MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lply1binom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lply1binom 22330
Description: The binomial theorem for linear polynomials (monic polynomials of degree 1) over commutative rings: (𝑋 + 𝐴)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝑋𝑘)). (Contributed by AV, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cply1binom.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cply1binom.x 𝑋 = (var1𝑅)
cply1binom.a + = (+g𝑃)
cply1binom.m × = (.r𝑃)
cply1binom.t · = (.g𝑃)
cply1binom.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
cply1binom.e = (.g𝐺)
cply1binom.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
lply1binom ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑁 (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝑋))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   × ,𝑘   · ,𝑘   ,𝑘   + ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem lply1binom
StepHypRef Expression
1 crngring 20263 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 cply1binom.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 22265 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4 ringcmn 20296 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
51, 3, 43syl 18 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CMnd)
653ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
7 cply1binom.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝑅)
8 cply1binom.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
97, 2, 8vr1cl 22235 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
101, 9syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑋𝐵)
11103ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝑋𝐵)
12 simp3 1137 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
13 cply1binom.a . . . . 5 + = (+g𝑃)
148, 13cmncom 19831 . . . 4 ((𝑃 ∈ CMnd ∧ 𝑋𝐵𝐴𝐵) → (𝑋 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑋))
156, 11, 12, 14syl3anc 1370 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑋 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑋))
1615oveq2d 7447 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑁 (𝑋 + 𝐴)) = (𝑁 (𝐴 + 𝑋)))
172ply1crng 22216 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
18173ad2ant1 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝑃 ∈ CRing)
19 simp2 1136 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
208eleq2i 2831 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
2120biimpi 216 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
22213ad2ant3 1134 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
2310, 8eleqtrdi 2849 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
24233ad2ant1 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
25 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
26 cply1binom.m . . . 4 × = (.r𝑃)
27 cply1binom.t . . . 4 · = (.g𝑃)
28 cply1binom.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
29 cply1binom.e . . . 4 = (.g𝐺)
3025, 26, 27, 13, 28, 29crngbinom 20349 . . 3 (((𝑃 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑁 (𝐴 + 𝑋)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝑋))))))
3118, 19, 22, 24, 30syl22anc 839 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑁 (𝐴 + 𝑋)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝑋))))))
3216, 31eqtrd 2775 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑁 (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝑋))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  cmin 11490  0cn0 12524  ...cfz 13544  Ccbc 14338  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299   Σg cgsu 17487  .gcmg 19098  CMndccmn 19813  mulGrpcmgp 20152  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  var1cv1 22193  Poly1cpl1 22194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199
This theorem is referenced by:  lply1binomsc  22331
  Copyright terms: Public domain W3C validator