Theorem egt2lt3 16383

Description: Euler's constant e = 2.71828... is strictly bounded below by 2 and above by 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
egt2lt3	⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Proof of Theorem egt2lt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
3	1, 2	ege2le3 16265	. . . 4 ⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)
4	3	simpli 489	. . 3 ⊢ 2 ≤ e
5		eirr 16382	. . . . . 6 ⊢ e ∉ ℚ
6	5	neli 3063	. . . . 5 ⊢ ¬ e ∈ ℚ
7		nnq 13096	. . . . 5 ⊢ (e ∈ ℕ → e ∈ ℚ)
8	6, 7	mto 200	. . . 4 ⊢ ¬ e ∈ ℕ
9		2nn 12423	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
10		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ (e = 2 → (e ∈ ℕ ↔ 2 ∈ ℕ))
11	9, 10	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (e = 2 → e ∈ ℕ)
12	11	necon3bi 2981	. . . 4 ⊢ (¬ e ∈ ℕ → e ≠ 2)
13	8, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ e ≠ 2
14		2re 12424	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		ere 16264	. . . 4 ⊢ e ∈ ℝ
16	14, 15	ltleni 11435	. . 3 ⊢ (2 < e ↔ (2 ≤ e ∧ e ≠ 2))
17	4, 13, 16	mpbir2an 724	. 2 ⊢ 2 < e
18	3	simpri 491	. . 3 ⊢ e ≤ 3
19		3nn 12429	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
20		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ (3 = e → (3 ∈ ℕ ↔ e ∈ ℕ))
21	19, 20	mpbii 236	. . . . 5 ⊢ (3 = e → e ∈ ℕ)
22	21	necon3bi 2981	. . . 4 ⊢ (¬ e ∈ ℕ → 3 ≠ e)
23	8, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 3 ≠ e
24		3re 12430	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
25	15, 24	ltleni 11435	. . 3 ⊢ (e < 3 ↔ (e ≤ 3 ∧ 3 ≠ e))
26	18, 23, 25	mpbir2an 724	. 2 ⊢ e < 3
27	17, 26	pm3.2i 476	1 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  1c1 11208   · cmul 11212   < clt 11350   ≤ cle 11351   / cdiv 11980  ℕcn 12342  2c2 12404  3c3 12405  ℕ₀cn0 12613  ℚcq 13082  ↑cexp 14211  !cfa 14424  eceu 16237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-pm 8858  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-ico 13489  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-ef 16242  df-e 16243

This theorem is used by:  epos  16384  ene1  16387  cxploglim2  27315  harmonicbnd3  27344  bposlem7  27626  bposlem9  27628  chebbnd1lem2  27806  chebbnd1lem3  27807  chebbnd1  27808  dchrvmasumlema  27836  mulog2sumlem2  27871  pntpbnd1a  27921  pntpbnd2  27923  pntlemb  27933  pntlemk  27942  hgt750lem  35330  subfacval3  36072  aks4d1p1p7  43261  etransclem23  47403