MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  egt2lt3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem egt2lt3 16153
Description: Euler's constant e = 2.71828... is strictly bounded below by 2 and above by 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
egt2lt3 (2 < e โˆง e < 3)

Proof of Theorem egt2lt3
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))
2 eqid 2726 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (1 / (!โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (1 / (!โ€˜๐‘›)))
31, 2ege2le3 16037 . . . 4 (2 โ‰ค e โˆง e โ‰ค 3)
43simpli 483 . . 3 2 โ‰ค e
5 eirr 16152 . . . . . 6 e โˆ‰ โ„š
65neli 3042 . . . . 5 ยฌ e โˆˆ โ„š
7 nnq 12947 . . . . 5 (e โˆˆ โ„• โ†’ e โˆˆ โ„š)
86, 7mto 196 . . . 4 ยฌ e โˆˆ โ„•
9 2nn 12286 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„•
10 eleq1 2815 . . . . . 6 (e = 2 โ†’ (e โˆˆ โ„• โ†” 2 โˆˆ โ„•))
119, 10mpbiri 258 . . . . 5 (e = 2 โ†’ e โˆˆ โ„•)
1211necon3bi 2961 . . . 4 (ยฌ e โˆˆ โ„• โ†’ e โ‰  2)
138, 12ax-mp 5 . . 3 e โ‰  2
14 2re 12287 . . . 4 2 โˆˆ โ„
15 ere 16036 . . . 4 e โˆˆ โ„
1614, 15ltleni 11333 . . 3 (2 < e โ†” (2 โ‰ค e โˆง e โ‰  2))
174, 13, 16mpbir2an 708 . 2 2 < e
183simpri 485 . . 3 e โ‰ค 3
19 3nn 12292 . . . . . 6 3 โˆˆ โ„•
20 eleq1 2815 . . . . . 6 (3 = e โ†’ (3 โˆˆ โ„• โ†” e โˆˆ โ„•))
2119, 20mpbii 232 . . . . 5 (3 = e โ†’ e โˆˆ โ„•)
2221necon3bi 2961 . . . 4 (ยฌ e โˆˆ โ„• โ†’ 3 โ‰  e)
238, 22ax-mp 5 . . 3 3 โ‰  e
24 3re 12293 . . . 4 3 โˆˆ โ„
2515, 24ltleni 11333 . . 3 (e < 3 โ†” (e โ‰ค 3 โˆง 3 โ‰  e))
2618, 23, 25mpbir2an 708 . 2 e < 3
2717, 26pm3.2i 470 1 (2 < e โˆง e < 3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  1c1 11110   ยท cmul 11114   < clt 11249   โ‰ค cle 11250   / cdiv 11872  โ„•cn 12213  2c2 12268  3c3 12269  โ„•0cn0 12473  โ„šcq 12933  โ†‘cexp 14029  !cfa 14235  eceu 16009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-ico 13333  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-ef 16014  df-e 16015
This theorem is referenced by:  epos  16154  ene1  16157  cxploglim2  26861  harmonicbnd3  26890  bposlem7  27173  bposlem9  27175  chebbnd1lem2  27353  chebbnd1lem3  27354  chebbnd1  27355  dchrvmasumlema  27383  mulog2sumlem2  27418  pntpbnd1a  27468  pntpbnd2  27470  pntlemb  27480  pntlemk  27489  hgt750lem  34191  subfacval3  34707  aks4d1p1p7  41454  etransclem23  45527
  Copyright terms: Public domain W3C validator