MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsmslem1 23449
Description: Lemma for prdsms 23453. The distance function of a product structure is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsxms.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsxms.s (𝜑𝑆𝑊)
prdsxms.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
prdsxms.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsxms.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsms.r (𝜑𝑅:𝐼⟶MetSp)
Assertion
Ref Expression
prdsmslem1 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝐵))

Proof of Theorem prdsmslem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . 3 (𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))) = (𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))
2 eqid 2738 . . 3 (Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))) = (Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))
3 eqid 2738 . . 3 (Base‘(𝑅𝑘)) = (Base‘(𝑅𝑘))
4 eqid 2738 . . 3 ((dist‘(𝑅𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅𝑘)) × (Base‘(𝑅𝑘)))) = ((dist‘(𝑅𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅𝑘)) × (Base‘(𝑅𝑘))))
5 eqid 2738 . . 3 (dist‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))) = (dist‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))
6 prdsxms.s . . 3 (𝜑𝑆𝑊)
7 prdsxms.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
8 prdsms.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶MetSp)
98ffvelrnda 6923 . . 3 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑅𝑘) ∈ MetSp)
103, 4msmet 23379 . . . 4 ((𝑅𝑘) ∈ MetSp → ((dist‘(𝑅𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅𝑘)) × (Base‘(𝑅𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝑅𝑘))))
119, 10syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘𝐼) → ((dist‘(𝑅𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅𝑘)) × (Base‘(𝑅𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝑅𝑘))))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11prdsmet 23292 . 2 (𝜑 → (dist‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))))
13 prdsxms.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
14 prdsxms.y . . . . 5 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
158feqmptd 6799 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))
1615oveq2d 7248 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))
1714, 16syl5eq 2791 . . . 4 (𝜑𝑌 = (𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))
1817fveq2d 6740 . . 3 (𝜑 → (dist‘𝑌) = (dist‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))))
1913, 18syl5eq 2791 . 2 (𝜑𝐷 = (dist‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))))
20 prdsxms.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
2117fveq2d 6740 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))))
2220, 21syl5eq 2791 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘)))))
2322fveq2d 6740 . 2 (𝜑 → (Met‘𝐵) = (Met‘(Base‘(𝑆Xs(𝑘𝐼 ↦ (𝑅𝑘))))))
2412, 19, 233eltr4d 2854 1 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111  cmpt 5150   × cxp 5564  cres 5568  wf 6394  cfv 6398  (class class class)co 7232  Fincfn 8647  Basecbs 16785  distcds 16836  Xscprds 16975  Metcmet 20374  MetSpcms 23240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5194  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-1cn 10812  ax-icn 10813  ax-addcl 10814  ax-addrcl 10815  ax-mulcl 10816  ax-mulrcl 10817  ax-mulcom 10818  ax-addass 10819  ax-mulass 10820  ax-distr 10821  ax-i2m1 10822  ax-1ne0 10823  ax-1rid 10824  ax-rnegex 10825  ax-rrecex 10826  ax-cnre 10827  ax-pre-lttri 10828  ax-pre-lttrn 10829  ax-pre-ltadd 10830  ax-pre-mulgt0 10831  ax-pre-sup 10832
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-riota 7189  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-om 7664  df-1st 7780  df-2nd 7781  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-1o 8223  df-er 8412  df-map 8531  df-ixp 8600  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-fin 8651  df-sup 9083  df-inf 9084  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-sub 11089  df-neg 11090  df-div 11515  df-nn 11856  df-2 11918  df-3 11919  df-4 11920  df-5 11921  df-6 11922  df-7 11923  df-8 11924  df-9 11925  df-n0 12116  df-z 12202  df-dec 12319  df-uz 12464  df-q 12570  df-rp 12612  df-xneg 12729  df-xadd 12730  df-xmul 12731  df-icc 12967  df-fz 13121  df-struct 16725  df-slot 16760  df-ndx 16770  df-base 16786  df-plusg 16840  df-mulr 16841  df-sca 16843  df-vsca 16844  df-ip 16845  df-tset 16846  df-ple 16847  df-ds 16849  df-hom 16851  df-cco 16852  df-topgen 16973  df-prds 16977  df-psmet 20380  df-xmet 20381  df-met 20382  df-bl 20383  df-mopn 20384  df-top 21815  df-topon 21832  df-topsp 21854  df-bases 21867  df-xms 23242  df-ms 23243
This theorem is referenced by:  prdsms  23453
  Copyright terms: Public domain W3C validator