Theorem binomcxp 45300

Description: Generalize the binomial theorem binom 15979 to positive real summand 𝐴, real summand 𝐵, and complex exponent 𝐶. Proof in https://en.wikibooks.org/wiki/Advanced_Calculus 15979; see also https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_series 15979, https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem 15979 (sections "Newton's generalized binomial theorem" and "Future generalizations"), and proof "General Binomial Theorem" in https://proofwiki.org/wiki/Binomial_Theorem 15979. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
binomcxp	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem binomcxp

Dummy variables 𝑗 𝑏 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		binomcxp.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		binomcxp.lt	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
4		binomcxp.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	binomcxplemnn0 45292	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
6		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
7		fveq2 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘))
8		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑏↑𝑥) = (𝑏↑𝑘))
9	7, 8	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥)) = (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
10	9	cbvmptv 5209	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
11	10	mpteq2i 5201	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥)))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
12		eqid 2761	. . 3 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
13		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝑥 = 𝑘)
14		oveq2 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → (𝐶C𝑐𝑦) = (𝐶C𝑐𝑗))
15	14	cbvmptv 5209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
17	16, 13	fveq12d 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘))
18	13, 17	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥)) = (𝑘 · ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘)))
19		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 − 1) = (𝑘 − 1))
20	19	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑏↑(𝑥 − 1)) = (𝑏↑(𝑘 − 1)))
21	18, 20	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥)) · (𝑏↑(𝑥 − 1))) = ((𝑘 · ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
22	21	cbvmptv 5209	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑥 · ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥)) · (𝑏↑(𝑥 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
23	22	mpteq2i 5201	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑥 · ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥)) · (𝑏↑(𝑥 − 1))))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
24		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝐶C𝑐𝑥) = (𝐶C𝑐𝑗))
25	24	cbvmptv 5209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
26	25	fveq1i 6878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥)
27	26	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥)) = (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))
28	27	mpteq2i 5201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥)))
29	28	mpteq2i 5201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥)))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))
30	29	fveq1i 6878	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)
31		seqeq3 14129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟) → seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟))
33	32	eleq1i 2852	. . . . . . 7 ⊢ (seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ )
34	33	rabbii 3418	. . . . . 6 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }
35	34	supeq1i 9423	. . . . 5 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
36	35	oveq2i 7423	. . . 4 ⊢ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
37	36	imaeq2i 6052	. . 3 ⊢ (◡abs “ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))) = (◡abs “ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )))
38		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ (◡abs “ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 ∈ (◡abs “ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑏)‘𝑘))
39	1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 23, 37, 38	binomcxplemnotnn0 45299	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
40	5, 39	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651   “ cima 5654  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  supcsup 9416  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   − cmin 11522  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  ℝ⁺crp 13101  [,)cico 13459  seqcseq 14124  ↑cexp 14184  abscabs 15381   ⇝ cli 15631  Σcsu 15833  ↑_𝑐ccxp 26865  C_𝑐cbcc 45279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-shft 15200  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-prod 16053  df-risefac 16153  df-fallfac 16154  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216  df-tan 16217  df-pi 16218  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-lp 23434  df-perf 23435  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-haus 23613  df-cmp 23685  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179  df-limc 26166  df-dv 26167  df-ulm 26686  df-log 26866  df-cxp 26867  df-bcc 45280

This theorem is used by: (None)