Theorem sinnpoly 47240

Description: Sine function is not a polynomial with complex coefficients. Indeed, it has infinitely many zeros but is not constant zero, contrary to fta1 26284. (Contributed by Ender Ting, 10-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sinnpoly	⊢ ¬ sin ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem sinnpoly

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnfi 13901	. 2 ⊢ ¬ ℕ ∈ Fin
2		4re 12241	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
3		resincl 16077	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℝ → (sin‘4) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘4) ∈ ℝ
5		sin4lt0 16132	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘4) < 0
6		df-0p 25639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
7	6	fveq1i 6843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0𝑝‘4) = ((ℂ × {0})‘4)
8		4cn 12242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
9		c0ex 11138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
10	9	fvconst2 7160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((ℂ × {0})‘4) = 0)
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ × {0})‘4) = 0
12	7, 11	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (0𝑝‘4) = 0
13	12	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0𝑝‘4)
14	5, 13	breqtri 5125	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘4) < (0𝑝‘4)
15	4, 14	ltneii 11258	. . . . . 6 ⊢ (sin‘4) ≠ (0𝑝‘4)
16		fveq1 6841	. . . . . . 7 ⊢ (sin = 0𝑝 → (sin‘4) = (0𝑝‘4))
17	16	necon3i 2965	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘4) ≠ (0𝑝‘4) → sin ≠ 0𝑝)
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ sin ≠ 0𝑝
19		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (◡sin “ {0}) = (◡sin “ {0})
20	19	fta1 26284	. . . . 5 ⊢ ((sin ∈ (Poly‘ℂ) ∧ sin ≠ 0𝑝) → ((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡sin “ {0})) ≤ (deg‘sin)))
21	18, 20	mpan2 692	. . . 4 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → ((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡sin “ {0})) ≤ (deg‘sin)))
22	21	simpld 494	. . 3 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → (◡sin “ {0}) ∈ Fin)
23		ovexd 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ V)
24	23	rgen 3054	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · π) ∈ V
25		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧ℤ
26	25	mptfnf 6635	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · π) ∈ V ↔ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) Fn ℤ)
27	24, 26	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) Fn ℤ
28		sinkpi 26499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (sin‘(𝑧 · π)) = 0)
29	9	snid 4621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ {0}
30	28, 29	eqeltrdi 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0})
31		sinf 16061	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
32		ffun 6673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → Fun sin)
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Fun sin
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → Fun sin)
35		zcn 12505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
36		picn 26435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
37		mulcl 11122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝑧 · π) ∈ ℂ)
38	35, 36, 37	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ ℂ)
39	31	fdmi 6681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom sin = ℂ
40	39	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 · π) ∈ dom sin ↔ (𝑧 · π) ∈ ℂ)
41	38, 40	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ dom sin)
42		fvimacnv 7007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun sin ∧ (𝑧 · π) ∈ dom sin) → ((sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0} ↔ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})))
43	34, 41, 42	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0} ↔ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})))
44	30, 43	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0}))
45	44	rgen 3054	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})
46		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))
47	46	rnmptss 7077	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0}) → ran (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) ⊆ (◡sin “ {0}))
48	45, 47	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) ⊆ (◡sin “ {0})
49	27, 48	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) Fn ℤ ∧ ran (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) ⊆ (◡sin “ {0}))
50		df-f 6504	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0}) ↔ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) Fn ℤ ∧ ran (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) ⊆ (◡sin “ {0})))
51	49, 50	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0})
52		moeq 3667	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃*𝑥 𝑥 = (𝑦 / π)
53		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑦 = (𝑥 · π))
54		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · π) → (𝑦 / π) = ((𝑥 · π) / π))
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → (𝑦 / π) = ((𝑥 · π) / π))
56		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 ∈ ℤ)
57		zcn 12505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
59		pine0 26437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ≠ 0
60		divcan4 11835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
61	36, 59, 60	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
62	58, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
63	55, 62	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → (𝑦 / π) = 𝑥)
64	63	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 = (𝑦 / π))
65	64	moimi 2546	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 = (𝑦 / π) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
66	52, 65	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))
67	66	ax-gen 1797	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))
68		vex 3446	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
69		vex 3446	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
70		eleq1w 2820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
72		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑧 · π)))
73		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 · π) = (𝑥 · π))
74	73	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑥 · π)))
75	72, 74	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑡 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑥 · π)))
76	71, 75	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑡 = (𝑧 · π)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))))
77		df-mpt 5182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) = {⟨𝑧, 𝑡⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑡 = (𝑧 · π))}
78	68, 69, 76, 77	braba 5493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
79	78	mobii 2549	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
80	79	albii 1821	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
81	67, 80	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦
82	51, 81	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦)
83		dff12 6737	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0}) ↔ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦))
84	82, 83	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})
85		f1fi 9226	. . . . 5 ⊢ (((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})) → ℤ ∈ Fin)
86		nnssz 12522	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
87		ssfi 9109	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ ∈ Fin ∧ ℕ ⊆ ℤ) → ℕ ∈ Fin)
88	86, 87	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ Fin → ℕ ∈ Fin)
89	85, 88	syl 17	. . . 4 ⊢ (((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})) → ℕ ∈ Fin)
90	84, 89	mpan2 692	. . 3 ⊢ ((◡sin “ {0}) ∈ Fin → ℕ ∈ Fin)
91	22, 90	syl 17	. 2 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → ℕ ∈ Fin)
92	1, 91	mto 197	1 ⊢ ¬ sin ∈ (Poly‘ℂ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2538   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  ^◡ccnv 5631  dom cdm 5632  ran crn 5633   “ cima 5635  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  –1-1→wf1 6497  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179   / cdiv 11806  ℕcn 12157  4c4 12214  ℤcz 12500  ♯chash 14265  sincsin 15998  πcpi 16001  0_𝑝c0p 25638  Polycply 26157  degcdgr 26160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-0p 25639  df-limc 25835  df-dv 25836  df-ply 26161  df-idp 26162  df-coe 26163  df-dgr 26164  df-quot 26267

This theorem is referenced by: (None)