Theorem sinnpoly 47863

Description: Sine function is not a polynomial with complex coefficients. Indeed, it has infinitely many zeros but is not constant zero, contrary to fta1 26593. (Contributed by Ender Ting, 10-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sinnpoly	⊢ ¬ sin ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem sinnpoly

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnfi 14078	. 2 ⊢ ¬ ℕ ∈ Fin
2		4re 12397	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
3		resincl 16276	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℝ → (sin‘4) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘4) ∈ ℝ
5		sin4lt0 16331	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘4) < 0
6		df-0p 25953	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
7	6	fveq1i 6874	. . . . . . . . 9 ⊢ (0𝑝‘4) = ((ℂ × {0})‘4)
8		4cn 12398	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
9		c0ex 11272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
10	9	fvconst2 7198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((ℂ × {0})‘4) = 0)
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ × {0})‘4) = 0
12	7, 11	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (0𝑝‘4) = 0
13	5, 12	breqtrri 5131	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘4) < (0𝑝‘4)
14	4, 13	ltneii 11395	. . . . . 6 ⊢ (sin‘4) ≠ (0𝑝‘4)
15		fveq1 6872	. . . . . . 7 ⊢ (sin = 0𝑝 → (sin‘4) = (0𝑝‘4))
16	15	necon3i 2987	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘4) ≠ (0𝑝‘4) → sin ≠ 0𝑝)
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ sin ≠ 0𝑝
18		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (◡sin “ {0}) = (◡sin “ {0})
19	18	fta1 26593	. . . . 5 ⊢ ((sin ∈ (Poly‘ℂ) ∧ sin ≠ 0𝑝) → ((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡sin “ {0})) ≤ (deg‘sin)))
20	17, 19	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → ((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡sin “ {0})) ≤ (deg‘sin)))
21	20	simpld 500	. . 3 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → (◡sin “ {0}) ∈ Fin)
22		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))
23		sinkpi 26814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (sin‘(𝑧 · π)) = 0)
24	9	snid 4622	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0}
25	23, 24	eqeltrdi 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0})
26		sinf 16260	. . . . . . . 8 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
27		ffun 6700	. . . . . . . 8 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → Fun sin)
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Fun sin
29		zcn 12668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
30		picn 26749	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℂ
31		mulcl 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝑧 · π) ∈ ℂ)
32	29, 30, 31	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ ℂ)
33	26	fdmi 6709	. . . . . . . 8 ⊢ dom sin = ℂ
34	32, 33	eleqtrrdi 2871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ dom sin)
35		fvimacnv 7040	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun sin ∧ (𝑧 · π) ∈ dom sin) → ((sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0} ↔ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})))
36	28, 34, 35	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0} ↔ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})))
37	25, 36	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0}))
38	22, 37	fmpti 7100	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0})
39		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
40		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
41		eleq1w 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
42	41	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
43		eqeq1 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑧 · π)))
44		oveq1 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 · π) = (𝑥 · π))
45	44	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑥 · π)))
46	43, 45	sylan9bbr 520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑡 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑥 · π)))
47	42, 46	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑡 = (𝑧 · π)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))))
48		df-mpt 5186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) = {⟨𝑧, 𝑡⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑡 = (𝑧 · π))}
49	39, 40, 47, 48	braba 5507	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
50	49	mobii 2573	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
51	50	albii 1852	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
52		moeq 3664	. . . . . 6 ⊢ ∃*𝑥 𝑥 = (𝑦 / π)
53		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑦 = (𝑥 · π))
54	53	oveq1d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → (𝑦 / π) = ((𝑥 · π) / π))
55		zcn 12668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
56	55	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
57		pine0 26753	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ≠ 0
58		divcan4 11971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
59	30, 57, 58	mp3an23 1482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
60	56, 59	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
61	54, 60	eqtr2d 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 = (𝑦 / π))
62	61	moimi 2570	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 = (𝑦 / π) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
63	52, 62	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))
64	51, 63	mpgbir 1832	. . . 4 ⊢ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦
65		dff12 6765	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0}) ↔ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦))
66	38, 64, 65	mpbir2an 724	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})
67		f1fi 9284	. . . 4 ⊢ (((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})) → ℤ ∈ Fin)
68		nnssz 12685	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
69		ssfi 9166	. . . 4 ⊢ ((ℤ ∈ Fin ∧ ℕ ⊆ ℤ) → ℕ ∈ Fin)
70	67, 68, 69	sylancl 598	. . 3 ⊢ (((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})) → ℕ ∈ Fin)
71	21, 66, 70	sylancl 598	. 2 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → ℕ ∈ Fin)
72	1, 71	mto 200	1 ⊢ ¬ sin ∈ (Poly‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃*wmo 2562   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3898  {csn 4583   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5645  ^◡ccnv 5646  dom cdm 5647   “ cima 5650  Fun wfun 6521  ⟶wf 6523  –1-1→wf1 6524  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Fincfn 8951  ℂcc 11170  ℝcr 11171  0cc0 11172   · cmul 11177   < clt 11315   ≤ cle 11316   / cdiv 11943  ℕcn 12305  4c4 12369  ℤcz 12663  ♯chash 14442  sincsin 16197  πcpi 16200  0_𝑝c0p 25952  Polycply 26464  degcdgr 26467

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250  ax-addf 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9954  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-xnn0 12650  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-q 13046  df-rp 13091  df-xneg 13211  df-xadd 13212  df-xmul 13213  df-ioo 13450  df-ioc 13451  df-ico 13452  df-icc 13453  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-fl 13901  df-seq 14114  df-exp 14174  df-fac 14386  df-bc 14415  df-hash 14443  df-shft 15188  df-cj 15234  df-re 15235  df-im 15236  df-sqrt 15370  df-abs 15371  df-limsup 15606  df-clim 15623  df-rlim 15624  df-sum 15822  df-ef 16201  df-sin 16203  df-cos 16204  df-pi 16206  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-starv 17405  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-tset 17409  df-ple 17410  df-ds 17412  df-unif 17413  df-hom 17414  df-cco 17415  df-rest 17555  df-topn 17556  df-0g 17574  df-gsum 17575  df-topgen 17576  df-pt 17577  df-prds 17580  df-xrs 17636  df-qtop 17641  df-imas 17642  df-xps 17644  df-mre 17718  df-mrc 17719  df-acs 17721  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-submnd 18941  df-mulg 19240  df-cntz 19493  df-cmn 19958  df-psmet 21632  df-xmet 21633  df-met 21634  df-bl 21635  df-mopn 21636  df-fbas 21637  df-fg 21638  df-cnfld 21641  df-top 23174  df-topon 23191  df-topsp 23213  df-bases 23226  df-cld 23299  df-ntr 23300  df-cls 23301  df-nei 23378  df-lp 23416  df-perf 23417  df-cn 23507  df-cnp 23508  df-haus 23595  df-tx 23843  df-hmeo 24036  df-fil 24127  df-fm 24219  df-flim 24220  df-flf 24221  df-xms 24601  df-ms 24602  df-tms 24603  df-cncf 25161  df-0p 25953  df-limc 26148  df-dv 26149  df-ply 26468  df-idp 26469  df-coe 26470  df-dgr 26471  df-quot 26576

This theorem is used by: (None)