Theorem altgsumbc 49463

Description: The sum of binomial coefficients for a fixed positive 𝑁 with alternating signs is zero. Notice that this is not valid for 𝑁 = 0 (since (( -1↑0) · (0C0)) = (1 · 1) = 1). For a proof using Pascal's rule (bcpascm1 49462) instead of the binomial theorem (binom 15999), see altgsumbcALT 49464. (Contributed by AV, 13-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
altgsumbc	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(( -1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = 0)

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem altgsumbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11302	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
2		negid 11605	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (1 + -1) = 0)
3	2	eqcomd 2767	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ → 0 = (1 + -1))
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 = (1 + -1))
5	4	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = ((1 + -1)↑𝑁))
6		0exp 14240	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
7	1	negcld 11656	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
8		nnnn0 12613	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
9		binom 15999	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 + -1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁 − 𝑘)) · ( -1↑𝑘))))
10	1, 7, 8, 9	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + -1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁 − 𝑘)) · ( -1↑𝑘))))
11		nnz 12714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
12		elfzelz 13656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
13		zsubcl 12738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
14	11, 12, 13	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
15		1exp 14234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ → (1↑(𝑁 − 𝑘)) = 1)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1↑(𝑁 − 𝑘)) = 1)
17	16	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((1↑(𝑁 − 𝑘)) · ( -1↑𝑘)) = (1 · ( -1↑𝑘)))
18		neg1cn 12305	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
20		elfznn0 13754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21		expcl 14222	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ( -1↑𝑘) ∈ ℂ)
22	19, 20, 21	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ( -1↑𝑘) ∈ ℂ)
23	22	mullidd 11327	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1 · ( -1↑𝑘)) = ( -1↑𝑘))
24	17, 23	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((1↑(𝑁 − 𝑘)) · ( -1↑𝑘)) = ( -1↑𝑘))
25	24	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁 − 𝑘)) · ( -1↑𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · ( -1↑𝑘)))
26		bccl 14466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
27	8, 12, 26	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
28	27	nn0cnd 12669	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
29	28, 22	mulcomd 11330	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ( -1↑𝑘)) = (( -1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
30	25, 29	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁 − 𝑘)) · ( -1↑𝑘))) = (( -1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
31	30	sumeq2dv 15869	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁 − 𝑘)) · ( -1↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(( -1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
32	10, 31	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + -1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(( -1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
33	5, 6, 32	3eqtr3rd 2805	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(( -1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   − cmin 11541   -cneg 11542  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ...cfz 13639  ↑cexp 14204  Ccbc 14446  Σcsu 15853

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854

This theorem is used by: (None)