Theorem sinnpoly 47336

Description: Sine function is not a polynomial with complex coefficients. Indeed, it has infinitely many zeros but is not constant zero, contrary to fta1 26287. (Contributed by Ender Ting, 10-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sinnpoly	⊢ ¬ sin ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem sinnpoly

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnfi 13917	. 2 ⊢ ¬ ℕ ∈ Fin
2		4re 12254	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
3		resincl 16096	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℝ → (sin‘4) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘4) ∈ ℝ
5		sin4lt0 16151	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘4) < 0
6		df-0p 25646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
7	6	fveq1i 6833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0𝑝‘4) = ((ℂ × {0})‘4)
8		4cn 12255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
9		c0ex 11127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
10	9	fvconst2 7150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((ℂ × {0})‘4) = 0)
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ × {0})‘4) = 0
12	7, 11	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (0𝑝‘4) = 0
13	12	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0𝑝‘4)
14	5, 13	breqtri 5111	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘4) < (0𝑝‘4)
15	4, 14	ltneii 11248	. . . . . 6 ⊢ (sin‘4) ≠ (0𝑝‘4)
16		fveq1 6831	. . . . . . 7 ⊢ (sin = 0𝑝 → (sin‘4) = (0𝑝‘4))
17	16	necon3i 2965	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘4) ≠ (0𝑝‘4) → sin ≠ 0𝑝)
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ sin ≠ 0𝑝
19		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (◡sin “ {0}) = (◡sin “ {0})
20	19	fta1 26287	. . . . 5 ⊢ ((sin ∈ (Poly‘ℂ) ∧ sin ≠ 0𝑝) → ((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡sin “ {0})) ≤ (deg‘sin)))
21	18, 20	mpan2 692	. . . 4 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → ((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡sin “ {0})) ≤ (deg‘sin)))
22	21	simpld 494	. . 3 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → (◡sin “ {0}) ∈ Fin)
23		ovexd 7393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ V)
24	23	rgen 3054	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · π) ∈ V
25		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧ℤ
26	25	mptfnf 6625	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · π) ∈ V ↔ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) Fn ℤ)
27	24, 26	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) Fn ℤ
28		sinkpi 26502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (sin‘(𝑧 · π)) = 0)
29	9	snid 4607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ {0}
30	28, 29	eqeltrdi 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0})
31		sinf 16080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
32		ffun 6663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → Fun sin)
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Fun sin
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → Fun sin)
35		zcn 12518	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
36		picn 26438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
37		mulcl 11111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝑧 · π) ∈ ℂ)
38	35, 36, 37	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ ℂ)
39	31	fdmi 6671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom sin = ℂ
40	39	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 · π) ∈ dom sin ↔ (𝑧 · π) ∈ ℂ)
41	38, 40	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ dom sin)
42		fvimacnv 6997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun sin ∧ (𝑧 · π) ∈ dom sin) → ((sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0} ↔ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})))
43	34, 41, 42	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0} ↔ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})))
44	30, 43	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0}))
45	44	rgen 3054	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})
46		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))
47	46	rnmptss 7067	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0}) → ran (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) ⊆ (◡sin “ {0}))
48	45, 47	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) ⊆ (◡sin “ {0})
49	27, 48	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) Fn ℤ ∧ ran (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) ⊆ (◡sin “ {0}))
50		df-f 6494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0}) ↔ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) Fn ℤ ∧ ran (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) ⊆ (◡sin “ {0})))
51	49, 50	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0})
52		moeq 3654	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃*𝑥 𝑥 = (𝑦 / π)
53		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑦 = (𝑥 · π))
54		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · π) → (𝑦 / π) = ((𝑥 · π) / π))
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → (𝑦 / π) = ((𝑥 · π) / π))
56		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 ∈ ℤ)
57		zcn 12518	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
59		pine0 26440	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ≠ 0
60		divcan4 11825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
61	36, 59, 60	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
62	58, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
63	55, 62	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → (𝑦 / π) = 𝑥)
64	63	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 = (𝑦 / π))
65	64	moimi 2546	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 = (𝑦 / π) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
66	52, 65	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))
67	66	ax-gen 1797	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))
68		vex 3434	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
69		vex 3434	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
70		eleq1w 2820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
72		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑧 · π)))
73		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 · π) = (𝑥 · π))
74	73	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑥 · π)))
75	72, 74	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑡 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑥 · π)))
76	71, 75	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑡 = (𝑧 · π)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))))
77		df-mpt 5168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) = {⟨𝑧, 𝑡⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑡 = (𝑧 · π))}
78	68, 69, 76, 77	braba 5483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
79	78	mobii 2549	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
80	79	albii 1821	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
81	67, 80	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦
82	51, 81	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦)
83		dff12 6727	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0}) ↔ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦))
84	82, 83	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})
85		f1fi 9215	. . . . 5 ⊢ (((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})) → ℤ ∈ Fin)
86		nnssz 12535	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
87		ssfi 9098	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ ∈ Fin ∧ ℕ ⊆ ℤ) → ℕ ∈ Fin)
88	86, 87	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ Fin → ℕ ∈ Fin)
89	85, 88	syl 17	. . . 4 ⊢ (((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})) → ℕ ∈ Fin)
90	84, 89	mpan2 692	. . 3 ⊢ ((◡sin “ {0}) ∈ Fin → ℕ ∈ Fin)
91	22, 90	syl 17	. 2 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → ℕ ∈ Fin)
92	1, 91	mto 197	1 ⊢ ¬ sin ∈ (Poly‘ℂ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2538   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5620  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622  ran crn 5623   “ cima 5625  Fun wfun 6484   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  –1-1→wf1 6487  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027   · cmul 11032   < clt 11168   ≤ cle 11169   / cdiv 11796  ℕcn 12163  4c4 12227  ℤcz 12513  ♯chash 14281  sincsin 16017  πcpi 16020  0_𝑝c0p 25645  Polycply 26161  degcdgr 26164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ioo 13291  df-ioc 13292  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-seq 13953  df-exp 14013  df-fac 14225  df-bc 14254  df-hash 14282  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-ef 16021  df-sin 16023  df-cos 16024  df-pi 16026  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-mulg 19033  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-psmet 21334  df-xmet 21335  df-met 21336  df-bl 21337  df-mopn 21338  df-fbas 21339  df-fg 21340  df-cnfld 21343  df-top 22868  df-topon 22885  df-topsp 22907  df-bases 22920  df-cld 22993  df-ntr 22994  df-cls 22995  df-nei 23072  df-lp 23110  df-perf 23111  df-cn 23201  df-cnp 23202  df-haus 23289  df-tx 23536  df-hmeo 23729  df-fil 23820  df-fm 23912  df-flim 23913  df-flf 23914  df-xms 24294  df-ms 24295  df-tms 24296  df-cncf 24854  df-0p 25646  df-limc 25842  df-dv 25843  df-ply 26165  df-idp 26166  df-coe 26167  df-dgr 26168  df-quot 26270

This theorem is referenced by: (None)