Theorem egt2lt3 16238

Description: Euler's constant e = 2.71828... is strictly bounded below by 2 and above by 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
egt2lt3	⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Proof of Theorem egt2lt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
3	1, 2	ege2le3 16120	. . . 4 ⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)
4	3	simpli 487	. . 3 ⊢ 2 ≤ e
5		eirr 16237	. . . . . 6 ⊢ e ∉ ℚ
6	5	neli 3063	. . . . 5 ⊢ ¬ e ∈ ℚ
7		nnq 12963	. . . . 5 ⊢ (e ∈ ℕ → e ∈ ℚ)
8	6, 7	mto 199	. . . 4 ⊢ ¬ e ∈ ℕ
9		2nn 12291	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
10		eleq1 2850	. . . . . 6 ⊢ (e = 2 → (e ∈ ℕ ↔ 2 ∈ ℕ))
11	9, 10	mpbiri 260	. . . . 5 ⊢ (e = 2 → e ∈ ℕ)
12	11	necon3bi 2983	. . . 4 ⊢ (¬ e ∈ ℕ → e ≠ 2)
13	8, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ e ≠ 2
14		2re 12292	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		ere 16119	. . . 4 ⊢ e ∈ ℝ
16	14, 15	ltleni 11301	. . 3 ⊢ (2 < e ↔ (2 ≤ e ∧ e ≠ 2))
17	4, 13, 16	mpbir2an 721	. 2 ⊢ 2 < e
18	3	simpri 489	. . 3 ⊢ e ≤ 3
19		3nn 12297	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
20		eleq1 2850	. . . . . 6 ⊢ (3 = e → (3 ∈ ℕ ↔ e ∈ ℕ))
21	19, 20	mpbii 235	. . . . 5 ⊢ (3 = e → e ∈ ℕ)
22	21	necon3bi 2983	. . . 4 ⊢ (¬ e ∈ ℕ → 3 ≠ e)
23	8, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 3 ≠ e
24		3re 12298	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
25	15, 24	ltleni 11301	. . 3 ⊢ (e < 3 ↔ (e ≤ 3 ∧ 3 ≠ e))
26	18, 23, 25	mpbir2an 721	. 2 ⊢ e < 3
27	17, 26	pm3.2i 474	1 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  1c1 11074   · cmul 11078   < clt 11216   ≤ cle 11217   / cdiv 11844  ℕcn 12210  2c2 12272  3c3 12273  ℕ₀cn0 12481  ℚcq 12949  ↑cexp 14074  !cfa 14286  eceu 16092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-ico 13355  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-ef 16097  df-e 16098

This theorem is referenced by:  epos  16239  ene1  16242  cxploglim2  27040  harmonicbnd3  27069  bposlem7  27351  bposlem9  27353  chebbnd1lem2  27531  chebbnd1lem3  27532  chebbnd1  27533  dchrvmasumlema  27561  mulog2sumlem2  27596  pntpbnd1a  27646  pntpbnd2  27648  pntlemb  27658  pntlemk  27667  hgt750lem  34942  subfacval3  35536  aks4d1p1p7  42688  etransclem23  46828