Theorem sinnpoly 47761

Description: Sine function is not a polynomial with complex coefficients. Indeed, it has infinitely many zeros but is not constant zero, contrary to fta1 26542. (Contributed by Ender Ting, 10-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sinnpoly	⊢ ¬ sin ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem sinnpoly

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnfi 14032	. 2 ⊢ ¬ ℕ ∈ Fin
2		4re 12352	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
3		resincl 16232	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℝ → (sin‘4) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘4) ∈ ℝ
5		sin4lt0 16287	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘4) < 0
6		df-0p 25902	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
7	6	fveq1i 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ (0𝑝‘4) = ((ℂ × {0})‘4)
8		4cn 12353	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
9		c0ex 11227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
10	9	fvconst2 7206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((ℂ × {0})‘4) = 0)
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ × {0})‘4) = 0
12	7, 11	eqtri 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (0𝑝‘4) = 0
13	5, 12	breqtrri 5136	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘4) < (0𝑝‘4)
14	4, 13	ltneii 11350	. . . . . 6 ⊢ (sin‘4) ≠ (0𝑝‘4)
15		fveq1 6881	. . . . . . 7 ⊢ (sin = 0𝑝 → (sin‘4) = (0𝑝‘4))
16	15	necon3i 2989	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘4) ≠ (0𝑝‘4) → sin ≠ 0𝑝)
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ sin ≠ 0𝑝
18		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (◡sin “ {0}) = (◡sin “ {0})
19	18	fta1 26542	. . . . 5 ⊢ ((sin ∈ (Poly‘ℂ) ∧ sin ≠ 0𝑝) → ((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡sin “ {0})) ≤ (deg‘sin)))
20	17, 19	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → ((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡sin “ {0})) ≤ (deg‘sin)))
21	20	simpld 500	. . 3 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → (◡sin “ {0}) ∈ Fin)
22		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))
23		sinkpi 26760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (sin‘(𝑧 · π)) = 0)
24	9	snid 4626	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0}
25	23, 24	eqeltrdi 2870	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0})
26		sinf 16216	. . . . . . . 8 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
27		ffun 6709	. . . . . . . 8 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → Fun sin)
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Fun sin
29		zcn 12623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
30		picn 26694	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℂ
31		mulcl 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝑧 · π) ∈ ℂ)
32	29, 30, 31	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ ℂ)
33	26	fdmi 6718	. . . . . . . 8 ⊢ dom sin = ℂ
34	32, 33	eleqtrrdi 2873	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ dom sin)
35		fvimacnv 7049	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun sin ∧ (𝑧 · π) ∈ dom sin) → ((sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0} ↔ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})))
36	28, 34, 35	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0} ↔ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})))
37	25, 36	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0}))
38	22, 37	fmpti 7108	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0})
39		vex 3457	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
40		vex 3457	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
41		eleq1w 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
42	41	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
43		eqeq1 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑧 · π)))
44		oveq1 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 · π) = (𝑥 · π))
45	44	eqeq2d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑥 · π)))
46	43, 45	sylan9bbr 520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑡 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑥 · π)))
47	42, 46	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑡 = (𝑧 · π)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))))
48		df-mpt 5191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) = {⟨𝑧, 𝑡⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑡 = (𝑧 · π))}
49	39, 40, 47, 48	braba 5519	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
50	49	mobii 2575	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
51	50	albii 1852	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
52		moeq 3668	. . . . . 6 ⊢ ∃*𝑥 𝑥 = (𝑦 / π)
53		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑦 = (𝑥 · π))
54	53	oveq1d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → (𝑦 / π) = ((𝑥 · π) / π))
55		zcn 12623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
56	55	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
57		pine0 26698	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ≠ 0
58		divcan4 11926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
59	30, 57, 58	mp3an23 1482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
60	56, 59	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
61	54, 60	eqtr2d 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 = (𝑦 / π))
62	61	moimi 2572	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 = (𝑦 / π) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
63	52, 62	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))
64	51, 63	mpgbir 1832	. . . 4 ⊢ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦
65		dff12 6774	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0}) ↔ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦))
66	38, 64, 65	mpbir2an 724	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})
67		f1fi 9287	. . . 4 ⊢ (((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})) → ℤ ∈ Fin)
68		nnssz 12640	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
69		ssfi 9170	. . . 4 ⊢ ((ℤ ∈ Fin ∧ ℕ ⊆ ℤ) → ℕ ∈ Fin)
70	67, 68, 69	sylancl 598	. . 3 ⊢ (((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})) → ℕ ∈ Fin)
71	21, 66, 70	sylancl 598	. 2 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → ℕ ∈ Fin)
72	1, 71	mto 200	1 ⊢ ¬ sin ∈ (Poly‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃*wmo 2564   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3902  {csn 4587   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659   “ cima 5662  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Fincfn 8955  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127   · cmul 11132   < clt 11270   ≤ cle 11271   / cdiv 11898  ℕcn 12260  4c4 12324  ℤcz 12618  ♯chash 14396  sincsin 16153  πcpi 16156  0_𝑝c0p 25901  Polycply 26414  degcdgr 26417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ioc 13405  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-shft 15142  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-ef 16157  df-sin 16159  df-cos 16160  df-pi 16162  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-submnd 18896  df-mulg 19195  df-cntz 19448  df-cmn 19913  df-psmet 21581  df-xmet 21582  df-met 21583  df-bl 21584  df-mopn 21585  df-fbas 21586  df-fg 21587  df-cnfld 21590  df-top 23123  df-topon 23140  df-topsp 23162  df-bases 23175  df-cld 23248  df-ntr 23249  df-cls 23250  df-nei 23327  df-lp 23365  df-perf 23366  df-cn 23456  df-cnp 23457  df-haus 23544  df-tx 23792  df-hmeo 23985  df-fil 24076  df-fm 24168  df-flim 24169  df-flf 24170  df-xms 24550  df-ms 24551  df-tms 24552  df-cncf 25110  df-0p 25902  df-limc 26098  df-dv 26099  df-ply 26418  df-idp 26419  df-coe 26420  df-dgr 26421  df-quot 26525

This theorem is used by: (None)