Theorem prdsmslem1 24505

Description: Lemma for prdsms 24509. The distance function of a product structure is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsxms.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsxms.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
prdsxms.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
prdsxms.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsxms.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶MetSp)

Assertion

Ref	Expression
prdsmslem1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝐵))

Proof of Theorem prdsmslem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))) = (𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))) = (Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑘)) = (Base‘(𝑅‘𝑘))
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((dist‘(𝑅‘𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅‘𝑘)) × (Base‘(𝑅‘𝑘)))) = ((dist‘(𝑅‘𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅‘𝑘)) × (Base‘(𝑅‘𝑘))))
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (dist‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))) = (dist‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))
6		prdsxms.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
7		prdsxms.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
8		prdsms.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶MetSp)
9	8	ffvelcdmda 7031	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑘) ∈ MetSp)
10	3, 4	msmet 24435	. . . 4 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ MetSp → ((dist‘(𝑅‘𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅‘𝑘)) × (Base‘(𝑅‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝑅‘𝑘))))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((dist‘(𝑅‘𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅‘𝑘)) × (Base‘(𝑅‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝑅‘𝑘))))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11	prdsmet 24348	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))))
13		prdsxms.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
14		prdsxms.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
15	8	feqmptd 6903	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))
16	15	oveq2d 7377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))
17	14, 16	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))
18	17	fveq2d 6839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑌) = (dist‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))))
19	13, 18	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (dist‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))))
20		prdsxms.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
21	17	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))))
22	20, 21	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))))
23	22	fveq2d 6839	. 2 ⊢ (𝜑 → (Met‘𝐵) = (Met‘(Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))))
24	12, 19, 23	3eltr4d 2852	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5167   × cxp 5623   ↾ cres 5627  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Fincfn 8887  Basecbs 17173  distcds 17223  X_scprds 17402  Metcmet 21333  MetSpcms 24296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-icc 13299  df-fz 13456  df-struct 17111  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-hom 17238  df-cco 17239  df-topgen 17400  df-prds 17404  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-xms 24298  df-ms 24299

This theorem is referenced by:  prdsms  24509