Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem binomcxp 43692
Description: Generalize the binomial theorem binom 15782 to positive real summand ๐ด, real summand ๐ต, and complex exponent ๐ถ. Proof in https://en.wikibooks.org/wiki/Advanced_Calculus 15782; see also https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_series 15782, https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem 15782 (sections "Newton's generalized binomial theorem" and "Future generalizations"), and proof "General Binomial Theorem" in https://proofwiki.org/wiki/Binomial_Theorem 15782. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
binomcxp.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
binomcxp.lt (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ต) < (absโ€˜๐ด))
binomcxp.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
binomcxp (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ถC๐‘๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘๐‘(๐ถ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
Distinct variable groups:   ๐ถ,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜
Proof of Theorem binomcxp
Dummy variables ๐‘— ๐‘ ๐‘Ÿ ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxp.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
2 binomcxp.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 binomcxp.lt . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ต) < (absโ€˜๐ด))
4 binomcxp.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
51, 2, 3, 4binomcxplemnn0 43684 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ถC๐‘๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘๐‘(๐ถ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
6 eqid 2726 . . 3 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—)) = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))
7 fveq2 6885 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜))
8 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘ฅ) = (๐‘โ†‘๐‘˜))
97, 8oveq12d 7423 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ)) = (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘โ†‘๐‘˜)))
109cbvmptv 5254 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘โ†‘๐‘˜)))
1110mpteq2i 5246 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ)))) = (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘โ†‘๐‘˜))))
12 eqid 2726 . . 3 sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ) = sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < )
13 id 22 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘˜)
14 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐‘— โ†’ (๐ถC๐‘๐‘ฆ) = (๐ถC๐‘๐‘—))
1514cbvmptv 5254 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ)) = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ)) = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—)))
1716, 13fveq12d 6892 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜))
1813, 17oveq12d 7423 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ ยท ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ))โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘˜ ยท ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
19 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 1) = (๐‘˜ โˆ’ 1))
2019oveq2d 7421 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ฅ โˆ’ 1)) = (๐‘โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))
2118, 20oveq12d 7423 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ))โ€˜๐‘ฅ)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ฅ โˆ’ 1))) = ((๐‘˜ ยท ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))))
2221cbvmptv 5254 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ฅ ยท ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ))โ€˜๐‘ฅ)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ฅ โˆ’ 1)))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘˜ ยท ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))))
2322mpteq2i 5246 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ฅ ยท ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ))โ€˜๐‘ฅ)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ฅ โˆ’ 1))))) = (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘˜ ยท ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
24 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ (๐ถC๐‘๐‘ฅ) = (๐ถC๐‘๐‘—))
2524cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ)) = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))
2625fveq1i 6886 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ)
2726oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ)) = (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))
2827mpteq2i 5246 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ)))
2928mpteq2i 5246 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ)))) = (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))
3029fveq1i 6886 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ) = ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)
31 seqeq3 13977 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ) = ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ) โ†’ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) = seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) = seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ))
3332eleq1i 2818 . . . . . . 7 (seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ )
3433rabbii 3432 . . . . . 6 {๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ } = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }
3534supeq1i 9444 . . . . 5 sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ) = sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < )
3635oveq2i 7416 . . . 4 (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < )) = (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ))
3736imaeq2i 6051 . . 3 (โ—กabs โ€œ (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ))) = (โ—กabs โ€œ (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < )))
38 eqid 2726 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ—กabs โ€œ (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ))) โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) = (๐‘ โˆˆ (โ—กabs โ€œ (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ))) โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜))
391, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 23, 37, 38binomcxplemnotnn0 43691 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ถC๐‘๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘๐‘(๐ถ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
405, 39pm2.61dan 810 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ถC๐‘๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘๐‘(๐ถ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3426   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ—กccnv 5668  dom cdm 5669   โ€œ cima 5672  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  supcsup 9437  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„*cxr 11251   < clt 11252   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„+crp 12980  [,)cico 13332  seqcseq 13972  โ†‘cexp 14032  abscabs 15187   โ‡ cli 15434  ฮฃcsu 15638  โ†‘๐‘ccxp 26444  C๐‘cbcc 43671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-prod 15856  df-risefac 15956  df-fallfac 15957  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-tan 16021  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-ulm 26268  df-log 26445  df-cxp 26446  df-bcc 43672
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator