Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  altgsumbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem altgsumbc 47388
Description: The sum of binomial coefficients for a fixed positive 𝑁 with alternating signs is zero. Notice that this is not valid for 𝑁 = 0 (since ((-1↑0) · (0C0)) = (1 · 1) = 1). For a proof using Pascal's rule (bcpascm1 47387) instead of the binomial theorem (binom 15802), see altgsumbcALT 47389. (Contributed by AV, 13-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
altgsumbc (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = 0)
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem altgsumbc
StepHypRef Expression
1 1cnd 11233 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
2 negid 11531 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (1 + -1) = 0)
32eqcomd 2733 . . . 4 (1 ∈ ℂ → 0 = (1 + -1))
41, 3syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 0 = (1 + -1))
54oveq1d 7429 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = ((1 + -1)↑𝑁))
6 0exp 14088 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
71negcld 11582 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
8 nnnn0 12503 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
9 binom 15802 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 + -1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘))))
101, 7, 8, 9syl3anc 1369 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + -1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘))))
11 nnz 12603 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
12 elfzelz 13527 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
13 zsubcl 12628 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
1411, 12, 13syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
15 1exp 14082 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑘) ∈ ℤ → (1↑(𝑁𝑘)) = 1)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1↑(𝑁𝑘)) = 1)
1716oveq1d 7429 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘)) = (1 · (-1↑𝑘)))
18 neg1cn 12350 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
20 elfznn0 13620 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21 expcl 14070 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
2219, 20, 21syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
2322mullidd 11256 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (-1↑𝑘)) = (-1↑𝑘))
2417, 23eqtrd 2767 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘)) = (-1↑𝑘))
2524oveq2d 7430 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · (-1↑𝑘)))
26 bccl 14307 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
278, 12, 26syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
2827nn0cnd 12558 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
2928, 22mulcomd 11259 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (-1↑𝑘)) = ((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
3025, 29eqtrd 2767 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘))) = ((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
3130sumeq2dv 15675 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
3210, 31eqtrd 2767 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + -1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
335, 6, 323eqtr3rd 2776 1 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  (class class class)co 7414  cc 11130  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   · cmul 11137  cmin 11468  -cneg 11469  cn 12236  0cn0 12496  cz 12582  ...cfz 13510  cexp 14052  Ccbc 14287  Σcsu 15658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-exp 14053  df-fac 14259  df-bc 14288  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-sum 15659
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator