qdiff - Mathbox for Jim Kingdon

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Theorem qdiff 17265

Description: The rationals are exactly those reals for which there exist two distinct rationals that are the same distance from the original number. Similar to apdiff 17264 but by stating the result positively we can completely sidestep the issue of not equal versus apart in the statement of the result. From an online post by Ingo Blechschmidt. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Apr-2026.)

**Assertion**
Ref	Expression
qdiff	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑞 ∈ ℚ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))

Distinct variable group: 𝐴,𝑞,𝑟

**Proof of Theorem qdiff**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9675	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zq 10036	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		qsubcl 10048	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐴 − 1) ∈ ℚ)
5	3, 4	mpan2 429	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − 1) ∈ ℚ)
6		qaddcl 10045	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
7	3, 6	mpan2 429	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
8		qre 10035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
9		1rp 10069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
10	9, 9	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ⁺ ∧ 1 ∈ ℝ⁺)
11		rpaddcl 10089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ⁺ ∧ 1 ∈ ℝ⁺) → (1 + 1) ∈ ℝ⁺)
12	10, 11	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (1 + 1) ∈ ℝ⁺)
13	8, 12	ltaddrpd 10142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 < (𝐴 + (1 + 1)))
14	8, 13	ltned 8441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ≠ (𝐴 + (1 + 1)))
15	14	neneqd 2441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ¬ 𝐴 = (𝐴 + (1 + 1)))
16	15	neqcomd 2243	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 + (1 + 1)) = 𝐴)
17		qcn 10044	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
18		1cnd 8343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 1 ∈ ℂ)
19	17, 18, 18	addassd 8349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 + 1) + 1) = (𝐴 + (1 + 1)))
20	19	eqeq1d 2247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((𝐴 + 1) + 1) = 𝐴 ↔ (𝐴 + (1 + 1)) = 𝐴))
21	16, 20	mtbird 684	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ¬ ((𝐴 + 1) + 1) = 𝐴)
22	17, 18	addcld 8346	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
23	17, 18, 22	subadd2d 8658	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 − 1) = (𝐴 + 1) ↔ ((𝐴 + 1) + 1) = 𝐴))
24	21, 23	mtbird 684	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 − 1) = (𝐴 + 1))
25	24	neqned 2427	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1))
26	18	absnegd 11972	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (abs‘-1) = (abs‘1))
27	17, 17, 18	subsub4d 8670	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 − 𝐴) − 1) = (𝐴 − (𝐴 + 1)))
28	17	subidd 8627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
29	28	oveq1d 6100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 − 𝐴) − 1) = (0 − 1))
30		df-neg 8502	. . . . . . . 8 ⊢ -1 = (0 − 1)
31	29, 30	eqtr4di 2289	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 − 𝐴) − 1) = -1)
32	27, 31	eqtr3d 2273	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − (𝐴 + 1)) = -1)
33	32	fveq2d 5699	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))) = (abs‘-1))
34	17, 18	nncand 8644	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1)
35	34	fveq2d 5699	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘1))
36	26, 33, 35	3eqtr4rd 2282	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
37		neeq2 2434	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (𝐴 + 1) → ((𝐴 − 1) ≠ 𝑟 ↔ (𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1)))
38		oveq2 6093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (𝐴 + 1) → (𝐴 − 𝑟) = (𝐴 − (𝐴 + 1)))
39	38	fveq2d 5699	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (𝐴 + 1) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
40	39	eqeq2d 2250	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (𝐴 + 1) → ((abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1)))))
41	37, 40	anbi12d 477	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝐴 + 1) → (((𝐴 − 1) ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ ((𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1) ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))))
42	41	rspcev 2929	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1) ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))) → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐴 − 1) ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
43	7, 25, 36, 42	syl12anc 1276	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐴 − 1) ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
44		neeq1 2433	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝐴 − 1) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ (𝐴 − 1) ≠ 𝑟))
45		oveq2 6093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝐴 − 1) → (𝐴 − 𝑞) = (𝐴 − (𝐴 − 1)))
46	45	fveqeq2d 5703	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝐴 − 1) → ((abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
47	44, 46	anbi12d 477	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐴 − 1) → ((𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ ((𝐴 − 1) ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
48	47	rexbidv 2551	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝐴 − 1) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐴 − 1) ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
49	48	rspcev 2929	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℚ ∧ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐴 − 1) ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∃𝑞 ∈ ℚ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
50	5, 43, 49	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑞 ∈ ℚ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
51		2cnd 9380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 2 ∈ ℂ)
52		simpll 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
53	52	recnd 8355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
54		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝑞 ∈ ℚ)
55		qre 10035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝑞 ∈ ℝ)
57	56	recnd 8355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝑞 ∈ ℂ)
58	53, 57	mulcld 8347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝐴 · 𝑞) ∈ ℂ)
59		simplrr 542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝑟 ∈ ℚ)
60		qre 10035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℝ)
61	59, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
62	61	recnd 8355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
63	53, 62	mulcld 8347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝐴 · 𝑟) ∈ ℂ)
64	51, 58, 63	subdid 8743	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (2 · ((𝐴 · 𝑞) − (𝐴 · 𝑟))) = ((2 · (𝐴 · 𝑞)) − (2 · (𝐴 · 𝑟))))
65	53	sqcld 11124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
66	51, 63	mulcld 8347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (2 · (𝐴 · 𝑟)) ∈ ℂ)
67	51, 58	mulcld 8347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (2 · (𝐴 · 𝑞)) ∈ ℂ)
68	65, 66, 67	nnncan1d 8673	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞)))) = ((2 · (𝐴 · 𝑞)) − (2 · (𝐴 · 𝑟))))
69		simprr 537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
70	52, 56	resubcld 8710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝐴 − 𝑞) ∈ ℝ)
71	52, 61	resubcld 8710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ)
72		sqabs 11865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 − 𝑞) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑞)↑2) = ((𝐴 − 𝑟)↑2) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
73	70, 71, 72	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝐴 − 𝑞)↑2) = ((𝐴 − 𝑟)↑2) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
74	69, 73	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝐴 − 𝑞)↑2) = ((𝐴 − 𝑟)↑2))
75		binom2sub 11105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝑞)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞))) + (𝑞↑2)))
76	53, 57, 75	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝐴 − 𝑞)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞))) + (𝑞↑2)))
77		binom2sub 11105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝑟)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) + (𝑟↑2)))
78	53, 62, 77	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝐴 − 𝑟)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) + (𝑟↑2)))
79	74, 76, 78	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞))) + (𝑞↑2)) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) + (𝑟↑2)))
80	65, 67	subcld 8639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞))) ∈ ℂ)
81	57	sqcld 11124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑞↑2) ∈ ℂ)
82	65, 66	subcld 8639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) ∈ ℂ)
83	62	sqcld 11124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑟↑2) ∈ ℂ)
84	80, 81, 82, 83	addsubeq4d 8690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞))) + (𝑞↑2)) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) + (𝑟↑2)) ↔ (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞)))) = ((𝑞↑2) − (𝑟↑2))))
85	79, 84	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞)))) = ((𝑞↑2) − (𝑟↑2)))
86	64, 68, 85	3eqtr2d 2277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (2 · ((𝐴 · 𝑞) − (𝐴 · 𝑟))) = ((𝑞↑2) − (𝑟↑2)))
87	81, 83	subcld 8639	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) ∈ ℂ)
88	58, 63	subcld 8639	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝐴 · 𝑞) − (𝐴 · 𝑟)) ∈ ℂ)
89		2ap0 9400	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 # 0
90	89	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 2 # 0)
91	87, 51, 88, 90	divmulapd 9145	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) = ((𝐴 · 𝑞) − (𝐴 · 𝑟)) ↔ (2 · ((𝐴 · 𝑞) − (𝐴 · 𝑟))) = ((𝑞↑2) − (𝑟↑2))))
92	86, 91	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) = ((𝐴 · 𝑞) − (𝐴 · 𝑟)))
93	53, 57, 62	subdid 8743	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝐴 · (𝑞 − 𝑟)) = ((𝐴 · 𝑞) − (𝐴 · 𝑟)))
94	92, 93	eqtr4d 2274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) = (𝐴 · (𝑞 − 𝑟)))
95	87	halfcld 9555	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) ∈ ℂ)
96	57, 62	subcld 8639	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑞 − 𝑟) ∈ ℂ)
97		simprl 535	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝑞 ≠ 𝑟)
98	57, 62, 97	subne0d 8648	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑞 − 𝑟) ≠ 0)
99		qsubcl 10048	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑞 − 𝑟) ∈ ℚ)
100	54, 59, 99	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑞 − 𝑟) ∈ ℚ)
101		0z 9660	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
102		zq 10036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
103	101, 102	mp1i 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 0 ∈ ℚ)
104		qapne 10049	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 − 𝑟) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → ((𝑞 − 𝑟) # 0 ↔ (𝑞 − 𝑟) ≠ 0))
105	100, 103, 104	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝑞 − 𝑟) # 0 ↔ (𝑞 − 𝑟) ≠ 0))
106	98, 105	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑞 − 𝑟) # 0)
107	95, 53, 96, 106	divmulap3d 9158	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) / (𝑞 − 𝑟)) = 𝐴 ↔ (((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) = (𝐴 · (𝑞 − 𝑟))))
108	94, 107	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) / (𝑞 − 𝑟)) = 𝐴)
109		qsqcl 11063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (𝑞↑2) ∈ ℚ)
110	54, 109	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑞↑2) ∈ ℚ)
111		qsqcl 11063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℚ → (𝑟↑2) ∈ ℚ)
112	59, 111	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑟↑2) ∈ ℚ)
113		qsubcl 10048	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞↑2) ∈ ℚ ∧ (𝑟↑2) ∈ ℚ) → ((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) ∈ ℚ)
114	110, 112, 113	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) ∈ ℚ)
115		2z 9677	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
116		zq 10036	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
117	115, 116	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 2 ∈ ℚ)
118		2ne0 9399	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
119	118	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 2 ≠ 0)
120		qdivcl 10053	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 2 ≠ 0) → (((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) ∈ ℚ)
121	114, 117, 119, 120	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) ∈ ℚ)
122		qdivcl 10053	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) ∈ ℚ ∧ (𝑞 − 𝑟) ∈ ℚ ∧ (𝑞 − 𝑟) ≠ 0) → ((((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) / (𝑞 − 𝑟)) ∈ ℚ)
123	121, 100, 98, 122	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) / (𝑞 − 𝑟)) ∈ ℚ)
124	108, 123	eqeltrrd 2316	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝐴 ∈ ℚ)
125	124	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) → ((𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → 𝐴 ∈ ℚ))
126	125	rexlimdvva 2676	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑞 ∈ ℚ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → 𝐴 ∈ ℚ))
127	50, 126	impbid2 143	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑞 ∈ ℚ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 = wceq 1402 ∈ wcel 2209 ≠ wne 2420 ∃wrex 2529 class class class wbr 4130 ‘cfv 5377 (class class class)co 6085 ℂcc 8178 ℝcr 8179 0cc0 8180 1c1 8181 + caddc 8183 · cmul 8185 − cmin 8499 -cneg 8500 # cap 8912 / cdiv 9005 2c2 9358 ℤcz 9649 ℚcq 10029 ℝ⁺crp 10065 ↑cexp 10990 abscabs 11779

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8271 ax-resscn 8272 ax-1cn 8273 ax-1re 8274 ax-icn 8275 ax-addcl 8276 ax-addrcl 8277 ax-mulcl 8278 ax-mulrcl 8279 ax-addcom 8280 ax-mulcom 8281 ax-addass 8282 ax-mulass 8283 ax-distr 8284 ax-i2m1 8285 ax-0lt1 8286 ax-1rid 8287 ax-0id 8288 ax-rnegex 8289 ax-precex 8290 ax-cnre 8291 ax-pre-ltirr 8292 ax-pre-ltwlin 8293 ax-pre-lttrn 8294 ax-pre-apti 8295 ax-pre-ltadd 8296 ax-pre-mulgt0 8297 ax-pre-mulext 8298 ax-arch 8299 ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-frec 6662 df-pnf 8363 df-mnf 8364 df-xr 8365 df-ltxr 8366 df-le 8367 df-sub 8501 df-neg 8502 df-reap 8906 df-ap 8913 df-div 9006 df-inn 9308 df-2 9366 df-3 9367 df-4 9368 df-n0 9569 df-z 9650 df-uz 9932 df-q 10030 df-rp 10066 df-seqfrec 10900 df-exp 10991 df-cj 11623 df-re 11624 df-im 11625 df-rsqrt 11780 df-abs 11781

This theorem is used by: (None)

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