Theorem binomcxp 42285

Description: Generalize the binomial theorem binom 15633 to positive real summand 𝐴, real summand 𝐵, and complex exponent 𝐶. Proof in https://en.wikibooks.org/wiki/Advanced_Calculus 15633; see also https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_series 15633, https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem 15633 (sections "Newton's generalized binomial theorem" and "Future generalizations"), and proof "General Binomial Theorem" in https://proofwiki.org/wiki/Binomial_Theorem 15633. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
binomcxp	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem binomcxp

Dummy variables 𝑗 𝑏 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		binomcxp.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		binomcxp.lt	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
4		binomcxp.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	binomcxplemnn0 42277	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
6		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
7		fveq2 6819	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘))
8		oveq2 7337	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑏↑𝑥) = (𝑏↑𝑘))
9	7, 8	oveq12d 7347	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥)) = (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
10	9	cbvmptv 5202	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
11	10	mpteq2i 5194	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥)))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
12		eqid 2736	. . 3 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
13		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝑥 = 𝑘)
14		oveq2 7337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → (𝐶C𝑐𝑦) = (𝐶C𝑐𝑗))
15	14	cbvmptv 5202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
17	16, 13	fveq12d 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘))
18	13, 17	oveq12d 7347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥)) = (𝑘 · ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘)))
19		oveq1 7336	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 − 1) = (𝑘 − 1))
20	19	oveq2d 7345	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑏↑(𝑥 − 1)) = (𝑏↑(𝑘 − 1)))
21	18, 20	oveq12d 7347	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥)) · (𝑏↑(𝑥 − 1))) = ((𝑘 · ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
22	21	cbvmptv 5202	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑥 · ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥)) · (𝑏↑(𝑥 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
23	22	mpteq2i 5194	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑥 · ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥)) · (𝑏↑(𝑥 − 1))))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
24		oveq2 7337	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝐶C𝑐𝑥) = (𝐶C𝑐𝑗))
25	24	cbvmptv 5202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
26	25	fveq1i 6820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥)
27	26	oveq1i 7339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥)) = (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))
28	27	mpteq2i 5194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥)))
29	28	mpteq2i 5194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥)))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))
30	29	fveq1i 6820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)
31		seqeq3 13819	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟) → seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟))
33	32	eleq1i 2827	. . . . . . 7 ⊢ (seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ )
34	33	rabbii 3409	. . . . . 6 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }
35	34	supeq1i 9296	. . . . 5 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
36	35	oveq2i 7340	. . . 4 ⊢ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
37	36	imaeq2i 5991	. . 3 ⊢ (◡abs “ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))) = (◡abs “ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )))
38		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ (◡abs “ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 ∈ (◡abs “ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑏)‘𝑘))
39	1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 23, 37, 38	binomcxplemnotnn0 42284	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
40	5, 39	pm2.61dan 810	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3403   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5172  ^◡ccnv 5613  dom cdm 5614   “ cima 5617  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329  supcsup 9289  ℂcc 10962  ℝcr 10963  0cc0 10964  1c1 10965   + caddc 10967   · cmul 10969  ℝ^*cxr 11101   < clt 11102   − cmin 11298  ℕcn 12066  ℕ₀cn0 12326  ℝ⁺crp 12823  [,)cico 13174  seqcseq 13814  ↑cexp 13875  abscabs 15036   ⇝ cli 15284  Σcsu 15488  ↑_𝑐ccxp 25809  C_𝑐cbcc 42264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042  ax-addf 11043  ax-mulf 11044

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-2o 8360  df-er 8561  df-map 8680  df-pm 8681  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-fi 9260  df-sup 9291  df-inf 9292  df-oi 9359  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-q 12782  df-rp 12824  df-xneg 12941  df-xadd 12942  df-xmul 12943  df-ioo 13176  df-ioc 13177  df-ico 13178  df-icc 13179  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-fl 13605  df-mod 13683  df-seq 13815  df-exp 13876  df-fac 14081  df-bc 14110  df-hash 14138  df-shft 14869  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-limsup 15271  df-clim 15288  df-rlim 15289  df-sum 15489  df-prod 15707  df-risefac 15807  df-fallfac 15808  df-ef 15868  df-sin 15870  df-cos 15871  df-tan 15872  df-pi 15873  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-starv 17066  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-unif 17074  df-hom 17075  df-cco 17076  df-rest 17222  df-topn 17223  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-topgen 17243  df-pt 17244  df-prds 17247  df-xrs 17302  df-qtop 17307  df-imas 17308  df-xps 17310  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-submnd 18520  df-mulg 18789  df-cntz 19011  df-cmn 19475  df-psmet 20687  df-xmet 20688  df-met 20689  df-bl 20690  df-mopn 20691  df-fbas 20692  df-fg 20693  df-cnfld 20696  df-top 22141  df-topon 22158  df-topsp 22180  df-bases 22194  df-cld 22268  df-ntr 22269  df-cls 22270  df-nei 22347  df-lp 22385  df-perf 22386  df-cn 22476  df-cnp 22477  df-haus 22564  df-cmp 22636  df-tx 22811  df-hmeo 23004  df-fil 23095  df-fm 23187  df-flim 23188  df-flf 23189  df-xms 23571  df-ms 23572  df-tms 23573  df-cncf 24139  df-limc 25128  df-dv 25129  df-ulm 25634  df-log 25810  df-cxp 25811  df-bcc 42265

This theorem is referenced by: (None)