Theorem binomcxp 41975

Description: Generalize the binomial theorem binom 15542 to positive real summand 𝐴, real summand 𝐵, and complex exponent 𝐶. Proof in https://en.wikibooks.org/wiki/Advanced_Calculus 15542; see also https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_series 15542, https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem 15542 (sections "Newton's generalized binomial theorem" and "Future generalizations"), and proof "General Binomial Theorem" in https://proofwiki.org/wiki/Binomial_Theorem 15542. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
binomcxp	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem binomcxp

Dummy variables 𝑗 𝑏 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		binomcxp.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		binomcxp.lt	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
4		binomcxp.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	binomcxplemnn0 41967	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
7		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘))
8		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑏↑𝑥) = (𝑏↑𝑘))
9	7, 8	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥)) = (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
10	9	cbvmptv 5187	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
11	10	mpteq2i 5179	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥)))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
12		eqid 2738	. . 3 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
13		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝑥 = 𝑘)
14		oveq2 7283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → (𝐶C𝑐𝑦) = (𝐶C𝑐𝑗))
15	14	cbvmptv 5187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
17	16, 13	fveq12d 6781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘))
18	13, 17	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥)) = (𝑘 · ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘)))
19		oveq1 7282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 − 1) = (𝑘 − 1))
20	19	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑏↑(𝑥 − 1)) = (𝑏↑(𝑘 − 1)))
21	18, 20	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥)) · (𝑏↑(𝑥 − 1))) = ((𝑘 · ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
22	21	cbvmptv 5187	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑥 · ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥)) · (𝑏↑(𝑥 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
23	22	mpteq2i 5179	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑥 · ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥)) · (𝑏↑(𝑥 − 1))))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
24		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝐶C𝑐𝑥) = (𝐶C𝑐𝑗))
25	24	cbvmptv 5187	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
26	25	fveq1i 6775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥)
27	26	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥)) = (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))
28	27	mpteq2i 5179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥)))
29	28	mpteq2i 5179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥)))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))
30	29	fveq1i 6775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)
31		seqeq3 13726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟) → seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟))
33	32	eleq1i 2829	. . . . . . 7 ⊢ (seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ )
34	33	rabbii 3408	. . . . . 6 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }
35	34	supeq1i 9206	. . . . 5 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
36	35	oveq2i 7286	. . . 4 ⊢ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
37	36	imaeq2i 5967	. . 3 ⊢ (◡abs “ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))) = (◡abs “ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )))
38		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ (◡abs “ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 ∈ (◡abs “ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑏)‘𝑘))
39	1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 23, 37, 38	binomcxplemnotnn0 41974	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
40	5, 39	pm2.61dan 810	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589   “ cima 5592  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  supcsup 9199  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℝ⁺crp 12730  [,)cico 13081  seqcseq 13721  ↑cexp 13782  abscabs 14945   ⇝ cli 15193  Σcsu 15397  ↑_𝑐ccxp 25711  C_𝑐cbcc 41954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-prod 15616  df-risefac 15716  df-fallfac 15717  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-tan 15781  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-ulm 25536  df-log 25712  df-cxp 25713  df-bcc 41955

This theorem is referenced by: (None)