Theorem sqrtrrnpoly 47825

Description: Real square root is not a polynomial with real coefficients, because its value is imaginary for negative arguments. (Contributed by Ender Ting, 22-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtrrnpoly	⊢ ¬ √ ∈ (Poly‘ℝ)

Proof of Theorem sqrtrrnpoly

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1rr 12253	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
2		fvres 6900	. . . . 5 ⊢ (-1 ∈ ℝ → ((√ ↾ ℝ)‘-1) = (√‘-1))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((√ ↾ ℝ)‘-1) = (√‘-1)
4		sqrtm1 15387	. . . . . 6 ⊢ i = (√‘-1)
5	4	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ (√‘-1) = i
6		inelr 12257	. . . . 5 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
7	5, 6	eqneltri 2879	. . . 4 ⊢ ¬ (√‘-1) ∈ ℝ
8	3, 7	eqneltri 2879	. . 3 ⊢ ¬ ((√ ↾ ℝ)‘-1) ∈ ℝ
9		ffvelcdm 7077	. . . 4 ⊢ (((√ ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) → ((√ ↾ ℝ)‘-1) ∈ ℝ)
10	1, 9	mpan2 704	. . 3 ⊢ ((√ ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ → ((√ ↾ ℝ)‘-1) ∈ ℝ)
11	8, 10	mto 200	. 2 ⊢ ¬ (√ ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ
12		plyreres 26545	. 2 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℝ) → (√ ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
13	11, 12	mto 200	1 ⊢ ¬ √ ∈ (Poly‘ℝ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↾ cres 5657  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  ℝcr 11148  1c1 11150  ici 11151  -cneg 11491  √csqrt 15345  Polycply 26441

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-inf2 9627  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9489  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-rp 13068  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-fl 13878  df-seq 14091  df-exp 14151  df-hash 14420  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-clim 15600  df-rlim 15601  df-sum 15799  df-0p 25930  df-ply 26445  df-coe 26447  df-dgr 26448

This theorem is used by: (None)