Theorem prdsmslem1 24540

Description: Lemma for prdsms 24544. The distance function of a product structure is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsxms.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsxms.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
prdsxms.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
prdsxms.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsxms.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶MetSp)

Assertion

Ref	Expression
prdsmslem1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝐵))

Proof of Theorem prdsmslem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))) = (𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))) = (Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑘)) = (Base‘(𝑅‘𝑘))
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((dist‘(𝑅‘𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅‘𝑘)) × (Base‘(𝑅‘𝑘)))) = ((dist‘(𝑅‘𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅‘𝑘)) × (Base‘(𝑅‘𝑘))))
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (dist‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))) = (dist‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))
6		prdsxms.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
7		prdsxms.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
8		prdsms.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶MetSp)
9	8	ffvelcdmda 7104	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑘) ∈ MetSp)
10	3, 4	msmet 24467	. . . 4 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ MetSp → ((dist‘(𝑅‘𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅‘𝑘)) × (Base‘(𝑅‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝑅‘𝑘))))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((dist‘(𝑅‘𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅‘𝑘)) × (Base‘(𝑅‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝑅‘𝑘))))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11	prdsmet 24380	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))))
13		prdsxms.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
14		prdsxms.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
15	8	feqmptd 6977	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))
16	15	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))
17	14, 16	eqtrid 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))
18	17	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑌) = (dist‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))))
19	13, 18	eqtrid 2789	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (dist‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))))
20		prdsxms.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
21	17	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))))
22	20, 21	eqtrid 2789	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘)))))
23	22	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝜑 → (Met‘𝐵) = (Met‘(Base‘(𝑆Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑘))))))
24	12, 19, 23	3eltr4d 2856	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683   ↾ cres 5687  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  Basecbs 17247  distcds 17306  X_scprds 17490  Metcmet 21350  MetSpcms 24328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-topgen 17488  df-prds 17492  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331

This theorem is referenced by:  prdsms  24544