MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lply1binom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lply1binom 20393
Description: The binomial theorem for linear polynomials (monic polynomials of degree 1) over commutative rings: (𝑋 + 𝐴)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝑋𝑘)). (Contributed by AV, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cply1binom.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cply1binom.x 𝑋 = (var1𝑅)
cply1binom.a + = (+g𝑃)
cply1binom.m × = (.r𝑃)
cply1binom.t · = (.g𝑃)
cply1binom.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
cply1binom.e = (.g𝐺)
cply1binom.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
lply1binom ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑁 (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝑋))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   × ,𝑘   · ,𝑘   ,𝑘   + ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem lply1binom
StepHypRef Expression
1 crngring 19230 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 cply1binom.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 20335 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4 ringcmn 19253 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
51, 3, 43syl 18 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CMnd)
653ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
7 cply1binom.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝑅)
8 cply1binom.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
97, 2, 8vr1cl 20304 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
101, 9syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑋𝐵)
11103ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝑋𝐵)
12 simp3 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
13 cply1binom.a . . . . 5 + = (+g𝑃)
148, 13cmncom 18845 . . . 4 ((𝑃 ∈ CMnd ∧ 𝑋𝐵𝐴𝐵) → (𝑋 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑋))
156, 11, 12, 14syl3anc 1365 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑋 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑋))
1615oveq2d 7167 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑁 (𝑋 + 𝐴)) = (𝑁 (𝐴 + 𝑋)))
172ply1crng 20285 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
18173ad2ant1 1127 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝑃 ∈ CRing)
19 simp2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
208eleq2i 2908 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
2120biimpi 217 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
22213ad2ant3 1129 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
2310, 8syl6eleq 2927 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
24233ad2ant1 1127 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
25 eqid 2825 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
26 cply1binom.m . . . 4 × = (.r𝑃)
27 cply1binom.t . . . 4 · = (.g𝑃)
28 cply1binom.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
29 cply1binom.e . . . 4 = (.g𝐺)
3025, 26, 27, 13, 28, 29crngbinom 19293 . . 3 (((𝑃 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑁 (𝐴 + 𝑋)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝑋))))))
3118, 19, 22, 24, 30syl22anc 836 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑁 (𝐴 + 𝑋)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝑋))))))
3216, 31eqtrd 2860 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑁 (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝑋))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cmpt 5142  cfv 6351  (class class class)co 7151  0cc0 10529  cmin 10862  0cn0 11889  ...cfz 12885  Ccbc 13655  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558   Σg cgsu 16706  .gcmg 18156  CMndccmn 18828  mulGrpcmgp 19161  Ringcrg 19219  CRingccrg 19220  var1cv1 20263  Poly1cpl1 20264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-ofr 7403  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-fac 13627  df-bc 13656  df-hash 13684  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-ple 16577  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17946  df-submnd 17947  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-mulg 18157  df-subg 18208  df-ghm 18288  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-srg 19178  df-ring 19221  df-cring 19222  df-subrg 19455  df-psr 20057  df-mvr 20058  df-mpl 20059  df-opsr 20061  df-psr1 20267  df-vr1 20268  df-ply1 20269
This theorem is referenced by:  lply1binomsc  20394
  Copyright terms: Public domain W3C validator