Theorem abelthlem1 26759

Description: Lemma for abelth 26769. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
abelthlem1	⊢ (𝜑 → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝑟,𝐴   𝜑,𝑛,𝑟

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem abelthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abs1 15465	. 2 ⊢ (abs‘1) = 1
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))
3		abelth.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
5		1cnd 11303	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6	3	feqmptd 6953	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴‘𝑛)))
7	3	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
8	7	mulridd 11327	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · 1) = (𝐴‘𝑛))
9	8	mpteq2dva 5197	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴‘𝑛)))
10	6, 9	eqtr4d 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)))
11		ax-1cn 11259	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		oveq1 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧↑𝑛) = (1↑𝑛))
13		nn0z 12718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
14		1exp 14235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
16	12, 15	sylan9eq 2815	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 = 1 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑛) = 1)
17	16	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 1 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) · 1))
18	17	mpteq2dva 5197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)))
19		nn0ex 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
20	19	mptex 7229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)) ∈ V
21	18, 2, 20	fvmpt 6993	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1)))
22	11, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · 1))
23	10, 22	eqtr4di 2813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘1))
24	23	seqeq3d 14153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) = seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘1)))
25		abelth.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
26	24, 25	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘1)) ∈ dom ⇝ )
27	2, 3, 4, 5, 26	radcnvle 26748	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘1) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
28	1, 27	eqbrtrrid 5140	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑧↑𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  supcsup 9433  ℂcc 11199  ℝcr 11200  0cc0 11201  1c1 11202   + caddc 11204   · cmul 11206  ℝ^*cxr 11343   < clt 11344   ≤ cle 11345  ℕ₀cn0 12607  ℤcz 12694  seqcseq 14145  ↑cexp 14205  abscabs 15402   ⇝ cli 15652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-pm 8851  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-ico 13483  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-limsup 15639  df-clim 15656  df-rlim 15657  df-sum 15855

This theorem is used by:  abelthlem3  26761  abelth  26769