Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  altgsumbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem altgsumbc 47304
Description: The sum of binomial coefficients for a fixed positive ๐‘ with alternating signs is zero. Notice that this is not valid for ๐‘ = 0 (since ((-1โ†‘0) ยท (0C0)) = (1 ยท 1) = 1). For a proof using Pascal's rule (bcpascm1 47303) instead of the binomial theorem (binom 15782), see altgsumbcALT 47305. (Contributed by AV, 13-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
altgsumbc (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘C๐‘˜)) = 0)
Distinct variable group:   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem altgsumbc
StepHypRef Expression
1 1cnd 11213 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2 negid 11511 . . . . 5 (1 โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + -1) = 0)
32eqcomd 2732 . . . 4 (1 โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 = (1 + -1))
41, 3syl 17 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 = (1 + -1))
54oveq1d 7420 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘๐‘) = ((1 + -1)โ†‘๐‘))
6 0exp 14068 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘๐‘) = 0)
71negcld 11562 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
8 nnnn0 12483 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
9 binom 15782 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 + -1)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((1โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-1โ†‘๐‘˜))))
101, 7, 8, 9syl3anc 1368 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + -1)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((1โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-1โ†‘๐‘˜))))
11 nnz 12583 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
12 elfzelz 13507 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
13 zsubcl 12608 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
1411, 12, 13syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
15 1exp 14062 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) = 1)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (1โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) = 1)
1716oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((1โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-1โ†‘๐‘˜)) = (1 ยท (-1โ†‘๐‘˜)))
18 neg1cn 12330 . . . . . . . . . 10 -1 โˆˆ โ„‚
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
20 elfznn0 13600 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
21 expcl 14050 . . . . . . . . 9 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2219, 20, 21syl2an 595 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2322mullidd 11236 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (1 ยท (-1โ†‘๐‘˜)) = (-1โ†‘๐‘˜))
2417, 23eqtrd 2766 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((1โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-1โ†‘๐‘˜)) = (-1โ†‘๐‘˜))
2524oveq2d 7421 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((1โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-1โ†‘๐‘˜))) = ((๐‘C๐‘˜) ยท (-1โ†‘๐‘˜)))
26 bccl 14287 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
278, 12, 26syl2an 595 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
2827nn0cnd 12538 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2928, 22mulcomd 11239 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท (-1โ†‘๐‘˜)) = ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘C๐‘˜)))
3025, 29eqtrd 2766 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((1โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-1โ†‘๐‘˜))) = ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘C๐‘˜)))
3130sumeq2dv 15655 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((1โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-1โ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘C๐‘˜)))
3210, 31eqtrd 2766 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + -1)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘C๐‘˜)))
335, 6, 323eqtr3rd 2775 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘C๐‘˜)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  ...cfz 13490  โ†‘cexp 14032  Ccbc 14267  ฮฃcsu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator