Theorem altgsumbc 49017

Description: The sum of binomial coefficients for a fixed positive 𝑁 with alternating signs is zero. Notice that this is not valid for 𝑁 = 0 (since ((-1↑0) · (0C0)) = (1 · 1) = 1). For a proof using Pascal's rule (bcpascm1 49016) instead of the binomial theorem (binom 15884), see altgsumbcALT 49018. (Contributed by AV, 13-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
altgsumbc	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = 0)

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem altgsumbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11202	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
2		negid 11505	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (1 + -1) = 0)
3	2	eqcomd 2775	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ → 0 = (1 + -1))
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 = (1 + -1))
5	4	oveq1d 7426	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = ((1 + -1)↑𝑁))
6		0exp 14133	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
7	1	negcld 11556	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
8		nnnn0 12511	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
9		binom 15884	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 + -1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁 − 𝑘)) · (-1↑𝑘))))
10	1, 7, 8, 9	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + -1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁 − 𝑘)) · (-1↑𝑘))))
11		nnz 12612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
12		elfzelz 13552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
13		zsubcl 12636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
14	11, 12, 13	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
15		1exp 14127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ → (1↑(𝑁 − 𝑘)) = 1)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1↑(𝑁 − 𝑘)) = 1)
17	16	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((1↑(𝑁 − 𝑘)) · (-1↑𝑘)) = (1 · (-1↑𝑘)))
18		neg1cn 12203	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
20		elfznn0 13648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21		expcl 14115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
22	19, 20, 21	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
23	22	mullidd 11227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (-1↑𝑘)) = (-1↑𝑘))
24	17, 23	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((1↑(𝑁 − 𝑘)) · (-1↑𝑘)) = (-1↑𝑘))
25	24	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁 − 𝑘)) · (-1↑𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · (-1↑𝑘)))
26		bccl 14358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
27	8, 12, 26	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
28	27	nn0cnd 12567	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
29	28, 22	mulcomd 11230	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (-1↑𝑘)) = ((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
30	25, 29	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁 − 𝑘)) · (-1↑𝑘))) = ((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
31	30	sumeq2dv 15753	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((1↑(𝑁 − 𝑘)) · (-1↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
32	10, 31	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + -1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)))
33	5, 6, 32	3eqtr3rd 2813	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   − cmin 11441  -cneg 11442  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591  ...cfz 13535  ↑cexp 14097  Ccbc 14338  Σcsu 15737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-sum 15738

This theorem is referenced by: (None)