Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  altgsumbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem altgsumbc 48268
Description: The sum of binomial coefficients for a fixed positive 𝑁 with alternating signs is zero. Notice that this is not valid for 𝑁 = 0 (since ((-1↑0) · (0C0)) = (1 · 1) = 1). For a proof using Pascal's rule (bcpascm1 48267) instead of the binomial theorem (binom 15866), see altgsumbcALT 48269. (Contributed by AV, 13-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
altgsumbc (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = 0)
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem altgsumbc
StepHypRef Expression
1 1cnd 11256 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
2 negid 11556 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (1 + -1) = 0)
32eqcomd 2743 . . . 4 (1 ∈ ℂ → 0 = (1 + -1))
41, 3syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 0 = (1 + -1))
54oveq1d 7446 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = ((1 + -1)↑𝑁))
6 0exp 14138 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
71negcld 11607 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
8 nnnn0 12533 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
9 binom 15866 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 + -1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘))))
101, 7, 8, 9syl3anc 1373 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + -1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘))))
11 nnz 12634 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
12 elfzelz 13564 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
13 zsubcl 12659 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
1411, 12, 13syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
15 1exp 14132 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑘) ∈ ℤ → (1↑(𝑁𝑘)) = 1)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1↑(𝑁𝑘)) = 1)
1716oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘)) = (1 · (-1↑𝑘)))
18 neg1cn 12380 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
20 elfznn0 13660 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21 expcl 14120 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
2219, 20, 21syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
2322mullidd 11279 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (-1↑𝑘)) = (-1↑𝑘))
2417, 23eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘)) = (-1↑𝑘))
2524oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · (-1↑𝑘)))
26 bccl 14361 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
278, 12, 26syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
2827nn0cnd 12589 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
2928, 22mulcomd 11282 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (-1↑𝑘)) = ((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
3025, 29eqtrd 2777 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘))) = ((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
3130sumeq2dv 15738 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
3210, 31eqtrd 2777 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + -1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
335, 6, 323eqtr3rd 2786 1 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  ...cfz 13547  cexp 14102  Ccbc 14341  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator