Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem binomcxp 43843
Description: Generalize the binomial theorem binom 15818 to positive real summand ๐ด, real summand ๐ต, and complex exponent ๐ถ. Proof in https://en.wikibooks.org/wiki/Advanced_Calculus 15818; see also https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_series 15818, https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem 15818 (sections "Newton's generalized binomial theorem" and "Future generalizations"), and proof "General Binomial Theorem" in https://proofwiki.org/wiki/Binomial_Theorem 15818. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
binomcxp.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
binomcxp.lt (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ต) < (absโ€˜๐ด))
binomcxp.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
binomcxp (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ถC๐‘๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘๐‘(๐ถ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
Distinct variable groups:   ๐ถ,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜
Proof of Theorem binomcxp
Dummy variables ๐‘— ๐‘ ๐‘Ÿ ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxp.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
2 binomcxp.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 binomcxp.lt . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ต) < (absโ€˜๐ด))
4 binomcxp.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
51, 2, 3, 4binomcxplemnn0 43835 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ถC๐‘๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘๐‘(๐ถ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
6 eqid 2728 . . 3 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—)) = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))
7 fveq2 6902 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜))
8 oveq2 7434 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘ฅ) = (๐‘โ†‘๐‘˜))
97, 8oveq12d 7444 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ)) = (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘โ†‘๐‘˜)))
109cbvmptv 5265 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘โ†‘๐‘˜)))
1110mpteq2i 5257 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ)))) = (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘โ†‘๐‘˜))))
12 eqid 2728 . . 3 sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ) = sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < )
13 id 22 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘˜)
14 oveq2 7434 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐‘— โ†’ (๐ถC๐‘๐‘ฆ) = (๐ถC๐‘๐‘—))
1514cbvmptv 5265 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ)) = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ)) = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—)))
1716, 13fveq12d 6909 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜))
1813, 17oveq12d 7444 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ ยท ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ))โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘˜ ยท ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
19 oveq1 7433 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 1) = (๐‘˜ โˆ’ 1))
2019oveq2d 7442 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ฅ โˆ’ 1)) = (๐‘โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))
2118, 20oveq12d 7444 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ))โ€˜๐‘ฅ)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ฅ โˆ’ 1))) = ((๐‘˜ ยท ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))))
2221cbvmptv 5265 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ฅ ยท ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ))โ€˜๐‘ฅ)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ฅ โˆ’ 1)))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘˜ ยท ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))))
2322mpteq2i 5257 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ฅ ยท ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ))โ€˜๐‘ฅ)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ฅ โˆ’ 1))))) = (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘˜ ยท ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
24 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ (๐ถC๐‘๐‘ฅ) = (๐ถC๐‘๐‘—))
2524cbvmptv 5265 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ)) = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))
2625fveq1i 6903 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ)
2726oveq1i 7436 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ)) = (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))
2827mpteq2i 5257 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ)))
2928mpteq2i 5257 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ)))) = (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))
3029fveq1i 6903 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ) = ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)
31 seqeq3 14013 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ) = ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ) โ†’ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) = seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) = seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ))
3332eleq1i 2820 . . . . . . 7 (seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ )
3433rabbii 3436 . . . . . 6 {๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ } = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }
3534supeq1i 9480 . . . . 5 sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ) = sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < )
3635oveq2i 7437 . . . 4 (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < )) = (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ))
3736imaeq2i 6066 . . 3 (โ—กabs โ€œ (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ))) = (โ—กabs โ€œ (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < )))
38 eqid 2728 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ—กabs โ€œ (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ))) โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) = (๐‘ โˆˆ (โ—กabs โ€œ (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ))) โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜))
391, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 23, 37, 38binomcxplemnotnn0 43842 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ถC๐‘๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘๐‘(๐ถ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
405, 39pm2.61dan 811 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ถC๐‘๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘๐‘(๐ถ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3430   class class class wbr 5152   โ†ฆ cmpt 5235  โ—กccnv 5681  dom cdm 5682   โ€œ cima 5685  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  supcsup 9473  โ„‚cc 11146  โ„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   ยท cmul 11153  โ„*cxr 11287   < clt 11288   โˆ’ cmin 11484  โ„•cn 12252  โ„•0cn0 12512  โ„+crp 13016  [,)cico 13368  seqcseq 14008  โ†‘cexp 14068  abscabs 15223   โ‡ cli 15470  ฮฃcsu 15674  โ†‘๐‘ccxp 26517  C๐‘cbcc 43822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ioc 13371  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275  df-bc 14304  df-hash 14332  df-shft 15056  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-limsup 15457  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-prod 15892  df-risefac 15992  df-fallfac 15993  df-ef 16053  df-sin 16055  df-cos 16056  df-tan 16057  df-pi 16058  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-mulg 19038  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-lp 23068  df-perf 23069  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-haus 23247  df-cmp 23319  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cncf 24826  df-limc 25823  df-dv 25824  df-ulm 26341  df-log 26518  df-cxp 26519  df-bcc 43823
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator