Theorem qdiff 16850

Description: The rationals are exactly those reals for which there exist two distinct rationals that are the same distance from the original number. Similar to apdiff 16849 but by stating the result positively we can completely sidestep the issue of not equal versus apart in the statement of the result. From an online post by Ingo Blechschmidt. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
qdiff	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑞 ∈ ℚ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑞,𝑟

Proof of Theorem qdiff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9605	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zq 9961	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		qsubcl 9973	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐴 − 1) ∈ ℚ)
5	3, 4	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − 1) ∈ ℚ)
6		qaddcl 9970	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
7	3, 6	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
8		qre 9960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
9		1rp 9993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10	9, 9	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+)
11		rpaddcl 10013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (1 + 1) ∈ ℝ+)
12	10, 11	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (1 + 1) ∈ ℝ+)
13	8, 12	ltaddrpd 10066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 < (𝐴 + (1 + 1)))
14	8, 13	ltned 8389	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ≠ (𝐴 + (1 + 1)))
15	14	neneqd 2435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ¬ 𝐴 = (𝐴 + (1 + 1)))
16	15	neqcomd 2239	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 + (1 + 1)) = 𝐴)
17		qcn 9969	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
18		1cnd 8292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 1 ∈ ℂ)
19	17, 18, 18	addassd 8298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 + 1) + 1) = (𝐴 + (1 + 1)))
20	19	eqeq1d 2243	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((𝐴 + 1) + 1) = 𝐴 ↔ (𝐴 + (1 + 1)) = 𝐴))
21	16, 20	mtbird 680	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ¬ ((𝐴 + 1) + 1) = 𝐴)
22	17, 18	addcld 8295	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
23	17, 18, 22	subadd2d 8605	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 − 1) = (𝐴 + 1) ↔ ((𝐴 + 1) + 1) = 𝐴))
24	21, 23	mtbird 680	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 − 1) = (𝐴 + 1))
25	24	neqned 2421	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1))
26	18	absnegd 11878	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (abs‘-1) = (abs‘1))
27	17, 17, 18	subsub4d 8617	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 − 𝐴) − 1) = (𝐴 − (𝐴 + 1)))
28	17	subidd 8574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
29	28	oveq1d 6067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 − 𝐴) − 1) = (0 − 1))
30		df-neg 8449	. . . . . . . 8 ⊢ -1 = (0 − 1)
31	29, 30	eqtr4di 2285	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 − 𝐴) − 1) = -1)
32	27, 31	eqtr3d 2269	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − (𝐴 + 1)) = -1)
33	32	fveq2d 5676	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))) = (abs‘-1))
34	17, 18	nncand 8591	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1)
35	34	fveq2d 5676	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘1))
36	26, 33, 35	3eqtr4rd 2278	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
37		neeq2 2428	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (𝐴 + 1) → ((𝐴 − 1) ≠ 𝑟 ↔ (𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1)))
38		oveq2 6060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (𝐴 + 1) → (𝐴 − 𝑟) = (𝐴 − (𝐴 + 1)))
39	38	fveq2d 5676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (𝐴 + 1) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
40	39	eqeq2d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (𝐴 + 1) → ((abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1)))))
41	37, 40	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝐴 + 1) → (((𝐴 − 1) ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ ((𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1) ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))))
42	41	rspcev 2923	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1) ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))) → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐴 − 1) ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
43	7, 25, 36, 42	syl12anc 1272	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐴 − 1) ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
44		neeq1 2427	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝐴 − 1) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ (𝐴 − 1) ≠ 𝑟))
45		oveq2 6060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝐴 − 1) → (𝐴 − 𝑞) = (𝐴 − (𝐴 − 1)))
46	45	fveqeq2d 5680	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝐴 − 1) → ((abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
47	44, 46	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐴 − 1) → ((𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ ((𝐴 − 1) ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
48	47	rexbidv 2545	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝐴 − 1) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐴 − 1) ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))
49	48	rspcev 2923	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℚ ∧ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐴 − 1) ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ∃𝑞 ∈ ℚ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
50	5, 43, 49	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑞 ∈ ℚ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
51		2cnd 9312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 2 ∈ ℂ)
52		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
53	52	recnd 8304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
54		simplrl 537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝑞 ∈ ℚ)
55		qre 9960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝑞 ∈ ℝ)
57	56	recnd 8304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝑞 ∈ ℂ)
58	53, 57	mulcld 8296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝐴 · 𝑞) ∈ ℂ)
59		simplrr 538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝑟 ∈ ℚ)
60		qre 9960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℝ)
61	59, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
62	61	recnd 8304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
63	53, 62	mulcld 8296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝐴 · 𝑟) ∈ ℂ)
64	51, 58, 63	subdid 8689	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (2 · ((𝐴 · 𝑞) − (𝐴 · 𝑟))) = ((2 · (𝐴 · 𝑞)) − (2 · (𝐴 · 𝑟))))
65	53	sqcld 11037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
66	51, 63	mulcld 8296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (2 · (𝐴 · 𝑟)) ∈ ℂ)
67	51, 58	mulcld 8296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (2 · (𝐴 · 𝑞)) ∈ ℂ)
68	65, 66, 67	nnncan1d 8620	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞)))) = ((2 · (𝐴 · 𝑞)) − (2 · (𝐴 · 𝑟))))
69		simprr 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
70	52, 56	resubcld 8656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝐴 − 𝑞) ∈ ℝ)
71	52, 61	resubcld 8656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ)
72		sqabs 11771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 − 𝑞) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑞)↑2) = ((𝐴 − 𝑟)↑2) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
73	70, 71, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝐴 − 𝑞)↑2) = ((𝐴 − 𝑟)↑2) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
74	69, 73	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝐴 − 𝑞)↑2) = ((𝐴 − 𝑟)↑2))
75		binom2sub 11019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝑞)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞))) + (𝑞↑2)))
76	53, 57, 75	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝐴 − 𝑞)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞))) + (𝑞↑2)))
77		binom2sub 11019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝑟)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) + (𝑟↑2)))
78	53, 62, 77	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝐴 − 𝑟)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) + (𝑟↑2)))
79	74, 76, 78	3eqtr3d 2275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞))) + (𝑞↑2)) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) + (𝑟↑2)))
80	65, 67	subcld 8586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞))) ∈ ℂ)
81	57	sqcld 11037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑞↑2) ∈ ℂ)
82	65, 66	subcld 8586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) ∈ ℂ)
83	62	sqcld 11037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑟↑2) ∈ ℂ)
84	80, 81, 82, 83	addsubeq4d 8637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞))) + (𝑞↑2)) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) + (𝑟↑2)) ↔ (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞)))) = ((𝑞↑2) − (𝑟↑2))))
85	79, 84	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑟))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝑞)))) = ((𝑞↑2) − (𝑟↑2)))
86	64, 68, 85	3eqtr2d 2273	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (2 · ((𝐴 · 𝑞) − (𝐴 · 𝑟))) = ((𝑞↑2) − (𝑟↑2)))
87	81, 83	subcld 8586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) ∈ ℂ)
88	58, 63	subcld 8586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝐴 · 𝑞) − (𝐴 · 𝑟)) ∈ ℂ)
89		2ap0 9332	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 # 0
90	89	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 2 # 0)
91	87, 51, 88, 90	divmulapd 9088	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) = ((𝐴 · 𝑞) − (𝐴 · 𝑟)) ↔ (2 · ((𝐴 · 𝑞) − (𝐴 · 𝑟))) = ((𝑞↑2) − (𝑟↑2))))
92	86, 91	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) = ((𝐴 · 𝑞) − (𝐴 · 𝑟)))
93	53, 57, 62	subdid 8689	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝐴 · (𝑞 − 𝑟)) = ((𝐴 · 𝑞) − (𝐴 · 𝑟)))
94	92, 93	eqtr4d 2270	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) = (𝐴 · (𝑞 − 𝑟)))
95	87	halfcld 9485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) ∈ ℂ)
96	57, 62	subcld 8586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑞 − 𝑟) ∈ ℂ)
97		simprl 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝑞 ≠ 𝑟)
98	57, 62, 97	subne0d 8595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑞 − 𝑟) ≠ 0)
99		qsubcl 9973	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑞 − 𝑟) ∈ ℚ)
100	54, 59, 99	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑞 − 𝑟) ∈ ℚ)
101		0z 9590	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
102		zq 9961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
103	101, 102	mp1i 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 0 ∈ ℚ)
104		qapne 9974	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 − 𝑟) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → ((𝑞 − 𝑟) # 0 ↔ (𝑞 − 𝑟) ≠ 0))
105	100, 103, 104	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝑞 − 𝑟) # 0 ↔ (𝑞 − 𝑟) ≠ 0))
106	98, 105	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑞 − 𝑟) # 0)
107	95, 53, 96, 106	divmulap3d 9101	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) / (𝑞 − 𝑟)) = 𝐴 ↔ (((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) = (𝐴 · (𝑞 − 𝑟))))
108	94, 107	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) / (𝑞 − 𝑟)) = 𝐴)
109		qsqcl 10977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (𝑞↑2) ∈ ℚ)
110	54, 109	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑞↑2) ∈ ℚ)
111		qsqcl 10977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℚ → (𝑟↑2) ∈ ℚ)
112	59, 111	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (𝑟↑2) ∈ ℚ)
113		qsubcl 9973	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞↑2) ∈ ℚ ∧ (𝑟↑2) ∈ ℚ) → ((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) ∈ ℚ)
114	110, 112, 113	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) ∈ ℚ)
115		2z 9607	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
116		zq 9961	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
117	115, 116	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 2 ∈ ℚ)
118		2ne0 9331	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
119	118	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 2 ≠ 0)
120		qdivcl 9978	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 2 ≠ 0) → (((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) ∈ ℚ)
121	114, 117, 119, 120	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → (((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) ∈ ℚ)
122		qdivcl 9978	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) ∈ ℚ ∧ (𝑞 − 𝑟) ∈ ℚ ∧ (𝑞 − 𝑟) ≠ 0) → ((((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) / (𝑞 − 𝑟)) ∈ ℚ)
123	121, 100, 98, 122	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ((((𝑞↑2) − (𝑟↑2)) / 2) / (𝑞 − 𝑟)) ∈ ℚ)
124	108, 123	eqeltrrd 2312	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → 𝐴 ∈ ℚ)
125	124	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) → ((𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → 𝐴 ∈ ℚ))
126	125	rexlimdvva 2670	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑞 ∈ ℚ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → 𝐴 ∈ ℚ))
127	50, 126	impbid2 143	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑞 ∈ ℚ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∃wrex 2523   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  ℂcc 8127  ℝcr 8128  0cc0 8129  1c1 8130   + caddc 8132   · cmul 8134   − cmin 8446  -cneg 8447   # cap 8857   / cdiv 8948  2c2 9290  ℤcz 9579  ℚcq 9954  ℝ⁺crp 9989  ↑cexp 10904  abscabs 11686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248  ax-caucvg 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-q 9955  df-rp 9990  df-seqfrec 10814  df-exp 10905  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533  df-rsqrt 11687  df-abs 11688

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