Theorem sinnpoly 46892

Description: Sine function is not a polynomial with complex coefficients. Indeed, it has infinitely many zeros but is not constant zero, contrary to fta1 26216. (Contributed by Ender Ting, 10-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sinnpoly	⊢ ¬ sin ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem sinnpoly

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnfi 13931	. 2 ⊢ ¬ ℕ ∈ Fin
2		4re 12270	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
3		resincl 16108	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℝ → (sin‘4) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘4) ∈ ℝ
5		sin4lt0 16163	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘4) < 0
6		df-0p 25571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
7	6	fveq1i 6859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0𝑝‘4) = ((ℂ × {0})‘4)
8		4cn 12271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
9		c0ex 11168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
10	9	fvconst2 7178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((ℂ × {0})‘4) = 0)
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ × {0})‘4) = 0
12	7, 11	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (0𝑝‘4) = 0
13	12	eqcomi 2738	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0𝑝‘4)
14	5, 13	breqtri 5132	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘4) < (0𝑝‘4)
15	4, 14	ltneii 11287	. . . . . 6 ⊢ (sin‘4) ≠ (0𝑝‘4)
16		fveq1 6857	. . . . . . 7 ⊢ (sin = 0𝑝 → (sin‘4) = (0𝑝‘4))
17	16	necon3i 2957	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘4) ≠ (0𝑝‘4) → sin ≠ 0𝑝)
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ sin ≠ 0𝑝
19		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (◡sin “ {0}) = (◡sin “ {0})
20	19	fta1 26216	. . . . 5 ⊢ ((sin ∈ (Poly‘ℂ) ∧ sin ≠ 0𝑝) → ((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡sin “ {0})) ≤ (deg‘sin)))
21	18, 20	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → ((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡sin “ {0})) ≤ (deg‘sin)))
22	21	simpld 494	. . 3 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → (◡sin “ {0}) ∈ Fin)
23		ovexd 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ V)
24	23	rgen 3046	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · π) ∈ V
25		nfcv 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧ℤ
26	25	mptfnf 6653	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · π) ∈ V ↔ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) Fn ℤ)
27	24, 26	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) Fn ℤ
28		sinkpi 26431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (sin‘(𝑧 · π)) = 0)
29	9	snid 4626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ {0}
30	28, 29	eqeltrdi 2836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0})
31		sinf 16092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
32		ffun 6691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → Fun sin)
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Fun sin
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → Fun sin)
35		zcn 12534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
36		picn 26367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
37		mulcl 11152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝑧 · π) ∈ ℂ)
38	35, 36, 37	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ ℂ)
39	31	fdmi 6699	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom sin = ℂ
40	39	eleq2i 2820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 · π) ∈ dom sin ↔ (𝑧 · π) ∈ ℂ)
41	38, 40	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ dom sin)
42		fvimacnv 7025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun sin ∧ (𝑧 · π) ∈ dom sin) → ((sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0} ↔ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})))
43	34, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0} ↔ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})))
44	30, 43	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0}))
45	44	rgen 3046	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})
46		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))
47	46	rnmptss 7095	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0}) → ran (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) ⊆ (◡sin “ {0}))
48	45, 47	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) ⊆ (◡sin “ {0})
49	27, 48	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) Fn ℤ ∧ ran (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) ⊆ (◡sin “ {0}))
50		df-f 6515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0}) ↔ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) Fn ℤ ∧ ran (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) ⊆ (◡sin “ {0})))
51	49, 50	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0})
52		moeq 3678	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃*𝑥 𝑥 = (𝑦 / π)
53		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑦 = (𝑥 · π))
54		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · π) → (𝑦 / π) = ((𝑥 · π) / π))
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → (𝑦 / π) = ((𝑥 · π) / π))
56		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 ∈ ℤ)
57		zcn 12534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
59		pine0 26369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ≠ 0
60		divcan4 11864	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
61	36, 59, 60	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
62	58, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
63	55, 62	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → (𝑦 / π) = 𝑥)
64	63	eqcomd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 = (𝑦 / π))
65	64	moimi 2538	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 = (𝑦 / π) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
66	52, 65	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))
67	66	ax-gen 1795	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))
68		vex 3451	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
69		vex 3451	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
70		eleq1w 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
72		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑧 · π)))
73		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 · π) = (𝑥 · π))
74	73	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑥 · π)))
75	72, 74	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑡 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑥 · π)))
76	71, 75	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑡 = (𝑧 · π)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))))
77		df-mpt 5189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) = {⟨𝑧, 𝑡⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑡 = (𝑧 · π))}
78	68, 69, 76, 77	braba 5497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
79	78	mobii 2541	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
80	79	albii 1819	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
81	67, 80	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦
82	51, 81	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦)
83		dff12 6755	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0}) ↔ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦))
84	82, 83	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})
85		f1fi 9263	. . . . 5 ⊢ (((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})) → ℤ ∈ Fin)
86		nnssz 12551	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
87		ssfi 9137	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ ∈ Fin ∧ ℕ ⊆ ℤ) → ℕ ∈ Fin)
88	86, 87	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ Fin → ℕ ∈ Fin)
89	85, 88	syl 17	. . . 4 ⊢ (((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})) → ℕ ∈ Fin)
90	84, 89	mpan2 691	. . 3 ⊢ ((◡sin “ {0}) ∈ Fin → ℕ ∈ Fin)
91	22, 90	syl 17	. 2 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → ℕ ∈ Fin)
92	1, 91	mto 197	1 ⊢ ¬ sin ∈ (Poly‘ℂ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃*wmo 2531   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  {csn 4589   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   “ cima 5641  Fun wfun 6505   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  –1-1→wf1 6508  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209   / cdiv 11835  ℕcn 12186  4c4 12243  ℤcz 12529  ♯chash 14295  sincsin 16029  πcpi 16032  0_𝑝c0p 25570  Polycply 26089  degcdgr 26092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-0p 25571  df-limc 25767  df-dv 25768  df-ply 26093  df-idp 26094  df-coe 26095  df-dgr 26096  df-quot 26199

This theorem is referenced by: (None)