Theorem sinnpoly 48146

Description: Sine function is not a polynomial with complex coefficients. Indeed, it has infinitely many zeros but is not constant zero, contrary to fta1 26659. (Contributed by Ender Ting, 10-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sinnpoly	⊢ ¬ sin ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem sinnpoly

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnfi 14136	. 2 ⊢ ¬ ℕ ∈ Fin
2		4re 12454	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
3		resincl 16337	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℝ → (sin‘4) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘4) ∈ ℝ
5		sin4lt0 16392	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘4) < 0
6		df-0p 26021	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
7	6	fveq1i 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ (0𝑝‘4) = ((ℂ × {0})‘4)
8		4cn 12455	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
9		c0ex 11327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
10	9	fvconst2 7233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((ℂ × {0})‘4) = 0)
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ × {0})‘4) = 0
12	7, 11	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (0𝑝‘4) = 0
13	5, 12	breqtrri 5135	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘4) < (0𝑝‘4)
14	4, 13	ltneii 11450	. . . . . 6 ⊢ (sin‘4) ≠ (0𝑝‘4)
15		fveq1 6907	. . . . . . 7 ⊢ (sin = 0𝑝 → (sin‘4) = (0𝑝‘4))
16	15	necon3i 2991	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘4) ≠ (0𝑝‘4) → sin ≠ 0𝑝)
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ sin ≠ 0𝑝
18		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (◡sin “ {0}) = (◡sin “ {0})
19	18	fta1 26659	. . . . 5 ⊢ ((sin ∈ (Poly‘ℂ) ∧ sin ≠ 0𝑝) → ((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡sin “ {0})) ≤ (deg‘sin)))
20	17, 19	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → ((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡sin “ {0})) ≤ (deg‘sin)))
21	20	simpld 500	. . 3 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → (◡sin “ {0}) ∈ Fin)
22		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))
23		sinkpi 26880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (sin‘(𝑧 · π)) = 0)
24	9	snid 4623	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0}
25	23, 24	eqeltrdi 2872	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0})
26		sinf 16321	. . . . . . . 8 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
27		ffun 6734	. . . . . . . 8 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → Fun sin)
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Fun sin
29		zcn 12725	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
30		picn 26815	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℂ
31		mulcl 11311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝑧 · π) ∈ ℂ)
32	29, 30, 31	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ ℂ)
33	26	fdmi 6743	. . . . . . . 8 ⊢ dom sin = ℂ
34	32, 33	eleqtrrdi 2875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ dom sin)
35		fvimacnv 7075	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun sin ∧ (𝑧 · π) ∈ dom sin) → ((sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0} ↔ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})))
36	28, 34, 35	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0} ↔ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})))
37	25, 36	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0}))
38	22, 37	fmpti 7136	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0})
39		vex 3458	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
40		vex 3458	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
41		eleq1w 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
42	41	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
43		eqeq1 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑧 · π)))
44		oveq1 7450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 · π) = (𝑥 · π))
45	44	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑥 · π)))
46	43, 45	sylan9bbr 520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑡 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑥 · π)))
47	42, 46	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑡 = (𝑧 · π)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))))
48		df-mpt 5190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) = {⟨𝑧, 𝑡⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑡 = (𝑧 · π))}
49	39, 40, 47, 48	braba 5515	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
50	49	mobii 2576	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
51	50	albii 1852	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
52		moeq 3668	. . . . . 6 ⊢ ∃*𝑥 𝑥 = (𝑦 / π)
53		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑦 = (𝑥 · π))
54	53	oveq1d 7458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → (𝑦 / π) = ((𝑥 · π) / π))
55		zcn 12725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
56	55	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
57		pine0 26819	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ≠ 0
58		divcan4 12028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
59	30, 57, 58	mp3an23 1483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
60	56, 59	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
61	54, 60	eqtr2d 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 = (𝑦 / π))
62	61	moimi 2573	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 = (𝑦 / π) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
63	52, 62	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))
64	51, 63	mpgbir 1832	. . . 4 ⊢ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦
65		dff12 6799	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶1-1(◡sin “ {0}) ↔ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦))
66	38, 64, 65	mpbir2an 724	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶1-1(◡sin “ {0})
67		f1fi 9334	. . . 4 ⊢ (((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶1-1(◡sin “ {0})) → ℤ ∈ Fin)
68		nnssz 12742	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
69		ssfi 9216	. . . 4 ⊢ ((ℤ ∈ Fin ∧ ℕ ⊆ ℤ) → ℕ ∈ Fin)
70	67, 68, 69	sylancl 598	. . 3 ⊢ (((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶1-1(◡sin “ {0})) → ℕ ∈ Fin)
71	21, 66, 70	sylancl 598	. 2 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → ℕ ∈ Fin)
72	1, 71	mto 200	1 ⊢ ¬ sin ∈ (Poly‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃*wmo 2565   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900  {csn 4588   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   × cxp 5653  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655   “ cima 5658  Fun wfun 6552  ⟶wf 6554  ⟶1-1wf1 6555  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Fincfn 9001  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227   · cmul 11232   < clt 11370   ≤ cle 11371   / cdiv 12000  ℕcn 12362  4c4 12426  ℤcz 12720  ♯chash 14501  sincsin 16258  πcpi 16261  0_𝑝c0p 26020  Polycply 26532  degcdgr 26535

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ioc 13508  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-bc 14474  df-hash 14502  df-shft 15249  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-limsup 15667  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-ef 16262  df-sin 16264  df-cos 16265  df-pi 16267  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-rest 17622  df-topn 17623  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-pt 17644  df-prds 17647  df-xrs 17703  df-qtop 17708  df-imas 17709  df-xps 17711  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-mulg 19307  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-lp 23484  df-perf 23485  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-haus 23663  df-tx 23911  df-hmeo 24104  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-xms 24669  df-ms 24670  df-tms 24671  df-cncf 25229  df-0p 26021  df-limc 26216  df-dv 26217  df-ply 26536  df-idp 26537  df-coe 26538  df-dgr 26539  df-quot 26642

This theorem is used by: (None)