Theorem qdiff 16959

Description: The rationals are exactly those reals for which there exist two distinct rationals that are the same distance from the original number. Similar to apdiff 16958 but by stating the result positively we can completely sidestep the issue of not equal versus apart in the statement of the result. From an online post by Ingo Blechschmidt. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
qdiff	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑞 ∈ ℚ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑞,𝑟

Proof of Theorem qdiff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9620	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zq 9976	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		qsubcl 9988	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐴 − 1) ∈ ℚ)
5	3, 4	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − 1) ∈ ℚ)
6		qaddcl 9985	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
7	3, 6	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
8		qre 9975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
9		1rp 10008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10	9, 9	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+)
11		rpaddcl 10028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (1 + 1) ∈ ℝ+)
12	10, 11	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (1 + 1) ∈ ℝ+)
13	8, 12	ltaddrpd 10081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 < (𝐴 + (1 + 1)))
14	8, 13	ltned 8403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ≠ (𝐴 + (1 + 1)))
15	14	neneqd 2435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ¬ 𝐴 = (𝐴 + (1 + 1)))
16	15	neqcomd 2239	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 + (1 + 1)) = 𝐴)
17		qcn 9984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
18		1cnd 8306	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 1 ∈ ℂ)
19	17, 18, 18	addassd 8312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 + 1) + 1) = (𝐴 + (1 + 1)))
20	19	eqeq1d 2243	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((𝐴 + 1) + 1) = 𝐴 ↔ (𝐴 + (1 + 1)) = 𝐴))
21	16, 20	mtbird 680	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ¬ ((𝐴 + 1) + 1) = 𝐴)
22	17, 18	addcld 8309	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
23	17, 18, 22	subadd2d 8619	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 − 1) = (𝐴 + 1) ↔ ((𝐴 + 1) + 1) = 𝐴))
24	21, 23	mtbird 680	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 − 1) = (𝐴 + 1))
25	24	neqned 2421	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1))
26	18	absnegd 11899	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (abs‘-1) = (abs‘1))
27	17, 17, 18	subsub4d 8631	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 − 𝐴) − 1) = (𝐴 − (𝐴 + 1)))
28	17	subidd 8588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
29	28	oveq1d 6073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 − 𝐴) − 1) = (0 − 1))
30		df-neg 8463	. . . . . . . 8 ⊢ -1 = (0 − 1)
31	29, 30	eqtr4di 2285	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 − 𝐴) − 1) = -1)
32	27, 31	eqtr3d 2269	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − (𝐴 + 1)) = -1)
33	32	fveq2d 5679	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))) = (abs‘-1))
34	17, 18	nncand 8605	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1)
35	34	fveq2d 5679	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘1))
36	26, 33, 35	3eqtr4rd 2278	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
37		neeq2 2428	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (𝐴 + 1) → ((𝐴 − 1) ≠ 𝑟 ↔ (𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1)))
38		oveq2 6066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (𝐴 + 1) → (𝐴 − 𝑟) = (𝐴 − (𝐴 + 1)))
39	38	fveq2d 5679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (𝐴 + 1) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
40	39	eqeq2d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (𝐴 + 1) → ((abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1)))))
41	37, 40	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝐴 + 1) → (((𝐴 − 1) ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ ((𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1) ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))))
42	41	rspcev 2923	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1) ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))) → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐴 − 1) ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
43	7, 25, 36, 42	syl12anc 1272	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐴 − 1) ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
44		neeq1 2427	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝐴 − 1) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ (𝐴 − 1) ≠ 𝑟))
45		oveq2 6066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝐴 − 1) → (𝐴 − 𝑞) = (𝐴 − (𝐴 − 1)))
46	45	fveqeq2d 5683	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝐴 − 1) → ((abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
47	44, 46	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐴 − 1) → ((𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ ((𝐴 − 1) ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
48	47	rexbidv 2545	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝐴 − 1) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐴 − 1) ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
49	48	rspcev 2923	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℚ ∧ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐴 − 1) ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∃𝑞 ∈ ℚ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
50	5, 43, 49	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑞 ∈ ℚ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
51		2cnd 9327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 2 ∈ ℂ)
52		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
53	52	recnd 8318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
54		simplrl 537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝑞 ∈ ℚ)
55		qre 9975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝑞 ∈ ℝ)
57	56	recnd 8318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝑞 ∈ ℂ)
58	53, 57	mulcld 8310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝐴 · 𝑞) ∈ ℂ)
59		simplrr 538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝑟 ∈ ℚ)
60		qre 9975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℝ)
61	59, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
62	61	recnd 8318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
63	53, 62	mulcld 8310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝐴 · 𝑟) ∈ ℂ)
64	51, 58, 63	subdid 8704	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (2 · ((𝐴 · 𝑞) − (𝐴 · 𝑟))) = ((2 · (𝐴 · 𝑞)) − (2 · (𝐴 · 𝑟))))
65	53	sqcld 11058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
66	51, 63	mulcld 8310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (2 · (𝐴 · 𝑟)) ∈ ℂ)
67	51, 58	mulcld 8310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (2 · (𝐴 · 𝑞)) ∈ ℂ)
68	65, 66, 67	nnncan1d 8634	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞)))) = ((2 · (𝐴 · 𝑞)) − (2 · (𝐴 · 𝑟))))
69		simprr 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
70	52, 56	resubcld 8671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝐴 − 𝑞) ∈ ℝ)
71	52, 61	resubcld 8671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ)
72		sqabs 11792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 − 𝑞) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑞)↑2) = ((𝐴 − 𝑟)↑2) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
73	70, 71, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝐴 − 𝑞)↑2) = ((𝐴 − 𝑟)↑2) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
74	69, 73	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝐴 − 𝑞)↑2) = ((𝐴 − 𝑟)↑2))
75		binom2sub 11039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝑞)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞))) + (𝑞↑2)))
76	53, 57, 75	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝐴 − 𝑞)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞))) + (𝑞↑2)))
77		binom2sub 11039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝑟)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) + (𝑟↑2)))
78	53, 62, 77	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝐴 − 𝑟)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) + (𝑟↑2)))
79	74, 76, 78	3eqtr3d 2275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞))) + (𝑞↑2)) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) + (𝑟↑2)))
80	65, 67	subcld 8600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞))) ∈ ℂ)
81	57	sqcld 11058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑞↑2) ∈ ℂ)
82	65, 66	subcld 8600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) ∈ ℂ)
83	62	sqcld 11058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑟↑2) ∈ ℂ)
84	80, 81, 82, 83	addsubeq4d 8651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞))) + (𝑞↑2)) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) + (𝑟↑2)) ↔ (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞)))) = ((𝑞↑2) − (𝑟↑2))))
85	79, 84	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞)))) = ((𝑞↑2) − (𝑟↑2)))
86	64, 68, 85	3eqtr2d 2273	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (2 · ((𝐴 · 𝑞) − (𝐴 · 𝑟))) = ((𝑞↑2) − (𝑟↑2)))
87	81, 83	subcld 8600	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) ∈ ℂ)
88	58, 63	subcld 8600	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝐴 · 𝑞) − (𝐴 · 𝑟)) ∈ ℂ)
89		2ap0 9347	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 # 0
90	89	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 2 # 0)
91	87, 51, 88, 90	divmulapd 9103	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) = ((𝐴 · 𝑞) − (𝐴 · 𝑟)) ↔ (2 · ((𝐴 · 𝑞) − (𝐴 · 𝑟))) = ((𝑞↑2) − (𝑟↑2))))
92	86, 91	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) = ((𝐴 · 𝑞) − (𝐴 · 𝑟)))
93	53, 57, 62	subdid 8704	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝐴 · (𝑞 − 𝑟)) = ((𝐴 · 𝑞) − (𝐴 · 𝑟)))
94	92, 93	eqtr4d 2270	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) = (𝐴 · (𝑞 − 𝑟)))
95	87	halfcld 9500	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) ∈ ℂ)
96	57, 62	subcld 8600	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑞 − 𝑟) ∈ ℂ)
97		simprl 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝑞 ≠ 𝑟)
98	57, 62, 97	subne0d 8609	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑞 − 𝑟) ≠ 0)
99		qsubcl 9988	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑞 − 𝑟) ∈ ℚ)
100	54, 59, 99	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑞 − 𝑟) ∈ ℚ)
101		0z 9605	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
102		zq 9976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
103	101, 102	mp1i 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 0 ∈ ℚ)
104		qapne 9989	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 − 𝑟) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → ((𝑞 − 𝑟) # 0 ↔ (𝑞 − 𝑟) ≠ 0))
105	100, 103, 104	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝑞 − 𝑟) # 0 ↔ (𝑞 − 𝑟) ≠ 0))
106	98, 105	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑞 − 𝑟) # 0)
107	95, 53, 96, 106	divmulap3d 9116	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) / (𝑞 − 𝑟)) = 𝐴 ↔ (((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) = (𝐴 · (𝑞 − 𝑟))))
108	94, 107	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) / (𝑞 − 𝑟)) = 𝐴)
109		qsqcl 10997	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (𝑞↑2) ∈ ℚ)
110	54, 109	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑞↑2) ∈ ℚ)
111		qsqcl 10997	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℚ → (𝑟↑2) ∈ ℚ)
112	59, 111	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑟↑2) ∈ ℚ)
113		qsubcl 9988	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞↑2) ∈ ℚ ∧ (𝑟↑2) ∈ ℚ) → ((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) ∈ ℚ)
114	110, 112, 113	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) ∈ ℚ)
115		2z 9622	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
116		zq 9976	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
117	115, 116	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 2 ∈ ℚ)
118		2ne0 9346	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
119	118	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 2 ≠ 0)
120		qdivcl 9993	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 2 ≠ 0) → (((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) ∈ ℚ)
121	114, 117, 119, 120	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) ∈ ℚ)
122		qdivcl 9993	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) ∈ ℚ ∧ (𝑞 − 𝑟) ∈ ℚ ∧ (𝑞 − 𝑟) ≠ 0) → ((((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) / (𝑞 − 𝑟)) ∈ ℚ)
123	121, 100, 98, 122	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) / (𝑞 − 𝑟)) ∈ ℚ)
124	108, 123	eqeltrrd 2312	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝐴 ∈ ℚ)
125	124	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) → ((𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → 𝐴 ∈ ℚ))
126	125	rexlimdvva 2670	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑞 ∈ ℚ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → 𝐴 ∈ ℚ))
127	50, 126	impbid2 143	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑞 ∈ ℚ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∃wrex 2523   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   · cmul 8148   − cmin 8460  -cneg 8461   # cap 8872   / cdiv 8963  2c2 9305  ℤcz 9594  ℚcq 9969  ℝ⁺crp 10004  ↑cexp 10924  abscabs 11707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709

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