Theorem altgsumbc 47512

Description: The sum of binomial coefficients for a fixed positive 𝑁 with alternating signs is zero. Notice that this is not valid for 𝑁 = 0 (since ((-1↑0) · (0C0)) = (1 · 1) = 1). For a proof using Pascal's rule (bcpascm1 47511) instead of the binomial theorem (binom 15818), see altgsumbcALT 47513. (Contributed by AV, 13-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
altgsumbc	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = 0)

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem altgsumbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11249	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
2		negid 11547	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (1 + -1) = 0)
3	2	eqcomd 2734	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ → 0 = (1 + -1))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 = (1 + -1))
5	4	oveq1d 7441	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = ((1 + -1)↑𝑁))
6		0exp 14104	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
7	1	negcld 11598	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
8		nnnn0 12519	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
9		binom 15818	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 + -1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁 − 𝑘)) · (-1↑𝑘))))
10	1, 7, 8, 9	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + -1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁 − 𝑘)) · (-1↑𝑘))))
11		nnz 12619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
12		elfzelz 13543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
13		zsubcl 12644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
14	11, 12, 13	syl2an 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
15		1exp 14098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ → (1↑(𝑁 − 𝑘)) = 1)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1↑(𝑁 − 𝑘)) = 1)
17	16	oveq1d 7441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((1↑(𝑁 − 𝑘)) · (-1↑𝑘)) = (1 · (-1↑𝑘)))
18		neg1cn 12366	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
20		elfznn0 13636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21		expcl 14086	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
22	19, 20, 21	syl2an 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
23	22	mullidd 11272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (-1↑𝑘)) = (-1↑𝑘))
24	17, 23	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((1↑(𝑁 − 𝑘)) · (-1↑𝑘)) = (-1↑𝑘))
25	24	oveq2d 7442	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁 − 𝑘)) · (-1↑𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · (-1↑𝑘)))
26		bccl 14323	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
27	8, 12, 26	syl2an 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
28	27	nn0cnd 12574	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
29	28, 22	mulcomd 11275	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (-1↑𝑘)) = ((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
30	25, 29	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁 − 𝑘)) · (-1↑𝑘))) = ((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
31	30	sumeq2dv 15691	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁 − 𝑘)) · (-1↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
32	10, 31	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + -1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
33	5, 6, 32	3eqtr3rd 2777	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7426  ℂcc 11146  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   · cmul 11153   − cmin 11484  -cneg 11485  ℕcn 12252  ℕ₀cn0 12512  ℤcz 12598  ...cfz 13526  ↑cexp 14068  Ccbc 14303  Σcsu 15674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275  df-bc 14304  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-sum 15675

This theorem is referenced by: (None)