![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > egt2lt3 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Euler's constant e = 2.71828... is strictly bounded below by 2 and above by 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
egt2lt3 | โข (2 < e โง e < 3) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqid 2726 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โฆ (2 ยท ((1 / 2)โ๐))) = (๐ โ โ โฆ (2 ยท ((1 / 2)โ๐))) | |
2 | eqid 2726 | . . . . 5 โข (๐ โ โ0 โฆ (1 / (!โ๐))) = (๐ โ โ0 โฆ (1 / (!โ๐))) | |
3 | 1, 2 | ege2le3 16037 | . . . 4 โข (2 โค e โง e โค 3) |
4 | 3 | simpli 483 | . . 3 โข 2 โค e |
5 | eirr 16152 | . . . . . 6 โข e โ โ | |
6 | 5 | neli 3042 | . . . . 5 โข ยฌ e โ โ |
7 | nnq 12947 | . . . . 5 โข (e โ โ โ e โ โ) | |
8 | 6, 7 | mto 196 | . . . 4 โข ยฌ e โ โ |
9 | 2nn 12286 | . . . . . 6 โข 2 โ โ | |
10 | eleq1 2815 | . . . . . 6 โข (e = 2 โ (e โ โ โ 2 โ โ)) | |
11 | 9, 10 | mpbiri 258 | . . . . 5 โข (e = 2 โ e โ โ) |
12 | 11 | necon3bi 2961 | . . . 4 โข (ยฌ e โ โ โ e โ 2) |
13 | 8, 12 | ax-mp 5 | . . 3 โข e โ 2 |
14 | 2re 12287 | . . . 4 โข 2 โ โ | |
15 | ere 16036 | . . . 4 โข e โ โ | |
16 | 14, 15 | ltleni 11333 | . . 3 โข (2 < e โ (2 โค e โง e โ 2)) |
17 | 4, 13, 16 | mpbir2an 708 | . 2 โข 2 < e |
18 | 3 | simpri 485 | . . 3 โข e โค 3 |
19 | 3nn 12292 | . . . . . 6 โข 3 โ โ | |
20 | eleq1 2815 | . . . . . 6 โข (3 = e โ (3 โ โ โ e โ โ)) | |
21 | 19, 20 | mpbii 232 | . . . . 5 โข (3 = e โ e โ โ) |
22 | 21 | necon3bi 2961 | . . . 4 โข (ยฌ e โ โ โ 3 โ e) |
23 | 8, 22 | ax-mp 5 | . . 3 โข 3 โ e |
24 | 3re 12293 | . . . 4 โข 3 โ โ | |
25 | 15, 24 | ltleni 11333 | . . 3 โข (e < 3 โ (e โค 3 โง 3 โ e)) |
26 | 18, 23, 25 | mpbir2an 708 | . 2 โข e < 3 |
27 | 17, 26 | pm3.2i 470 | 1 โข (2 < e โง e < 3) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2934 class class class wbr 5141 โฆ cmpt 5224 โcfv 6536 (class class class)co 7404 1c1 11110 ยท cmul 11114 < clt 11249 โค cle 11250 / cdiv 11872 โcn 12213 2c2 12268 3c3 12269 โ0cn0 12473 โcq 12933 โcexp 14029 !cfa 14235 eceu 16009 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-inf2 9635 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-isom 6545 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-1o 8464 df-er 8702 df-pm 8822 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-sup 9436 df-inf 9437 df-oi 9504 df-card 9933 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 df-nn 12214 df-2 12276 df-3 12277 df-4 12278 df-n0 12474 df-z 12560 df-uz 12824 df-q 12934 df-rp 12978 df-ico 13333 df-fz 13488 df-fzo 13631 df-fl 13760 df-seq 13970 df-exp 14030 df-fac 14236 df-bc 14265 df-hash 14293 df-shft 15017 df-cj 15049 df-re 15050 df-im 15051 df-sqrt 15185 df-abs 15186 df-limsup 15418 df-clim 15435 df-rlim 15436 df-sum 15636 df-ef 16014 df-e 16015 |
This theorem is referenced by: epos 16154 ene1 16157 cxploglim2 26861 harmonicbnd3 26890 bposlem7 27173 bposlem9 27175 chebbnd1lem2 27353 chebbnd1lem3 27354 chebbnd1 27355 dchrvmasumlema 27383 mulog2sumlem2 27418 pntpbnd1a 27468 pntpbnd2 27470 pntlemb 27480 pntlemk 27489 hgt750lem 34191 subfacval3 34707 aks4d1p1p7 41454 etransclem23 45527 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |