Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxp 42711
Description: Generalize the binomial theorem binom 15722 to positive real summand ๐ด, real summand ๐ต, and complex exponent ๐ถ. Proof in https://en.wikibooks.org/wiki/Advanced_Calculus 15722; see also https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_series 15722, https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem 15722 (sections "Newton's generalized binomial theorem" and "Future generalizations"), and proof "General Binomial Theorem" in https://proofwiki.org/wiki/Binomial_Theorem 15722. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
binomcxp.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
binomcxp.lt (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ต) < (absโ€˜๐ด))
binomcxp.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
binomcxp (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ถC๐‘๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘๐‘(๐ถ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
Distinct variable groups:   ๐ถ,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜

Proof of Theorem binomcxp
Dummy variables ๐‘— ๐‘ ๐‘Ÿ ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxp.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
2 binomcxp.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 binomcxp.lt . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ต) < (absโ€˜๐ด))
4 binomcxp.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
51, 2, 3, 4binomcxplemnn0 42703 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ถC๐‘๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘๐‘(๐ถ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
6 eqid 2737 . . 3 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—)) = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))
7 fveq2 6847 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜))
8 oveq2 7370 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘ฅ) = (๐‘โ†‘๐‘˜))
97, 8oveq12d 7380 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ)) = (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘โ†‘๐‘˜)))
109cbvmptv 5223 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘โ†‘๐‘˜)))
1110mpteq2i 5215 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ)))) = (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘โ†‘๐‘˜))))
12 eqid 2737 . . 3 sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ) = sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < )
13 id 22 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘˜)
14 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐‘— โ†’ (๐ถC๐‘๐‘ฆ) = (๐ถC๐‘๐‘—))
1514cbvmptv 5223 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ)) = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ)) = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—)))
1716, 13fveq12d 6854 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜))
1813, 17oveq12d 7380 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ ยท ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ))โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘˜ ยท ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
19 oveq1 7369 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 1) = (๐‘˜ โˆ’ 1))
2019oveq2d 7378 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ฅ โˆ’ 1)) = (๐‘โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))
2118, 20oveq12d 7380 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ))โ€˜๐‘ฅ)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ฅ โˆ’ 1))) = ((๐‘˜ ยท ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))))
2221cbvmptv 5223 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ฅ ยท ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ))โ€˜๐‘ฅ)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ฅ โˆ’ 1)))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘˜ ยท ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))))
2322mpteq2i 5215 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ฅ ยท ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ))โ€˜๐‘ฅ)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ฅ โˆ’ 1))))) = (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘˜ ยท ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
24 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ (๐ถC๐‘๐‘ฅ) = (๐ถC๐‘๐‘—))
2524cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ)) = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))
2625fveq1i 6848 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ)
2726oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ)) = (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))
2827mpteq2i 5215 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ)))
2928mpteq2i 5215 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ)))) = (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))
3029fveq1i 6848 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ) = ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)
31 seqeq3 13918 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ) = ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ) โ†’ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) = seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) = seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ))
3332eleq1i 2829 . . . . . . 7 (seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ )
3433rabbii 3416 . . . . . 6 {๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ } = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }
3534supeq1i 9390 . . . . 5 sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ) = sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < )
3635oveq2i 7373 . . . 4 (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < )) = (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ))
3736imaeq2i 6016 . . 3 (โ—กabs โ€œ (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ))) = (โ—กabs โ€œ (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < )))
38 eqid 2737 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ—กabs โ€œ (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ))) โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) = (๐‘ โˆˆ (โ—กabs โ€œ (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ))) โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜))
391, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 23, 37, 38binomcxplemnotnn0 42710 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ถC๐‘๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘๐‘(๐ถ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
405, 39pm2.61dan 812 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ถC๐‘๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘๐‘(๐ถ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3410   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ—กccnv 5637  dom cdm 5638   โ€œ cima 5641  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  supcsup 9383  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063  โ„*cxr 11195   < clt 11196   โˆ’ cmin 11392  โ„•cn 12160  โ„•0cn0 12420  โ„+crp 12922  [,)cico 13273  seqcseq 13913  โ†‘cexp 13974  abscabs 15126   โ‡ cli 15373  ฮฃcsu 15577  โ†‘๐‘ccxp 25927  C๐‘cbcc 42690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-prod 15796  df-risefac 15896  df-fallfac 15897  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-tan 15961  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ulm 25752  df-log 25928  df-cxp 25929  df-bcc 42691
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator