Theorem binomcxp 44389

Description: Generalize the binomial theorem binom 15734 to positive real summand 𝐴, real summand 𝐵, and complex exponent 𝐶. Proof in https://en.wikibooks.org/wiki/Advanced_Calculus 15734; see also https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_series 15734, https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem 15734 (sections "Newton's generalized binomial theorem" and "Future generalizations"), and proof "General Binomial Theorem" in https://proofwiki.org/wiki/Binomial_Theorem 15734. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
binomcxp	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem binomcxp

Dummy variables 𝑗 𝑏 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		binomcxp.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		binomcxp.lt	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
4		binomcxp.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	binomcxplemnn0 44381	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
6		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
7		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘))
8		oveq2 7354	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑏↑𝑥) = (𝑏↑𝑘))
9	7, 8	oveq12d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥)) = (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
10	9	cbvmptv 5195	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
11	10	mpteq2i 5187	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥)))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
12		eqid 2731	. . 3 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
13		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝑥 = 𝑘)
14		oveq2 7354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑗 → (𝐶C𝑐𝑦) = (𝐶C𝑐𝑗))
15	14	cbvmptv 5195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
17	16, 13	fveq12d 6829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘))
18	13, 17	oveq12d 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥)) = (𝑘 · ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘)))
19		oveq1 7353	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 − 1) = (𝑘 − 1))
20	19	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑏↑(𝑥 − 1)) = (𝑏↑(𝑘 − 1)))
21	18, 20	oveq12d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥)) · (𝑏↑(𝑥 − 1))) = ((𝑘 · ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
22	21	cbvmptv 5195	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑥 · ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥)) · (𝑏↑(𝑥 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
23	22	mpteq2i 5187	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑥 · ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥)) · (𝑏↑(𝑥 − 1))))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
24		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝐶C𝑐𝑥) = (𝐶C𝑐𝑗))
25	24	cbvmptv 5195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
26	25	fveq1i 6823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥)
27	26	oveq1i 7356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥)) = (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))
28	27	mpteq2i 5187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥)))
29	28	mpteq2i 5187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥)))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))
30	29	fveq1i 6823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)
31		seqeq3 13910	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟) → seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟))
33	32	eleq1i 2822	. . . . . . 7 ⊢ (seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ )
34	33	rabbii 3400	. . . . . 6 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }
35	34	supeq1i 9331	. . . . 5 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
36	35	oveq2i 7357	. . . 4 ⊢ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
37	36	imaeq2i 6007	. . 3 ⊢ (◡abs “ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))) = (◡abs “ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )))
38		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ (◡abs “ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 ∈ (◡abs “ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏↑𝑥))))‘𝑏)‘𝑘))
39	1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 23, 37, 38	binomcxplemnotnn0 44388	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
40	5, 39	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  ^◡ccnv 5615  dom cdm 5616   “ cima 5619  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  supcsup 9324  ℂcc 11001  ℝcr 11002  0cc0 11003  1c1 11004   + caddc 11006   · cmul 11008  ℝ^*cxr 11142   < clt 11143   − cmin 11341  ℕcn 12122  ℕ₀cn0 12378  ℝ⁺crp 12887  [,)cico 13244  seqcseq 13905  ↑cexp 13965  abscabs 15138   ⇝ cli 15388  Σcsu 15590  ↑_𝑐ccxp 26489  C_𝑐cbcc 44368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ioo 13246  df-ioc 13247  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-mod 13771  df-seq 13906  df-exp 13966  df-fac 14178  df-bc 14207  df-hash 14235  df-shft 14971  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-limsup 15375  df-clim 15392  df-rlim 15393  df-sum 15591  df-prod 15808  df-risefac 15910  df-fallfac 15911  df-ef 15971  df-sin 15973  df-cos 15974  df-tan 15975  df-pi 15976  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-pt 17345  df-prds 17348  df-xrs 17403  df-qtop 17408  df-imas 17409  df-xps 17411  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-mulg 18978  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-fbas 21286  df-fg 21287  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cld 22932  df-ntr 22933  df-cls 22934  df-nei 23011  df-lp 23049  df-perf 23050  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-haus 23228  df-cmp 23300  df-tx 23475  df-hmeo 23668  df-fil 23759  df-fm 23851  df-flim 23852  df-flf 23853  df-xms 24233  df-ms 24234  df-tms 24235  df-cncf 24796  df-limc 25792  df-dv 25793  df-ulm 26311  df-log 26490  df-cxp 26491  df-bcc 44369

This theorem is referenced by: (None)