Theorem basel 27118

Description: The sum of the inverse squares is π↑2 / 6. This is commonly known as the Basel problem, with the first known proof attributed to Euler. See http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem. This particular proof approach is due to Cauchy (1821). This is Metamath 100 proof #14. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
basel	⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)

Proof of Theorem basel

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (2 · 𝑚) = (2 · 𝑛))
2	1	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
3	2	oveq2d 7440	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (1 / ((2 · 𝑚) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
4	3	cbvmptv 5266	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑚) + 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
5		oveq1 7431	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚↑-2) = (𝑛↑-2))
6	5	cbvmptv 5266	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚↑-2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))
7		seqeq3 14026	. . 3 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚↑-2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚↑-2))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))))
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚↑-2))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
9		eqid 2726	. 2 ⊢ ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑚) + 1))))) = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑚) + 1)))))
10		eqid 2726	. 2 ⊢ (((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑚) + 1))))) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑚) + 1)))))) = (((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑚) + 1))))) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑚) + 1))))))
11		eqid 2726	. 2 ⊢ (((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑚) + 1))))) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑚) + 1))))) = (((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑚) + 1))))) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑚) + 1)))))
12	4, 8, 9, 10, 11	basellem9 27117	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)

Syntax hints:   = wceq 1534  {csn 4633   ↦ cmpt 5236   × cxp 5680  (class class class)co 7424   ∘_f cof 7688  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163   − cmin 11494  -cneg 11495   / cdiv 11921  ℕcn 12264  2c2 12319  6c6 12323  seqcseq 14021  ↑cexp 14081  Σcsu 15690  πcpi 16068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-ef 16069  df-sin 16071  df-cos 16072  df-tan 16073  df-pi 16074  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-0p 25690  df-limc 25886  df-dv 25887  df-ply 26215  df-idp 26216  df-coe 26217  df-dgr 26218  df-quot 26319

This theorem is referenced by: (None)