Theorem lply1binom 22263

Description: The binomial theorem for linear polynomials (monic polynomials of degree 1) over commutative rings: (𝑋 + 𝐴)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝑋↑𝑘)). (Contributed by AV, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cply1binom.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cply1binom.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cply1binom.a	⊢ + = (+g‘𝑃)
cply1binom.m	⊢ × = (.r‘𝑃)
cply1binom.t	⊢ · = (.g‘𝑃)
cply1binom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
cply1binom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
cply1binom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
lply1binom	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   × ,𝑘   · ,𝑘   ↑ ,𝑘   + ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem lply1binom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20215	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		cply1binom.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22199	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4		ringcmn 20252	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
5	1, 3, 4	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CMnd)
6	5	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
7		cply1binom.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
8		cply1binom.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9	7, 2, 8	vr1cl 22169	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	1, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
13		cply1binom.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑃)
14	8, 13	cmncom 19762	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ CMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑋))
15	6, 11, 12, 14	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑋))
16	15	oveq2d 7372	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝑋)))
17	2	ply1crng 22150	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
18	17	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CRing)
19		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	8	eleq2i 2827	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
21	20	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
22	21	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
23	10, 8	eleqtrdi 2845	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
24	23	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
25		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
26		cply1binom.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
27		cply1binom.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑃)
28		cply1binom.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
29		cply1binom.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
30	25, 26, 27, 13, 28, 29	crngbinom 20304	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝑋)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
31	18, 19, 22, 24, 30	syl22anc 839	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝑋)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
32	16, 31	eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5155  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  0cc0 11027   − cmin 11366  ℕ₀cn0 12426  ...cfz 13450  Ccbc 14253  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  ._rcmulr 17210   Σ_g cgsu 17392  ._gcmg 19032  CMndccmn 19744  mulGrpcmgp 20110  Ringcrg 20203  CRingccrg 20204  var₁cv1 22128  Poly₁cpl1 22129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-sup 9344  df-oi 9414  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-fac 14225  df-bc 14254  df-hash 14282  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-hom 17233  df-cco 17234  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-mulg 19033  df-subg 19088  df-ghm 19177  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-srg 20157  df-ring 20205  df-cring 20206  df-subrng 20512  df-subrg 20536  df-psr 21878  df-mvr 21879  df-mpl 21880  df-opsr 21882  df-psr1 22132  df-vr1 22133  df-ply1 22134

This theorem is referenced by:  lply1binomsc  22264