Theorem lply1binom 21227

Description: The binomial theorem for linear polynomials (monic polynomials of degree 1) over commutative rings: (𝑋 + 𝐴)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝑋↑𝑘)). (Contributed by AV, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cply1binom.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cply1binom.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cply1binom.a	⊢ + = (+g‘𝑃)
cply1binom.m	⊢ × = (.r‘𝑃)
cply1binom.t	⊢ · = (.g‘𝑃)
cply1binom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
cply1binom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
cply1binom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
lply1binom	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   × ,𝑘   · ,𝑘   ↑ ,𝑘   + ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem lply1binom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 19574	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		cply1binom.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 21169	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4		ringcmn 19599	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
5	1, 3, 4	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CMnd)
6	5	3ad2ant1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
7		cply1binom.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
8		cply1binom.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9	7, 2, 8	vr1cl 21138	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	1, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10	3ad2ant1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		simp3 1140	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
13		cply1binom.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑃)
14	8, 13	cmncom 19187	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ CMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑋))
15	6, 11, 12, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑋))
16	15	oveq2d 7229	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝑋)))
17	2	ply1crng 21119	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
18	17	3ad2ant1 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CRing)
19		simp2 1139	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	8	eleq2i 2829	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
21	20	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
22	21	3ad2ant3 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
23	10, 8	eleqtrdi 2848	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
24	23	3ad2ant1 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
25		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
26		cply1binom.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
27		cply1binom.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑃)
28		cply1binom.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
29		cply1binom.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
30	25, 26, 27, 13, 28, 29	crngbinom 19639	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝑋)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
31	18, 19, 22, 24, 30	syl22anc 839	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝑋)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
32	16, 31	eqtrd 2777	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ↦ cmpt 5135  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729   − cmin 11062  ℕ₀cn0 12090  ...cfz 13095  Ccbc 13868  Basecbs 16760  +_gcplusg 16802  ._rcmulr 16803   Σ_g cgsu 16945  ._gcmg 18488  CMndccmn 19170  mulGrpcmgp 19504  Ringcrg 19562  CRingccrg 19563  var₁cv1 21097  Poly₁cpl1 21098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-ofr 7470  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-tset 16821  df-ple 16822  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-srg 19521  df-ring 19564  df-cring 19565  df-subrg 19798  df-psr 20868  df-mvr 20869  df-mpl 20870  df-opsr 20872  df-psr1 21101  df-vr1 21102  df-ply1 21103

This theorem is referenced by:  lply1binomsc  21228