Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem binomcxp 43116
Description: Generalize the binomial theorem binom 15776 to positive real summand ๐ด, real summand ๐ต, and complex exponent ๐ถ. Proof in https://en.wikibooks.org/wiki/Advanced_Calculus 15776; see also https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_series 15776, https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem 15776 (sections "Newton's generalized binomial theorem" and "Future generalizations"), and proof "General Binomial Theorem" in https://proofwiki.org/wiki/Binomial_Theorem 15776. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
binomcxp.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
binomcxp.lt (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ต) < (absโ€˜๐ด))
binomcxp.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
binomcxp (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ถC๐‘๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘๐‘(๐ถ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
Distinct variable groups:   ๐ถ,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜
Proof of Theorem binomcxp
Dummy variables ๐‘— ๐‘ ๐‘Ÿ ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxp.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
2 binomcxp.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 binomcxp.lt . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ต) < (absโ€˜๐ด))
4 binomcxp.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
51, 2, 3, 4binomcxplemnn0 43108 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ถC๐‘๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘๐‘(๐ถ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
6 eqid 2733 . . 3 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—)) = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))
7 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜))
8 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘ฅ) = (๐‘โ†‘๐‘˜))
97, 8oveq12d 7427 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ)) = (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘โ†‘๐‘˜)))
109cbvmptv 5262 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘โ†‘๐‘˜)))
1110mpteq2i 5254 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ)))) = (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘โ†‘๐‘˜))))
12 eqid 2733 . . 3 sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ) = sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < )
13 id 22 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘˜)
14 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐‘— โ†’ (๐ถC๐‘๐‘ฆ) = (๐ถC๐‘๐‘—))
1514cbvmptv 5262 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ)) = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ)) = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—)))
1716, 13fveq12d 6899 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜))
1813, 17oveq12d 7427 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ ยท ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ))โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘˜ ยท ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
19 oveq1 7416 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 1) = (๐‘˜ โˆ’ 1))
2019oveq2d 7425 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ฅ โˆ’ 1)) = (๐‘โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))
2118, 20oveq12d 7427 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ))โ€˜๐‘ฅ)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ฅ โˆ’ 1))) = ((๐‘˜ ยท ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))))
2221cbvmptv 5262 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ฅ ยท ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ))โ€˜๐‘ฅ)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ฅ โˆ’ 1)))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘˜ ยท ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))))
2322mpteq2i 5254 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ฅ ยท ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฆ))โ€˜๐‘ฅ)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ฅ โˆ’ 1))))) = (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘˜ ยท ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)) ยท (๐‘โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
24 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ (๐ถC๐‘๐‘ฅ) = (๐ถC๐‘๐‘—))
2524cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ)) = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))
2625fveq1i 6893 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ)
2726oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ)) = (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))
2827mpteq2i 5254 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ)))
2928mpteq2i 5254 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ)))) = (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))
3029fveq1i 6893 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ) = ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)
31 seqeq3 13971 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ) = ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ) โ†’ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) = seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) = seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ))
3332eleq1i 2825 . . . . . . 7 (seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ )
3433rabbii 3439 . . . . . 6 {๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ } = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }
3534supeq1i 9442 . . . . 5 sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ) = sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < )
3635oveq2i 7420 . . . 4 (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < )) = (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ))
3736imaeq2i 6058 . . 3 (โ—กabs โ€œ (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ))) = (โ—กabs โ€œ (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < )))
38 eqid 2733 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ—กabs โ€œ (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ))) โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) = (๐‘ โˆˆ (โ—กabs โ€œ (0[,)sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โˆฃ seq0( + , ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘Ÿ)) โˆˆ dom โ‡ }, โ„*, < ))) โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (((๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ†‘๐‘ฅ))))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜))
391, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 23, 37, 38binomcxplemnotnn0 43115 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ถC๐‘๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘๐‘(๐ถ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
405, 39pm2.61dan 812 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐ถC๐‘๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘๐‘(๐ถ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3433   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ—กccnv 5676  dom cdm 5677   โ€œ cima 5680  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  โ„*cxr 11247   < clt 11248   โˆ’ cmin 11444  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„+crp 12974  [,)cico 13326  seqcseq 13966  โ†‘cexp 14027  abscabs 15181   โ‡ cli 15428  ฮฃcsu 15632  โ†‘๐‘ccxp 26064  C๐‘cbcc 43095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-risefac 15950  df-fallfac 15951  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-ulm 25889  df-log 26065  df-cxp 26066  df-bcc 43096
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator