Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  altgsumbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem altgsumbc 46518
Description: The sum of binomial coefficients for a fixed positive ๐‘ with alternating signs is zero. Notice that this is not valid for ๐‘ = 0 (since ((-1โ†‘0) ยท (0C0)) = (1 ยท 1) = 1). For a proof using Pascal's rule (bcpascm1 46517) instead of the binomial theorem (binom 15723), see altgsumbcALT 46519. (Contributed by AV, 13-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
altgsumbc (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘C๐‘˜)) = 0)
Distinct variable group:   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem altgsumbc
StepHypRef Expression
1 1cnd 11158 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2 negid 11456 . . . . 5 (1 โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + -1) = 0)
32eqcomd 2739 . . . 4 (1 โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 = (1 + -1))
41, 3syl 17 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 = (1 + -1))
54oveq1d 7376 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘๐‘) = ((1 + -1)โ†‘๐‘))
6 0exp 14012 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘๐‘) = 0)
71negcld 11507 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
8 nnnn0 12428 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
9 binom 15723 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 + -1)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((1โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-1โ†‘๐‘˜))))
101, 7, 8, 9syl3anc 1372 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + -1)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((1โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-1โ†‘๐‘˜))))
11 nnz 12528 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
12 elfzelz 13450 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
13 zsubcl 12553 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
1411, 12, 13syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
15 1exp 14006 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) = 1)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (1โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) = 1)
1716oveq1d 7376 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((1โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-1โ†‘๐‘˜)) = (1 ยท (-1โ†‘๐‘˜)))
18 neg1cn 12275 . . . . . . . . . 10 -1 โˆˆ โ„‚
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
20 elfznn0 13543 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
21 expcl 13994 . . . . . . . . 9 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2219, 20, 21syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2322mullidd 11181 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (1 ยท (-1โ†‘๐‘˜)) = (-1โ†‘๐‘˜))
2417, 23eqtrd 2773 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((1โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-1โ†‘๐‘˜)) = (-1โ†‘๐‘˜))
2524oveq2d 7377 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((1โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-1โ†‘๐‘˜))) = ((๐‘C๐‘˜) ยท (-1โ†‘๐‘˜)))
26 bccl 14231 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
278, 12, 26syl2an 597 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
2827nn0cnd 12483 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2928, 22mulcomd 11184 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท (-1โ†‘๐‘˜)) = ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘C๐‘˜)))
3025, 29eqtrd 2773 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((1โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-1โ†‘๐‘˜))) = ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘C๐‘˜)))
3130sumeq2dv 15596 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((1โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-1โ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘C๐‘˜)))
3210, 31eqtrd 2773 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + -1)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘C๐‘˜)))
335, 6, 323eqtr3rd 2782 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘C๐‘˜)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393  -cneg 11394  โ„•cn 12161  โ„•0cn0 12421  โ„คcz 12507  ...cfz 13433  โ†‘cexp 13976  Ccbc 14211  ฮฃcsu 15579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator