Theorem egt2lt3 16268

Description: Euler's constant e = 2.71828... is strictly bounded below by 2 and above by 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
egt2lt3	⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Proof of Theorem egt2lt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
3	1, 2	ege2le3 16150	. . . 4 ⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)
4	3	simpli 488	. . 3 ⊢ 2 ≤ e
5		eirr 16267	. . . . . 6 ⊢ e ∉ ℚ
6	5	neli 3065	. . . . 5 ⊢ ¬ e ∈ ℚ
7		nnq 12992	. . . . 5 ⊢ (e ∈ ℕ → e ∈ ℚ)
8	6, 7	mto 200	. . . 4 ⊢ ¬ e ∈ ℕ
9		2nn 12320	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
10		eleq1 2850	. . . . . 6 ⊢ (e = 2 → (e ∈ ℕ ↔ 2 ∈ ℕ))
11	9, 10	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (e = 2 → e ∈ ℕ)
12	11	necon3bi 2983	. . . 4 ⊢ (¬ e ∈ ℕ → e ≠ 2)
13	8, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ e ≠ 2
14		2re 12321	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		ere 16149	. . . 4 ⊢ e ∈ ℝ
16	14, 15	ltleni 11334	. . 3 ⊢ (2 < e ↔ (2 ≤ e ∧ e ≠ 2))
17	4, 13, 16	mpbir2an 723	. 2 ⊢ 2 < e
18	3	simpri 490	. . 3 ⊢ e ≤ 3
19		3nn 12326	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
20		eleq1 2850	. . . . . 6 ⊢ (3 = e → (3 ∈ ℕ ↔ e ∈ ℕ))
21	19, 20	mpbii 236	. . . . 5 ⊢ (3 = e → e ∈ ℕ)
22	21	necon3bi 2983	. . . 4 ⊢ (¬ e ∈ ℕ → 3 ≠ e)
23	8, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 3 ≠ e
24		3re 12327	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
25	15, 24	ltleni 11334	. . 3 ⊢ (e < 3 ↔ (e ≤ 3 ∧ 3 ≠ e))
26	18, 23, 25	mpbir2an 723	. 2 ⊢ e < 3
27	17, 26	pm3.2i 475	1 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  1c1 11107   · cmul 11111   < clt 11249   ≤ cle 11250   / cdiv 11877  ℕcn 12239  2c2 12301  3c3 12302  ℕ₀cn0 12510  ℚcq 12978  ↑cexp 14104  !cfa 14316  eceu 16122

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-ico 13384  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-bc 14346  df-hash 14374  df-shft 15111  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-limsup 15529  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-ef 16127  df-e 16128

This theorem is used by:  epos  16269  ene1  16272  cxploglim2  27154  harmonicbnd3  27183  bposlem7  27465  bposlem9  27467  chebbnd1lem2  27645  chebbnd1lem3  27646  chebbnd1  27647  dchrvmasumlema  27675  mulog2sumlem2  27710  pntpbnd1a  27760  pntpbnd2  27762  pntlemb  27772  pntlemk  27781  hgt750lem  35047  subfacval3  35689  aks4d1p1p7  42869  etransclem23  46999