Theorem ballotfilemfcc 13177

Description: F takes value 0 between positive and negative values. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotfilem.o	|- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
ballotfilem.p	|- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotlemfcc.c	|- ( ph -> C e. O )
ballotlemfcc.j	|- ( ph -> J e. NN )
ballotlemfcc.3	|- ( ph -> E. i e. ( 1 ... J ) 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) )
ballotlemfcc.4	|- ( ph -> ( ( F ` C ) ` J ) < 0 )

Assertion

Ref	Expression
ballotfilemfcc	|- ( ph -> E. k e. ( 1 ... J ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F   k, F   C, i   i, J   ph, i, k   k, J   C, k   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( x, c)   C( x, c)   P( x, i, k, c)   F( x)   J( x, c)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotfilemfcc

Dummy variables j q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5675	. . . . . . 7 |- ( i = k -> ( ( F ` C ) ` i ) = ( ( F ` C ) ` k ) )
2	1	breq2d 4126	. . . . . 6 |- ( i = k -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) <-> 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) )
3	2	elrab 2976	. . . . 5 |- ( k e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } <-> ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) )
4	3	anbi1i 458	. . . 4 |- ( ( k e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) <-> ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) )
5		simprl 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) -> k e. ( 1 ... J ) )
6	5	adantrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> k e. ( 1 ... J ) )
7		fzssuz 10420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... J ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
8		uzssz 9892	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
9	7, 8	sstri 3251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... J ) C_ ZZ
10		zssre 9601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ZZ C_ RR
11	9, 10	sstri 3251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... J ) C_ RR
12	11	sseli 3238	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> k e. RR )
13	12	ltp1d 9221	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> k < ( k + 1 ) )
14		elfzelz 10378	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> k e. ZZ )
15	14	peano2zd 9721	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
16		zltnle 9640	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( k < ( k + 1 ) <-> -. ( k + 1 ) <_ k ) )
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( k < ( k + 1 ) <-> -. ( k + 1 ) <_ k ) )
18	13, 17	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> -. ( k + 1 ) <_ k )
19	6, 18	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> -. ( k + 1 ) <_ k )
20		simprr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k )
21		ballotlemfcc.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( F ` C ) ` J ) < 0 )
22	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k = J ) -> ( ( F ` C ) ` J ) < 0 )
23		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k = J ) -> k = J )
24	23	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k = J ) -> ( ( F ` C ) ` k ) = ( ( F ` C ) ` J ) )
25	24	breq1d 4124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k = J ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) < 0 <-> ( ( F ` C ) ` J ) < 0 ) )
26		ballotlemfcc.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> J e. NN )
27		elnnuz 9909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( J e. NN <-> J e. ( ZZ>= ` 1 ) )
28	26, 27	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> J e. ( ZZ>= ` 1 ) )
29		eluzfz2 10386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> J e. ( 1 ... J ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> J e. ( 1 ... J ) )
31		eleq1 2297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = J -> ( k e. ( 1 ... J ) <-> J e. ( 1 ... J ) ) )
32	30, 31	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( k = J -> k e. ( 1 ... J ) ) )
33	32	anc2li 329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( k = J -> ( ph /\ k e. ( 1 ... J ) ) ) )
34		1eluzge0 9924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
35		fzss1 10418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... J ) C_ ( 0 ... J ) )
36	35	sseld 3241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( k e. ( 1 ... J ) -> k e. ( 0 ... J ) ) )
37	34, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> k e. ( 0 ... J ) )
38		ballotth.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- M e. NN
39		ballotth.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- N e. NN
40		ballotfilem.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
41		ballotfilem.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
42		ballotth.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
43		ballotlemfcc.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> C e. O )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> C e. O )
45		elfzelz 10378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ( 0 ... J ) -> k e. ZZ )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> k e. ZZ )
47	38, 39, 40, 41, 42, 44, 46	ballotfilemfelz 13174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ )
48		0zd 9606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> 0 e. ZZ )
49		zltnle 9640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) < 0 <-> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) )
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) < 0 <-> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) )
51	37, 50	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) < 0 <-> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) )
52	33, 51	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( k = J -> ( ( ( F ` C ) ` k ) < 0 <-> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) )
53	52	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k = J ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) < 0 <-> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) )
54	25, 53	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k = J ) -> ( ( ( F ` C ) ` J ) < 0 <-> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) )
55	22, 54	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k = J ) -> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) )
56	55	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k = J -> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) )
57	56	con2d 629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) -> -. k = J ) )
58		nn1m1nn 9272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( J e. NN -> ( J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) )
59	26, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) )
60		ballotlemfcc.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> E. i e. ( 1 ... J ) 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) )
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> E. i e. ( 1 ... J ) 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) )
62		oveq1 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( J = 1 -> ( J ... J ) = ( 1 ... J ) )
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( J ... J ) = ( 1 ... J ) )
64	26	nnzd 9717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> J e. ZZ )
65		fzsn 10421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( J e. ZZ -> ( J ... J ) = { J } )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( J ... J ) = { J } )
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( J ... J ) = { J } )
68	63, 67	eqtr3d 2269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( 1 ... J ) = { J } )
69	61, 68	rexeqtrdv 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> E. i e. { J } 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) )
70		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( i = J -> ( ( F ` C ) ` i ) = ( ( F ` C ) ` J ) )
71	70	breq2d 4126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i = J -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) <-> 0 <_ ( ( F ` C ) ` J ) ) )
72	71	rexsng 3735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( J e. NN -> ( E. i e. { J } 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) <-> 0 <_ ( ( F ` C ) ` J ) ) )
73	26, 72	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( E. i e. { J } 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) <-> 0 <_ ( ( F ` C ) ` J ) ) )
74	73	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( E. i e. { J } 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) <-> 0 <_ ( ( F ` C ) ` J ) ) )
75	69, 74	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> 0 <_ ( ( F ` C ) ` J ) )
76	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( ( F ` C ) ` J ) < 0 )
77	38, 39, 40, 41, 42, 43, 64	ballotfilemfelz 13174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( ( F ` C ) ` J ) e. ZZ )
78		0zd 9606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
79		zltnle 9640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( F ` C ) ` J ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( ( F ` C ) ` J ) < 0 <-> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` J ) ) )
80	77, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) ` J ) < 0 <-> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` J ) ) )
81	80	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( ( ( F ` C ) ` J ) < 0 <-> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` J ) ) )
82	76, 81	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` J ) )
83	75, 82	pm2.65da 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> -. J = 1 )
84		biortn 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. J = 1 -> ( ( J - 1 ) e. NN <-> ( -. -. J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) ) )
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( J - 1 ) e. NN <-> ( -. -. J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) ) )
86		1z 9620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. ZZ
87		zdceq 9670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( J e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID J = 1 )
88	64, 86, 87	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> DECID J = 1 )
89		notnotbdc 880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (DECID J = 1 -> ( J = 1 <-> -. -. J = 1 ) )
90	88, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( J = 1 <-> -. -. J = 1 ) )
91	90	orbi1d 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) <-> ( -. -. J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) ) )
92	85, 91	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( J - 1 ) e. NN <-> ( J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) ) )
93	59, 92	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( J - 1 ) e. NN )
94		elnnuz 9909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J - 1 ) e. NN <-> ( J - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
95	93, 94	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( J - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
96		elfzp1 10428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( k e. ( 1 ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) <-> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = ( ( J - 1 ) + 1 ) ) ) )
97	95, 96	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) <-> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = ( ( J - 1 ) + 1 ) ) ) )
98	26	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> J e. CC )
99		1cnd 8306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 1 e. CC )
100	98, 99	npcand 8604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( J - 1 ) + 1 ) = J )
101	100	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) = ( 1 ... J ) )
102	101	eleq2d 2304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) <-> k e. ( 1 ... J ) ) )
103	100	eqeq2d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( k = ( ( J - 1 ) + 1 ) <-> k = J ) )
104	103	orbi2d 798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = ( ( J - 1 ) + 1 ) ) <-> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = J ) ) )
105	97, 102, 104	3bitr3d 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... J ) <-> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = J ) ) )
106		orcom 736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = J ) <-> ( k = J \/ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) )
107	105, 106	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... J ) <-> ( k = J \/ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) ) )
108	107	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... J ) -> ( k = J \/ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) ) )
109		pm5.6r 935	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. ( 1 ... J ) -> ( k = J \/ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) ) -> ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ -. k = J ) -> k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) )
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ -. k = J ) -> k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) )
111	93	nnzd 9717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( J - 1 ) e. ZZ )
112	111, 86	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 e. ZZ /\ ( J - 1 ) e. ZZ ) )
113		elfzelz 10378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) -> k e. ZZ )
114	113, 86	jctir 313	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) -> ( k e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) )
115		fzaddel 10414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( J - 1 ) e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) <-> ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) ) )
116	112, 114, 115	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) <-> ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) ) )
117	116	biimp3a 1382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) )
118	117	3anidm23 1334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) )
119		1p1e2 9371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 + 1 ) = 2
120	119	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) = 2 )
121	120, 100	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) = ( 2 ... J ) )
122	121	eleq2d 2304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) <-> ( k + 1 ) e. ( 2 ... J ) ) )
123		2eluzge1 9926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. ( ZZ>= ` 1 )
124		fzss1 10418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 2 ... J ) C_ ( 1 ... J ) )
125	123, 124	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 ... J ) C_ ( 1 ... J )
126	125	sseli 3238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k + 1 ) e. ( 2 ... J ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
127	122, 126	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
128	127	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
129	118, 128	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
130	129	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
131	110, 130	syld 45	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ -. k = J ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
132	57, 131	sylan2d 294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
133	132	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
134	133	adantrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
135		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( F ` C ) ` i ) = ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) )
136	135	breq2d 4126	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) <-> 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) ) )
137	136	elrab 2976	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } <-> ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) ) )
138		breq1 4117	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( j <_ k <-> ( k + 1 ) <_ k ) )
139	138	rspccva 2922	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k /\ ( k + 1 ) e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } ) -> ( k + 1 ) <_ k )
140	137, 139	sylan2br 288	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k /\ ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( k + 1 ) <_ k )
141	140	expr 375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) -> ( k + 1 ) <_ k ) )
142	141	con3d 636	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( -. ( k + 1 ) <_ k -> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) ) )
143	20, 134, 142	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( -. ( k + 1 ) <_ k -> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) ) )
144	19, 143	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) )
145		simplrr 538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k )
146	134	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
147		0red 8291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> 0 e. RR )
148		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ph )
149	133	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
150	35	sseld 3241	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) ) )
151	34, 149, 150	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) )
152	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) ) -> C e. O )
153		elfzelz 10378	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
154	153	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
155	38, 39, 40, 41, 42, 152, 154	ballotfilemfelz 13174	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
156	155	zred 9718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) e. RR )
157	148, 151, 156	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) e. RR )
158		simplrr 538	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) )
159	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> k e. ( 1 ... J ) )
160	159, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> k e. ( 0 ... J ) )
161	132	imdistani 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) -> ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
162	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> C e. O )
163		elfznn 10409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) -> ( k + 1 ) e. NN )
164	163	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
165	38, 39, 40, 41, 42, 162, 164	ballotfilemfp1 13175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( -. ( k + 1 ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) ) /\ ( ( k + 1 ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) ) ) )
166	165	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( k + 1 ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) ) )
167	166	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) )
168	161, 167	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) )
169	14	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> k e. CC )
170		1cnd 8306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> 1 e. CC )
171	169, 170	pncand 8601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
172	171	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( ( F ` C ) ` k ) )
173	172	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) )
174	173	eqeq2d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
175	159, 174	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
176	168, 175	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) )
177		0z 9605	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. ZZ
178		zleltp1 9650	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) <-> 0 < ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
179	177, 47, 178	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) <-> 0 < ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
180	179	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) <-> 0 < ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
181		breq2 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <-> 0 < ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
182	181	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <-> 0 < ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
183	180, 182	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) <-> 0 < ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) ) )
184	148, 160, 176, 183	syl21anc 1273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) <-> 0 < ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) ) )
185	158, 184	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> 0 < ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) )
186	147, 157, 185	ltled 8408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) )
187	186	adantlrr 483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) )
188	145, 146, 187, 140	syl12anc 1272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( k + 1 ) <_ k )
189	19, 188	mtand 671	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> -. ( k + 1 ) e. C )
190	165	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( -. ( k + 1 ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) ) )
191	190	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) )
192	161, 191	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) )
193	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> k e. ( 1 ... J ) )
194	172	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) )
195	194	eqeq2d 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) )
196	193, 195	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) )
197	192, 196	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) )
198	197	adantlrr 483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) )
199	189, 198	mpdan 421	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) )
200		breq2 4118	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <-> 0 <_ ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) )
201	200	notbid 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) -> ( -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <-> -. 0 <_ ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) )
202	199, 201	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <-> -. 0 <_ ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) )
203	144, 202	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> -. 0 <_ ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) )
204	5, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) -> k e. ( 0 ... J ) )
205	204, 47	syldan 282	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ )
206	205	adantrr 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ )
207		zlem1lt 9651	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 <-> ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) < 0 ) )
208	177, 207	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ -> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 <-> ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) < 0 ) )
209		peano2zm 9632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ -> ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) e. ZZ )
210		zltnle 9640	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) < 0 <-> -. 0 <_ ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) )
211	209, 177, 210	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ -> ( ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) < 0 <-> -. 0 <_ ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) )
212	208, 211	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ -> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 <-> -. 0 <_ ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) )
213	206, 212	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 <-> -. 0 <_ ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) )
214	203, 213	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 )
215		simprlr 540	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) )
216	206	zred 9718	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) e. RR )
217		0red 8291	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> 0 e. RR )
218	216, 217	letri3d 8405	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) = 0 <-> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) )
219	214, 215, 218	mpbir2and 953	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
220	4, 219	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
221		ssrab2 3327	. . . . 5 |- { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } C_ ( 1 ... J )
222		zssq 9977	. . . . . 6 |- ZZ C_ QQ
223	9, 222	sstri 3251	. . . . 5 |- ( 1 ... J ) C_ QQ
224	221, 223	sstri 3251	. . . 4 |- { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } C_ QQ
225	86	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
226	225, 64	fzfigd 10817	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... J ) e. Fin )
227		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = q -> ( 1 ... i ) = ( 1 ... q ) )
228	227	ineq1d 3425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = q -> ( ( 1 ... i ) i^i c ) = ( ( 1 ... q ) i^i c ) )
229	228	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = q -> (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) = (♯ ` ( ( 1 ... q ) i^i c ) ) )
230	227	difeq1d 3340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = q -> ( ( 1 ... i ) \ c ) = ( ( 1 ... q ) \ c ) )
231	230	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = q -> (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) = (♯ ` ( ( 1 ... q ) \ c ) ) )
232	229, 231	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = q -> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) = ( (♯ ` ( ( 1 ... q ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... q ) \ c ) ) ) )
233	232	cbvmptv 4211	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) = ( q e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... q ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... q ) \ c ) ) ) )
234	233	mpteq2i 4202	. . . . . . . . 9 |- ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) ) = ( c e. O |-> ( q e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... q ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... q ) \ c ) ) ) ) )
235	42, 234	eqtri 2255	. . . . . . . 8 |- F = ( c e. O |-> ( q e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... q ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... q ) \ c ) ) ) ) )
236	43	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... J ) ) -> C e. O )
237		elfzelz 10378	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 1 ... J ) -> i e. ZZ )
238	237	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... J ) ) -> i e. ZZ )
239	38, 39, 40, 41, 235, 236, 238	ballotfilemfelz 13174	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( F ` C ) ` i ) e. ZZ )
240		zdcle 9671	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( F ` C ) ` i ) e. ZZ ) -> DECID 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) )
241	177, 239, 240	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... J ) ) -> DECID 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) )
242	241	ralrimiva 2617	. . . . 5 |- ( ph -> A. i e. ( 1 ... J )DECID 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) )
243	226, 242	ssfirab 7210	. . . 4 |- ( ph -> { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } e. Fin )
244		rabn0r 3539	. . . . 5 |- ( E. i e. ( 1 ... J ) 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) -> { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } =/= (/) )
245	60, 244	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } =/= (/) )
246		fimaxq 11219	. . . 4 |- ( ( { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } C_ QQ /\ { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } e. Fin /\ { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } =/= (/) ) -> E. k e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k )
247	224, 243, 245, 246	mp3an2i 1379	. . 3 |- ( ph -> E. k e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k )
248	220, 247	reximddv 2647	. 2 |- ( ph -> E. k e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
249		elrabi 2973	. . . 4 |- ( k e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } -> k e. ( 1 ... J ) )
250	249	anim1i 340	. . 3 |- ( ( k e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) -> ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) )
251	250	reximi2 2640	. 2 |- ( E. k e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } ( ( F ` C ) ` k ) = 0 -> E. k e. ( 1 ... J ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
252	248, 251	syl 14	1 |- ( ph -> E. k e. ( 1 ... J ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   A.wral 2522   E.wrex 2523   {crab 2526   \ cdif 3211   i^i cin 3213   C_ wss 3214   (/)c0 3512   ~Pcpw 3674   {csn 3694   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Fincfn 6988   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   QQcq 9969   ...cfz 10361  ♯chash 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-ihash 11164

This theorem is referenced by:  ballotfilem1c  13195