Theorem sinnpoly 46876

Description: Sine function is not a polynomial with complex coefficients. Indeed, it has infinitely many zeros but is not constant zero, contrary to fta1 26232. (Contributed by Ender Ting, 10-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sinnpoly	⊢ ¬ sin ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem sinnpoly

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnfi 13891	. 2 ⊢ ¬ ℕ ∈ Fin
2		4re 12230	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
3		resincl 16067	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℝ → (sin‘4) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘4) ∈ ℝ
5		sin4lt0 16122	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘4) < 0
6		df-0p 25587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
7	6	fveq1i 6827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0𝑝‘4) = ((ℂ × {0})‘4)
8		4cn 12231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
9		c0ex 11128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
10	9	fvconst2 7144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((ℂ × {0})‘4) = 0)
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ × {0})‘4) = 0
12	7, 11	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (0𝑝‘4) = 0
13	12	eqcomi 2738	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0𝑝‘4)
14	5, 13	breqtri 5120	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘4) < (0𝑝‘4)
15	4, 14	ltneii 11247	. . . . . 6 ⊢ (sin‘4) ≠ (0𝑝‘4)
16		fveq1 6825	. . . . . . 7 ⊢ (sin = 0𝑝 → (sin‘4) = (0𝑝‘4))
17	16	necon3i 2957	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘4) ≠ (0𝑝‘4) → sin ≠ 0𝑝)
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ sin ≠ 0𝑝
19		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (◡sin “ {0}) = (◡sin “ {0})
20	19	fta1 26232	. . . . 5 ⊢ ((sin ∈ (Poly‘ℂ) ∧ sin ≠ 0𝑝) → ((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡sin “ {0})) ≤ (deg‘sin)))
21	18, 20	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → ((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡sin “ {0})) ≤ (deg‘sin)))
22	21	simpld 494	. . 3 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → (◡sin “ {0}) ∈ Fin)
23		ovexd 7388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ V)
24	23	rgen 3046	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · π) ∈ V
25		nfcv 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧ℤ
26	25	mptfnf 6621	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · π) ∈ V ↔ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) Fn ℤ)
27	24, 26	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) Fn ℤ
28		sinkpi 26447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (sin‘(𝑧 · π)) = 0)
29	9	snid 4616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ {0}
30	28, 29	eqeltrdi 2836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0})
31		sinf 16051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
32		ffun 6659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → Fun sin)
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Fun sin
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → Fun sin)
35		zcn 12494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
36		picn 26383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
37		mulcl 11112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝑧 · π) ∈ ℂ)
38	35, 36, 37	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ ℂ)
39	31	fdmi 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom sin = ℂ
40	39	eleq2i 2820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 · π) ∈ dom sin ↔ (𝑧 · π) ∈ ℂ)
41	38, 40	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ dom sin)
42		fvimacnv 6991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun sin ∧ (𝑧 · π) ∈ dom sin) → ((sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0} ↔ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})))
43	34, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0} ↔ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})))
44	30, 43	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0}))
45	44	rgen 3046	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})
46		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))
47	46	rnmptss 7061	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0}) → ran (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) ⊆ (◡sin “ {0}))
48	45, 47	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) ⊆ (◡sin “ {0})
49	27, 48	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) Fn ℤ ∧ ran (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) ⊆ (◡sin “ {0}))
50		df-f 6490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0}) ↔ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) Fn ℤ ∧ ran (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) ⊆ (◡sin “ {0})))
51	49, 50	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0})
52		moeq 3669	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃*𝑥 𝑥 = (𝑦 / π)
53		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑦 = (𝑥 · π))
54		oveq1 7360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · π) → (𝑦 / π) = ((𝑥 · π) / π))
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → (𝑦 / π) = ((𝑥 · π) / π))
56		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 ∈ ℤ)
57		zcn 12494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
59		pine0 26385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ≠ 0
60		divcan4 11824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
61	36, 59, 60	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
62	58, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
63	55, 62	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → (𝑦 / π) = 𝑥)
64	63	eqcomd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 = (𝑦 / π))
65	64	moimi 2538	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 = (𝑦 / π) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
66	52, 65	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))
67	66	ax-gen 1795	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))
68		vex 3442	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
69		vex 3442	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
70		eleq1w 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
72		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑧 · π)))
73		oveq1 7360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 · π) = (𝑥 · π))
74	73	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑥 · π)))
75	72, 74	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑡 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑥 · π)))
76	71, 75	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑡 = (𝑧 · π)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))))
77		df-mpt 5177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) = {⟨𝑧, 𝑡⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑡 = (𝑧 · π))}
78	68, 69, 76, 77	braba 5484	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
79	78	mobii 2541	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
80	79	albii 1819	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
81	67, 80	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦
82	51, 81	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦)
83		dff12 6723	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0}) ↔ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦))
84	82, 83	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})
85		f1fi 9221	. . . . 5 ⊢ (((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})) → ℤ ∈ Fin)
86		nnssz 12511	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
87		ssfi 9097	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ ∈ Fin ∧ ℕ ⊆ ℤ) → ℕ ∈ Fin)
88	86, 87	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ Fin → ℕ ∈ Fin)
89	85, 88	syl 17	. . . 4 ⊢ (((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})) → ℕ ∈ Fin)
90	84, 89	mpan2 691	. . 3 ⊢ ((◡sin “ {0}) ∈ Fin → ℕ ∈ Fin)
91	22, 90	syl 17	. 2 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → ℕ ∈ Fin)
92	1, 91	mto 197	1 ⊢ ¬ sin ∈ (Poly‘ℂ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃*wmo 2531   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  {csn 4579   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   × cxp 5621  ^◡ccnv 5622  dom cdm 5623  ran crn 5624   “ cima 5626  Fun wfun 6480   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  –1-1→wf1 6483  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   / cdiv 11795  ℕcn 12146  4c4 12203  ℤcz 12489  ♯chash 14255  sincsin 15988  πcpi 15991  0_𝑝c0p 25586  Polycply 26105  degcdgr 26108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-0p 25587  df-limc 25783  df-dv 25784  df-ply 26109  df-idp 26110  df-coe 26111  df-dgr 26112  df-quot 26215

This theorem is referenced by: (None)