Theorem sqrtnpoly 47746

Description: Square root function is not polynomial with complex coefficients either. Otherwise, its composition with a square monomial - the identity - would have to be of even degree. (Contributed by Ender Ting, 22-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtnpoly	⊢ ¬ √ ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem sqrtnpoly

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n2dvds1 16460	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
2		dgrcl 26458	. . . . 5 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘√) ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12641	. . . 4 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘√) ∈ ℤ)
4		2z 12651	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
5		dvdsmul1 16369	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (deg‘√) ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · (deg‘√)))
6	4, 5	mpan 703	. . . 4 ⊢ ((deg‘√) ∈ ℤ → 2 ∥ (2 · (deg‘√)))
7	3, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → 2 ∥ (2 · (deg‘√)))
8		df-idp 26414	. . . . . . 7 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
9		idfn 6664	. . . . . . . . . 10 ⊢ I Fn V
10		ovex 7449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥↑2) ∈ V
11	10	rgenw 3082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥↑2) ∈ V
12		nfcv 2924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥ℂ
13	12	mptfnf 6671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥↑2) ∈ V ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ)
14	11, 13	mpbi 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ
15		sqrtf 15451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
16		fnfco 6744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ ∧ √:ℂ⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √) Fn ℂ)
17	14, 15, 16	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √) Fn ℂ
18	9, 17	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I Fn V ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √) Fn ℂ)
19		ssv 3958	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ⊆ V
20		fvreseq1 7035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( I Fn V ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √) Fn ℂ) ∧ ℂ ⊆ V) → (( I ↾ ℂ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √) ↔ ∀𝑦 ∈ ℂ ( I ‘𝑦) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √)‘𝑦)))
21	18, 19, 20	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ ℂ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √) ↔ ∀𝑦 ∈ ℂ ( I ‘𝑦) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √)‘𝑦))
22		sqrtcl 15449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (√‘𝑦) ∈ ℂ)
23		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (√‘𝑦) → (𝑥↑2) = ((√‘𝑦)↑2))
24		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))
25		ovex 7449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((√‘𝑦)↑2) ∈ V
26	23, 24, 25	fvmpt 6990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((√‘𝑦) ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘𝑦)) = ((√‘𝑦)↑2))
27	22, 26	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘𝑦)) = ((√‘𝑦)↑2))
28		sqrtth 15452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((√‘𝑦)↑2) = 𝑦)
29	27, 28	eqtr2d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘𝑦)))
30		fvi 6958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ( I ‘𝑦) = 𝑦)
31		fvco3 6982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘𝑦)))
32	15, 31	mpan 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘𝑦)))
33	29, 30, 32	3eqtr4d 2807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ( I ‘𝑦) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √)‘𝑦))
34	21, 33	mprgbir 3085	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ ℂ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √)
35	8, 34	eqtr2i 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √) = Xp
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √) = Xp)
37	36	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √)) = (deg‘Xp))
38		ax-1cn 11183	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
39		ax-1ne0 11194	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
40		2nn0 12546	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41		sqcl 14182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
42		mullid 11232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥↑2) ∈ ℂ → (1 · (𝑥↑2)) = (𝑥↑2))
43	42	eqcomd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥↑2) ∈ ℂ → (𝑥↑2) = (1 · (𝑥↑2)))
44	41, 43	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) = (1 · (𝑥↑2)))
45	44	mpteq2ia 5204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑2)))
46	45	dgr1term 26485	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = 2)
47	38, 39, 40, 46	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = 2
48	47	eqcomi 2771	. . . . 5 ⊢ 2 = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)))
49		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (deg‘√) = (deg‘√)
50		ssid 3956	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
51		plypow 26430	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ (Poly‘ℂ))
52	50, 38, 40, 51	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ (Poly‘ℂ)
53	52	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ (Poly‘ℂ))
54		id 23	. . . . 5 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → √ ∈ (Poly‘ℂ))
55	48, 49, 53, 54	dgrco 26500	. . . 4 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √)) = (2 · (deg‘√)))
56		dgrid 26489	. . . . 5 ⊢ (deg‘Xp) = 1
57	56	a1i 11	. . . 4 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘Xp) = 1)
58	37, 55, 57	3eqtr3d 2805	. . 3 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → (2 · (deg‘√)) = 1)
59	7, 58	breqtrd 5135	. 2 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → 2 ∥ 1)
60	1, 59	mto 200	1 ⊢ ¬ √ ∈ (Poly‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   I cid 5553   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11123  0cc0 11125  1c1 11126   · cmul 11130  2c2 12320  ℕ₀cn0 12529  ℤcz 12616  ↑cexp 14125  √csqrt 15320   ∥ cdvds 16344  Polycply 26409  X_pcidp 26410  degcdgr 26412

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-dvds 16345  df-0p 25897  df-ply 26413  df-idp 26414  df-coe 26415  df-dgr 26416

This theorem is used by: (None)