ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cxplt3 GIF version

Theorem cxplt3 13034
Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cxplt3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐴𝑐𝐶) < (𝐴𝑐𝐵)))

Proof of Theorem cxplt3
StepHypRef Expression
1 simpll 518 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
2 simprl 520 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
32recnd 7813 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 cxprec 13025 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ) → ((1 / 𝐴)↑𝑐𝐵) = (1 / (𝐴𝑐𝐵)))
51, 3, 4syl2anc 408 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((1 / 𝐴)↑𝑐𝐵) = (1 / (𝐴𝑐𝐵)))
6 simprr 521 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
76recnd 7813 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
8 cxprec 13025 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → ((1 / 𝐴)↑𝑐𝐶) = (1 / (𝐴𝑐𝐶)))
91, 7, 8syl2anc 408 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((1 / 𝐴)↑𝑐𝐶) = (1 / (𝐴𝑐𝐶)))
105, 9breq12d 3945 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (((1 / 𝐴)↑𝑐𝐵) < ((1 / 𝐴)↑𝑐𝐶) ↔ (1 / (𝐴𝑐𝐵)) < (1 / (𝐴𝑐𝐶))))
111rprecred 9518 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
12 simplr 519 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐴 < 1)
131reclt1d 9520 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝐴)))
1412, 13mpbid 146 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 1 < (1 / 𝐴))
15 cxplt 13030 . . 3 ((((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 / 𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐶 ↔ ((1 / 𝐴)↑𝑐𝐵) < ((1 / 𝐴)↑𝑐𝐶)))
1611, 14, 2, 6, 15syl22anc 1217 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐶 ↔ ((1 / 𝐴)↑𝑐𝐵) < ((1 / 𝐴)↑𝑐𝐶)))
17 rpcxpcl 13018 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
1817ad2ant2rl 502 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
19 rpcxpcl 13018 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℝ+)
2019ad2ant2r 500 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℝ+)
2118, 20ltrecd 9525 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝑐𝐶) < (𝐴𝑐𝐵) ↔ (1 / (𝐴𝑐𝐵)) < (1 / (𝐴𝑐𝐶))))
2210, 16, 213bitr4d 219 1 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐴𝑐𝐶) < (𝐴𝑐𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3932  (class class class)co 5777  cc 7637  cr 7638  1c1 7640   < clt 7819   / cdiv 8451  +crp 9463  𝑐ccxp 12972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756  ax-pre-mulext 7757  ax-arch 7758  ax-caucvg 7759  ax-pre-suploc 7760  ax-addf 7761  ax-mulf 7762
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-disj 3910  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-ilim 4294  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-isom 5135  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-of 5985  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-irdg 6270  df-frec 6291  df-1o 6316  df-oadd 6320  df-er 6432  df-map 6547  df-pm 6548  df-en 6638  df-dom 6639  df-fin 6640  df-sup 6874  df-inf 6875  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-div 8452  df-inn 8740  df-2 8798  df-3 8799  df-4 8800  df-n0 8997  df-z 9074  df-uz 9346  df-q 9434  df-rp 9464  df-xneg 9582  df-xadd 9583  df-ioo 9698  df-ico 9700  df-icc 9701  df-fz 9815  df-fzo 9944  df-seqfrec 10243  df-exp 10317  df-fac 10496  df-bc 10518  df-ihash 10546  df-shft 10611  df-cj 10638  df-re 10639  df-im 10640  df-rsqrt 10794  df-abs 10795  df-clim 11072  df-sumdc 11147  df-ef 11378  df-e 11379  df-rest 12148  df-topgen 12167  df-psmet 12182  df-xmet 12183  df-met 12184  df-bl 12185  df-mopn 12186  df-top 12191  df-topon 12204  df-bases 12236  df-ntr 12291  df-cn 12383  df-cnp 12384  df-tx 12448  df-cncf 12753  df-limced 12820  df-dvap 12821  df-relog 12973  df-rpcxp 12974
This theorem is referenced by:  cxple3  13035  cxplt3d  13048
  Copyright terms: Public domain W3C validator