Theorem sinnpoly 48017

Description: Sine function is not a polynomial with complex coefficients. Indeed, it has infinitely many zeros but is not constant zero, contrary to fta1 26630. (Contributed by Ender Ting, 10-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sinnpoly	⊢ ¬ sin ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem sinnpoly

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnfi 14110	. 2 ⊢ ¬ ℕ ∈ Fin
2		4re 12428	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
3		resincl 16309	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℝ → (sin‘4) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘4) ∈ ℝ
5		sin4lt0 16364	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘4) < 0
6		df-0p 25992	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
7	6	fveq1i 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (0𝑝‘4) = ((ℂ × {0})‘4)
8		4cn 12429	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
9		c0ex 11301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
10	9	fvconst2 7210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((ℂ × {0})‘4) = 0)
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ × {0})‘4) = 0
12	7, 11	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (0𝑝‘4) = 0
13	5, 12	breqtrri 5131	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘4) < (0𝑝‘4)
14	4, 13	ltneii 11424	. . . . . 6 ⊢ (sin‘4) ≠ (0𝑝‘4)
15		fveq1 6884	. . . . . . 7 ⊢ (sin = 0𝑝 → (sin‘4) = (0𝑝‘4))
16	15	necon3i 2987	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘4) ≠ (0𝑝‘4) → sin ≠ 0𝑝)
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ sin ≠ 0𝑝
18		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (◡sin “ {0}) = (◡sin “ {0})
19	18	fta1 26630	. . . . 5 ⊢ ((sin ∈ (Poly‘ℂ) ∧ sin ≠ 0𝑝) → ((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡sin “ {0})) ≤ (deg‘sin)))
20	17, 19	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → ((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡sin “ {0})) ≤ (deg‘sin)))
21	20	simpld 500	. . 3 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → (◡sin “ {0}) ∈ Fin)
22		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))
23		sinkpi 26851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (sin‘(𝑧 · π)) = 0)
24	9	snid 4622	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0}
25	23, 24	eqeltrdi 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0})
26		sinf 16293	. . . . . . . 8 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
27		ffun 6712	. . . . . . . 8 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → Fun sin)
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Fun sin
29		zcn 12699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
30		picn 26786	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℂ
31		mulcl 11285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝑧 · π) ∈ ℂ)
32	29, 30, 31	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ ℂ)
33	26	fdmi 6721	. . . . . . . 8 ⊢ dom sin = ℂ
34	32, 33	eleqtrrdi 2871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ dom sin)
35		fvimacnv 7052	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun sin ∧ (𝑧 · π) ∈ dom sin) → ((sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0} ↔ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})))
36	28, 34, 35	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((sin‘(𝑧 · π)) ∈ {0} ↔ (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0})))
37	25, 36	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · π) ∈ (◡sin “ {0}))
38	22, 37	fmpti 7112	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0})
39		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
40		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
41		eleq1w 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
42	41	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
43		eqeq1 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑧 · π)))
44		oveq1 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 · π) = (𝑥 · π))
45	44	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑥 · π)))
46	43, 45	sylan9bbr 520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑡 = (𝑧 · π) ↔ 𝑦 = (𝑥 · π)))
47	42, 46	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑡 = (𝑧 · π)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))))
48		df-mpt 5186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)) = {⟨𝑧, 𝑡⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑡 = (𝑧 · π))}
49	39, 40, 47, 48	braba 5510	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
50	49	mobii 2573	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
51	50	albii 1851	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦 ↔ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
52		moeq 3664	. . . . . 6 ⊢ ∃*𝑥 𝑥 = (𝑦 / π)
53		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑦 = (𝑥 · π))
54	53	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → (𝑦 / π) = ((𝑥 · π) / π))
55		zcn 12699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
56	55	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
57		pine0 26790	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ≠ 0
58		divcan4 12002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
59	30, 57, 58	mp3an23 1482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
60	56, 59	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → ((𝑥 · π) / π) = 𝑥)
61	54, 60	eqtr2d 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)) → 𝑥 = (𝑦 / π))
62	61	moimi 2570	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 = (𝑦 / π) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π)))
63	52, 62	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∃*𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑥 · π))
64	51, 63	mpgbir 1831	. . . 4 ⊢ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦
65		dff12 6777	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0}) ↔ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ⟶(◡sin “ {0}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π))𝑦))
66	38, 64, 65	mpbir2an 724	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})
67		f1fi 9307	. . . 4 ⊢ (((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})) → ℤ ∈ Fin)
68		nnssz 12716	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
69		ssfi 9189	. . . 4 ⊢ ((ℤ ∈ Fin ∧ ℕ ⊆ ℤ) → ℕ ∈ Fin)
70	67, 68, 69	sylancl 598	. . 3 ⊢ (((◡sin “ {0}) ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 · π)):ℤ–1-1→(◡sin “ {0})) → ℕ ∈ Fin)
71	21, 66, 70	sylancl 598	. 2 ⊢ (sin ∈ (Poly‘ℂ) → ℕ ∈ Fin)
72	1, 71	mto 200	1 ⊢ ¬ sin ∈ (Poly‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃*wmo 2562   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895  {csn 4583   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650   “ cima 5653  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8974  ℂcc 11199  ℝcr 11200  0cc0 11201   · cmul 11206   < clt 11344   ≤ cle 11345   / cdiv 11974  ℕcn 12336  4c4 12400  ℤcz 12694  ♯chash 14475  sincsin 16230  πcpi 16233  0_𝑝c0p 25991  Polycply 26503  degcdgr 26506

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279  ax-addf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-oadd 8481  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-fi 9404  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-ioo 13481  df-ioc 13482  df-ico 13483  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-seq 14146  df-exp 14206  df-fac 14419  df-bc 14448  df-hash 14476  df-shft 15221  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-limsup 15639  df-clim 15656  df-rlim 15657  df-sum 15855  df-ef 16234  df-sin 16236  df-cos 16237  df-pi 16239  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-hom 17453  df-cco 17454  df-rest 17594  df-topn 17595  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-topgen 17615  df-pt 17616  df-prds 17619  df-xrs 17675  df-qtop 17680  df-imas 17681  df-xps 17683  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-mulg 19279  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-fbas 21676  df-fg 21677  df-cnfld 21680  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-bases 23265  df-cld 23338  df-ntr 23339  df-cls 23340  df-nei 23417  df-lp 23455  df-perf 23456  df-cn 23546  df-cnp 23547  df-haus 23634  df-tx 23882  df-hmeo 24075  df-fil 24166  df-fm 24258  df-flim 24259  df-flf 24260  df-xms 24640  df-ms 24641  df-tms 24642  df-cncf 25200  df-0p 25992  df-limc 26187  df-dv 26188  df-ply 26507  df-idp 26508  df-coe 26509  df-dgr 26510  df-quot 26613

This theorem is used by: (None)