Theorem lply1binom 22204

Description: The binomial theorem for linear polynomials (monic polynomials of degree 1) over commutative rings: (𝑋 + 𝐴)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝑋↑𝑘)). (Contributed by AV, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cply1binom.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cply1binom.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cply1binom.a	⊢ + = (+g‘𝑃)
cply1binom.m	⊢ × = (.r‘𝑃)
cply1binom.t	⊢ · = (.g‘𝑃)
cply1binom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
cply1binom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
cply1binom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
lply1binom	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   × ,𝑘   · ,𝑘   ↑ ,𝑘   + ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem lply1binom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20161	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		cply1binom.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22139	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4		ringcmn 20198	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
5	1, 3, 4	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CMnd)
6	5	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
7		cply1binom.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
8		cply1binom.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9	7, 2, 8	vr1cl 22109	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	1, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
13		cply1binom.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑃)
14	8, 13	cmncom 19735	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ CMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑋))
15	6, 11, 12, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑋))
16	15	oveq2d 7406	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝑋)))
17	2	ply1crng 22090	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
18	17	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CRing)
19		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	8	eleq2i 2821	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
21	20	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
22	21	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
23	10, 8	eleqtrdi 2839	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
24	23	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
25		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
26		cply1binom.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
27		cply1binom.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑃)
28		cply1binom.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
29		cply1binom.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
30	25, 26, 27, 13, 28, 29	crngbinom 20251	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝑋)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
31	18, 19, 22, 24, 30	syl22anc 838	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝑋)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
32	16, 31	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075   − cmin 11412  ℕ₀cn0 12449  ...cfz 13475  Ccbc 14274  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228   Σ_g cgsu 17410  ._gcmg 19006  CMndccmn 19717  mulGrpcmgp 20056  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150  var₁cv1 22067  Poly₁cpl1 22068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-srg 20103  df-ring 20151  df-cring 20152  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-psr 21825  df-mvr 21826  df-mpl 21827  df-opsr 21829  df-psr1 22071  df-vr1 22072  df-ply1 22073

This theorem is referenced by:  lply1binomsc  22205