220, 21eqtrid 2780 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜)))))
2322fveq2d 6906 . 2 (πœ‘ β†’ (Metβ€˜π΅) = (Metβ€˜(Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘˜))))))
2412, 19, 233eltr4d 2844 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5235   Γ— cxp 5680   β†Ύ cres 5684  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  Basecbs 17187  distcds 17249  Xscprds 17434  Metcmet 21272  MetSpcms 24244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-icc 13371  df-fz 13525  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-topgen 17432  df-prds 17436  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-xms 24246  df-ms 24247
This theorem is referenced by:  prdsms  24460
  Copyright terms: Public domain W3C validator