Theorem sinnpoly 47595

Description: Sine function is not a polynomial with complex coefficients. Indeed, it has infinitely many zeros but is not constant zero, contrary to fta1 26448. (Contributed by Ender Ting, 10-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sinnpoly	⊢ ¬ sin ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem sinnpoly

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnfi 14002	. 2 ⊢ ¬ ℕ ∈ Fin
2		4re 12324	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
3		resincl 16195	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℝ → (sin‘4) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘4) ∈ ℝ
5		sin4lt0 16250	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘4) < 0
6		df-0p 25808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
7	6	fveq1i 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0𝑝‘4) = ((ℂ × {0})‘4)
8		4cn 12325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
9		c0ex 11199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
10	9	fvconst2 7202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((ℂ × {0})‘4) = 0)
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ × {0})‘4) = 0
12	7, 11	eqtri 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (0𝑝‘4) = 0
13	12	eqcomi 2770	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0𝑝‘4)
14	5, 13	breqtri 5135	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘4) < (0𝑝‘4)
15	4, 14	ltneii 11322	. . . . . 6 ⊢ (sin‘4) ≠ (0𝑝‘4)
16		fveq1 6880	. . . . . . 7 ⊢ (sin = 0𝑝 → (sin‘4) = (0𝑝‘4))
17	16	necon3i 2988	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘4) ≠ (0𝑝‘4) → sin ≠ 0𝑝)
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ sin ≠ 0𝑝
19		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (◡sin “ {0}) = (◡sin “ {0})
20	19	fta1 26448	. . . . 5 ⊢ ((sin ∈ (Poly‘ℂ) ∧ sin ≠ 0𝑝) → ((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡sin “ {0})) ≤ (deg‘sin)))
21	18, 20	mpan2 703	. . . 4 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → ((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡sin “ {0})) ≤ (deg‘sin)))
22	21	simpld 499	. . 3 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → (◡sin “ {0}) ∈ Fin)
23		ovexd 7445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ V)
24	23	rgen 3079	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · π) ∈ V
25		nfcv 2923	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧ℤ
26	25	mptfnf 6670	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · π) ∈ V ↔ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) Fn ℤ)
27	24, 26	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) Fn ℤ
28		sinkpi 26663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (sin‘(𝑧 · π)) = 0)
29	9	snid 4627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ {0}
30	28, 29	eqeltrdi 2869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0})
31		sinf 16179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
32		ffun 6708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → Fun sin)
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Fun sin
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → Fun sin)
35		zcn 12595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
36		picn 26597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
37		mulcl 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝑧 · π) ∈ ℂ)
38	35, 36, 37	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ ℂ)
39	31	fdmi 6717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom sin = ℂ
40	39	eleq2i 2853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 · π) ∈ dom sin ↔ (𝑧 · π) ∈ ℂ)
41	38, 40	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ dom sin)
42		fvimacnv 7048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun sin ∧ (𝑧 · π) ∈ dom sin) → ((sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0} ↔ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})))
43	34, 41, 42	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0} ↔ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})))
44	30, 43	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0}))
45	44	rgen 3079	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})
46		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))
47	46	rnmptss 7118	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0}) → ran (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) ⊆ (◡sin “ {0}))
48	45, 47	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) ⊆ (◡sin “ {0})
49	27, 48	pm3.2i 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) Fn ℤ ∧ ran (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) ⊆ (◡sin “ {0}))
50		df-f 6540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0}) ↔ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) Fn ℤ ∧ ran (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) ⊆ (◡sin “ {0})))
51	49, 50	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0})
52		moeq 3669	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃*𝑥 𝑥 = (𝑦 / π)
53		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑦 = (𝑥 · π))
54		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · π) → (𝑦 / π) = ((𝑥 · π) / π))
55	53, 54	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → (𝑦 / π) = ((𝑥 · π) / π))
56		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 ∈ ℤ)
57		zcn 12595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
58	56, 57	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
59		pine0 26601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ≠ 0
60		divcan4 11898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
61	36, 59, 60	mp3an23 1480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
62	58, 61	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
63	55, 62	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → (𝑦 / π) = 𝑥)
64	63	eqcomd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 = (𝑦 / π))
65	64	moimi 2571	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 = (𝑦 / π) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
66	52, 65	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))
67	66	ax-gen 1823	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))
68		vex 3457	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
69		vex 3457	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
70		eleq1w 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
71	70	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
72		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑧 · π)))
73		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 · π) = (𝑥 · π))
74	73	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑥 · π)))
75	72, 74	sylan9bbr 519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑡 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑥 · π)))
76	71, 75	anbi12d 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑡 = (𝑧 · π)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))))
77		df-mpt 5192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) = {⟨𝑧, 𝑡⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑡 = (𝑧 · π))}
78	68, 69, 76, 77	braba 5521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
79	78	mobii 2574	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
80	79	albii 1847	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
81	67, 80	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦
82	51, 81	pm3.2i 475	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦)
83		dff12 6773	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0}) ↔ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦))
84	82, 83	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})
85		f1fi 9273	. . . . 5 ⊢ (((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})) → ℤ ∈ Fin)
86		nnssz 12612	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
87		ssfi 9156	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ ∈ Fin ∧ ℕ ⊆ ℤ) → ℕ ∈ Fin)
88	86, 87	mpan2 703	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ Fin → ℕ ∈ Fin)
89	85, 88	syl 18	. . . 4 ⊢ (((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})) → ℕ ∈ Fin)
90	84, 89	mpan2 703	. . 3 ⊢ ((◡sin “ {0}) ∈ Fin → ℕ ∈ Fin)
91	22, 90	syl 18	. 2 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → ℕ ∈ Fin)
92	1, 91	mto 200	1 ⊢ ¬ sin ∈ (Poly‘ℂ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1566   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∃*wmo 2563   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  {csn 4588   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191   × cxp 5659  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661  ran crn 5662   “ cima 5664  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8942  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099   · cmul 11104   < clt 11242   ≤ cle 11243   / cdiv 11870  ℕcn 12232  4c4 12296  ℤcz 12590  ♯chash 14366  sincsin 16116  πcpi 16119  0_𝑝c0p 25807  Polycply 26320  degcdgr 26323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cld 23155  df-ntr 23156  df-cls 23157  df-nei 23234  df-lp 23272  df-perf 23273  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-haus 23451  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458  df-cncf 25016  df-0p 25808  df-limc 26004  df-dv 26005  df-ply 26324  df-idp 26325  df-coe 26326  df-dgr 26327  df-quot 26431

This theorem is referenced by: (None)