MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsmslem1 24540
Description: Lemma for prdsms 24544. The distance function of a product structure is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsxms.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsxms.s (𝜑𝑆𝑊)
prdsxms.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
prdsxms.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsxms.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsms.r (𝜑𝑅:𝐼⟶MetSp)
Assertion
Ref Expression
prdsmslem1 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝐵))

Proof of Theorem prdsmslem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))) = (𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))
2 eqid 2737 . . 3 (Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))) = (Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))
3 eqid 2737 . . 3 (Base‘(𝑅𝑘)) = (Base‘(𝑅𝑘))
4 eqid 2737 . . 3 ((dist‘(𝑅𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅𝑘)) × (Base‘(𝑅𝑘)))) = ((dist‘(𝑅𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅𝑘)) × (Base‘(𝑅𝑘))))
5 eqid 2737 . . 3 (dist‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))) = (dist‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))
6 prdsxms.s . . 3 (𝜑𝑆𝑊)
7 prdsxms.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
8 prdsms.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶MetSp)
98ffvelcdmda 7104 . . 3 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑅𝑘) ∈ MetSp)
103, 4msmet 24467 . . . 4 ((𝑅𝑘) ∈ MetSp → ((dist‘(𝑅𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅𝑘)) × (Base‘(𝑅𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝑅𝑘))))
119, 10syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘𝐼) → ((dist‘(𝑅𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅𝑘)) × (Base‘(𝑅𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝑅𝑘))))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11prdsmet 24380 . 2 (𝜑 → (dist‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))))
13 prdsxms.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
14 prdsxms.y . . . . 5 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
158feqmptd 6977 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))
1615oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))
1714, 16eqtrid 2789 . . . 4 (𝜑𝑌 = (𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))
1817fveq2d 6910 . . 3 (𝜑 → (dist‘𝑌) = (dist‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))))
1913, 18eqtrid 2789 . 2 (𝜑𝐷 = (dist‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))))
20 prdsxms.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
2117fveq2d 6910 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))))
2220, 21eqtrid 2789 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))))
2322fveq2d 6910 . 2 (𝜑 → (Met‘𝐵) = (Met‘(Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))))
2412, 19, 233eltr4d 2856 1 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cmpt 5225   × cxp 5683  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  Basecbs 17247  distcds 17306  Xscprds 17490  Metcmet 21350  MetSpcms 24328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-topgen 17488  df-prds 17492  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331
This theorem is referenced by:  prdsms  24544
  Copyright terms: Public domain W3C validator