MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lply1binom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lply1binom 21629
Description: The binomial theorem for linear polynomials (monic polynomials of degree 1) over commutative rings: (𝑋 + 𝐴)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝑋𝑘)). (Contributed by AV, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cply1binom.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cply1binom.x 𝑋 = (var1𝑅)
cply1binom.a + = (+g𝑃)
cply1binom.m × = (.r𝑃)
cply1binom.t · = (.g𝑃)
cply1binom.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
cply1binom.e = (.g𝐺)
cply1binom.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
lply1binom ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑁 (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝑋))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   × ,𝑘   · ,𝑘   ,𝑘   + ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem lply1binom
StepHypRef Expression
1 crngring 19930 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 cply1binom.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 21571 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4 ringcmn 19956 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
51, 3, 43syl 18 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CMnd)
653ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
7 cply1binom.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝑅)
8 cply1binom.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
97, 2, 8vr1cl 21540 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
101, 9syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑋𝐵)
11103ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝑋𝐵)
12 simp3 1139 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
13 cply1binom.a . . . . 5 + = (+g𝑃)
148, 13cmncom 19539 . . . 4 ((𝑃 ∈ CMnd ∧ 𝑋𝐵𝐴𝐵) → (𝑋 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑋))
156, 11, 12, 14syl3anc 1372 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑋 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑋))
1615oveq2d 7368 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑁 (𝑋 + 𝐴)) = (𝑁 (𝐴 + 𝑋)))
172ply1crng 21521 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
18173ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝑃 ∈ CRing)
19 simp2 1138 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
208eleq2i 2830 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
2120biimpi 215 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
22213ad2ant3 1136 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
2310, 8eleqtrdi 2849 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
24233ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
25 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
26 cply1binom.m . . . 4 × = (.r𝑃)
27 cply1binom.t . . . 4 · = (.g𝑃)
28 cply1binom.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
29 cply1binom.e . . . 4 = (.g𝐺)
3025, 26, 27, 13, 28, 29crngbinom 20000 . . 3 (((𝑃 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑁 (𝐴 + 𝑋)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝑋))))))
3118, 19, 22, 24, 30syl22anc 838 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑁 (𝐴 + 𝑋)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝑋))))))
3216, 31eqtrd 2778 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑁 (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝑋))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cmpt 5187  cfv 6494  (class class class)co 7352  0cc0 11010  cmin 11344  0cn0 12372  ...cfz 13379  Ccbc 14156  Basecbs 17043  +gcplusg 17093  .rcmulr 17094   Σg cgsu 17282  .gcmg 18831  CMndccmn 19521  mulGrpcmgp 19855  Ringcrg 19918  CRingccrg 19919  var1cv1 21499  Poly1cpl1 21500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-supp 8086  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8607  df-map 8726  df-pm 8727  df-ixp 8795  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-fsupp 9265  df-oi 9405  df-card 9834  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-4 12177  df-5 12178  df-6 12179  df-7 12180  df-8 12181  df-9 12182  df-n0 12373  df-z 12459  df-dec 12578  df-uz 12723  df-rp 12871  df-fz 13380  df-fzo 13523  df-seq 13862  df-fac 14128  df-bc 14157  df-hash 14185  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-tset 17112  df-ple 17113  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-mhm 18561  df-submnd 18562  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-mulg 18832  df-subg 18884  df-ghm 18965  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-srg 19877  df-ring 19920  df-cring 19921  df-subrg 20173  df-psr 21264  df-mvr 21265  df-mpl 21266  df-opsr 21268  df-psr1 21503  df-vr1 21504  df-ply1 21505
This theorem is referenced by:  lply1binomsc  21630
  Copyright terms: Public domain W3C validator