Theorem sqrtnpoly 48146

Description: Square root function is not polynomial with complex coefficients either. Otherwise, its composition with a square monomial - the identity - would have to be of even degree. (Contributed by Ender Ting, 22-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtnpoly	⊢ ¬ √ ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem sqrtnpoly

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n2dvds1 16564	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
2		dgrcl 26579	. . . . 5 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘√) ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12742	. . . 4 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘√) ∈ ℤ)
4		2z 12752	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
5		dvdsmul1 16473	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (deg‘√) ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · (deg‘√)))
6	4, 5	mpan 703	. . . 4 ⊢ ((deg‘√) ∈ ℤ → 2 ∥ (2 · (deg‘√)))
7	3, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → 2 ∥ (2 · (deg‘√)))
8		df-idp 26534	. . . . . . 7 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
9		idfn 6686	. . . . . . . . . 10 ⊢ I Fn V
10		ovex 7473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥↑2) ∈ V
11	10	rgenw 3084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥↑2) ∈ V
12		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥ℂ
13	12	mptfnf 6693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥↑2) ∈ V ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ)
14	11, 13	mpbi 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ
15		sqrtf 15557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
16		fnfco 6766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ ∧ √:ℂ⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √) Fn ℂ)
17	14, 15, 16	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √) Fn ℂ
18	9, 17	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I Fn V ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √) Fn ℂ)
19		ssv 3937	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ⊆ V
20		fvreseq1 7058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( I Fn V ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √) Fn ℂ) ∧ ℂ ⊆ V) → (( I ↾ ℂ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √) ↔ ∀𝑦 ∈ ℂ ( I ‘𝑦) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √)‘𝑦)))
21	18, 19, 20	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ ℂ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √) ↔ ∀𝑦 ∈ ℂ ( I ‘𝑦) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √)‘𝑦))
22		sqrtcl 15555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (√‘𝑦) ∈ ℂ)
23		oveq1 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (√‘𝑦) → (𝑥↑2) = ((√‘𝑦)↑2))
24		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))
25		ovex 7473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((√‘𝑦)↑2) ∈ V
26	23, 24, 25	fvmpt 7013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((√‘𝑦) ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘𝑦)) = ((√‘𝑦)↑2))
27	22, 26	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘𝑦)) = ((√‘𝑦)↑2))
28		sqrtth 15558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((√‘𝑦)↑2) = 𝑦)
29	27, 28	eqtr2d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘𝑦)))
30		fvi 6981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ( I ‘𝑦) = 𝑦)
31		fvco3 7005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘𝑦)))
32	15, 31	mpan 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘𝑦)))
33	29, 30, 32	3eqtr4d 2808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ( I ‘𝑦) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √)‘𝑦))
34	21, 33	mprgbir 3087	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ ℂ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √)
35	8, 34	eqtr2i 2787	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √) = Xp
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √) = Xp)
37	36	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √)) = (deg‘Xp))
38		ax-1cn 11282	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
39		ax-1ne0 11293	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
40		2nn0 12647	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41		sqcl 14285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
42		mullid 11331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥↑2) ∈ ℂ → (1 · (𝑥↑2)) = (𝑥↑2))
43	42	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥↑2) ∈ ℂ → (𝑥↑2) = (1 · (𝑥↑2)))
44	41, 43	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) = (1 · (𝑥↑2)))
45	44	mpteq2ia 5203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑2)))
46	45	dgr1term 26606	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = 2)
47	38, 39, 40, 46	mp3an 1491	. . . . . 6 ⊢ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = 2
48	47	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ 2 = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)))
49		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (deg‘√) = (deg‘√)
50		ssid 3935	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
51		plypow 26550	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ (Poly‘ℂ))
52	50, 38, 40, 51	mp3an 1491	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ (Poly‘ℂ)
53	52	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ (Poly‘ℂ))
54		id 23	. . . . 5 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → √ ∈ (Poly‘ℂ))
55	48, 49, 53, 54	dgrco 26621	. . . 4 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘ √)) = (2 · (deg‘√)))
56		dgrid 26610	. . . . 5 ⊢ (deg‘Xp) = 1
57	56	a1i 11	. . . 4 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘Xp) = 1)
58	37, 55, 57	3eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → (2 · (deg‘√)) = 1)
59	7, 58	breqtrd 5134	. 2 ⊢ (√ ∈ (Poly‘ℂ) → 2 ∥ 1)
60	1, 59	mto 200	1 ⊢ ¬ √ ∈ (Poly‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   I cid 5549   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659   Fn wfn 6550  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  0cc0 11224  1c1 11225   · cmul 11229  2c2 12421  ℕ₀cn0 12630  ℤcz 12717  ↑cexp 14228  √csqrt 15426   ∥ cdvds 16448  Polycply 26529  X_pcidp 26530  degcdgr 26532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-dvds 16449  df-0p 26018  df-ply 26533  df-idp 26534  df-coe 26535  df-dgr 26536

This theorem is used by: (None)