Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwm1geoserOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwm1geoserOLD 15220
 Description: Obsolete version of pwm1geoser 15219 as of 22-Aug-2023. The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2 +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pwm1geoserOLD.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pwm1geoserOLD.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
pwm1geoserOLD (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem pwm1geoserOLD
StepHypRef Expression
1 1m1e0 11700 . . . 4 (1 − 1) = 0
2 pwm1geoserOLD.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
32nn0zd 12076 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4 1exp 13457 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
65oveq1d 7151 . . . 4 (𝜑 → ((1↑𝑁) − 1) = (1 − 1))
7 fzfid 13339 . . . . . 6 (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
8 1cnd 10628 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
9 elfznn0 12998 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
109adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
118, 10expcld 13509 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (1↑𝑘) ∈ ℂ)
127, 11fsumcl 15085 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘) ∈ ℂ)
1312mul02d 10830 . . . 4 (𝜑 → (0 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘)) = 0)
141, 6, 133eqtr4a 2859 . . 3 (𝜑 → ((1↑𝑁) − 1) = (0 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘)))
15 oveq1 7143 . . . . 5 (𝐴 = 1 → (𝐴𝑁) = (1↑𝑁))
1615oveq1d 7151 . . . 4 (𝐴 = 1 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((1↑𝑁) − 1))
17 oveq1 7143 . . . . . 6 (𝐴 = 1 → (𝐴 − 1) = (1 − 1))
1817, 1eqtrdi 2849 . . . . 5 (𝐴 = 1 → (𝐴 − 1) = 0)
19 oveq1 7143 . . . . . 6 (𝐴 = 1 → (𝐴𝑘) = (1↑𝑘))
2019sumeq2sdv 15056 . . . . 5 (𝐴 = 1 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘))
2118, 20oveq12d 7154 . . . 4 (𝐴 = 1 → ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)) = (0 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘)))
2216, 21eqeq12d 2814 . . 3 (𝐴 = 1 → (((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)) ↔ ((1↑𝑁) − 1) = (0 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘))))
2314, 22syl5ibr 249 . 2 (𝐴 = 1 → (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
24 pwm1geoserOLD.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2524adantl 485 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℂ)
26 neqne 2995 . . . . . 6 𝐴 = 1 → 𝐴 ≠ 1)
2726adantr 484 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 𝐴 ≠ 1)
282adantl 485 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2925, 27, 28geoser 15217 . . . 4 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)))
30 eqcom 2805 . . . . 5 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))
31 1cnd 10628 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 1 ∈ ℂ)
3224, 2expcld 13509 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
3332adantl 485 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
34 nesym 3043 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 1)
3534biimpri 231 . . . . . . . . 9 𝐴 = 1 → 1 ≠ 𝐴)
3635adantr 484 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 1 ≠ 𝐴)
3731, 33, 31, 25, 36div2subd 11458 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = (((𝐴𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)))
3837eqeq1d 2800 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ↔ (((𝐴𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
39 peano2cnm 10944 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑁) ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) − 1) ∈ ℂ)
4032, 39syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) ∈ ℂ)
4140adantl 485 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((𝐴𝑁) − 1) ∈ ℂ)
42 fzfid 13339 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
4325adantr 484 . . . . . . . . 9 (((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
449adantl 485 . . . . . . . . 9 (((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4543, 44expcld 13509 . . . . . . . 8 (((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4642, 45fsumcl 15085 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ∈ ℂ)
47 peano2cnm 10944 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
4847adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
49 simpl 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
50 1cnd 10628 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → 1 ∈ ℂ)
5126adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → 𝐴 ≠ 1)
5249, 50, 51subne0d 10998 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → (𝐴 − 1) ≠ 0)
5348, 52jca 515 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0))
5453ex 416 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 = 1 → ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0)))
5524, 54syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 1 → ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0)))
5655impcom 411 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0))
57 divmul2 11294 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑁) − 1) ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0)) → ((((𝐴𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ↔ ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
5841, 46, 56, 57syl3anc 1368 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((((𝐴𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ↔ ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
5938, 58bitrd 282 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ↔ ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
6030, 59syl5bb 286 . . . 4 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
6129, 60mpbid 235 . . 3 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
6261ex 416 . 2 𝐴 = 1 → (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
6323, 62pm2.61i 185 1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  (class class class)co 7136  ℂcc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534   − cmin 10862   / cdiv 11289  ℕ0cn0 11888  ℤcz 11972  ...cfz 12888  ↑cexp 13428  Σcsu 15037 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8893  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator