Theorem egt2lt3 15270

Description: Euler's constant e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
egt2lt3	⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Proof of Theorem egt2lt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2799	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
2		eqid 2799	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
3	1, 2	ege2le3 15156	. . . 4 ⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)
4	3	simpli 477	. . 3 ⊢ 2 ≤ e
5		eirr 15269	. . . . . 6 ⊢ e ∉ ℚ
6	5	neli 3076	. . . . 5 ⊢ ¬ e ∈ ℚ
7		nnq 12046	. . . . 5 ⊢ (e ∈ ℕ → e ∈ ℚ)
8	6, 7	mto 189	. . . 4 ⊢ ¬ e ∈ ℕ
9		2nn 11386	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
10		eleq1 2866	. . . . . 6 ⊢ (e = 2 → (e ∈ ℕ ↔ 2 ∈ ℕ))
11	9, 10	mpbiri 250	. . . . 5 ⊢ (e = 2 → e ∈ ℕ)
12	11	necon3bi 2997	. . . 4 ⊢ (¬ e ∈ ℕ → e ≠ 2)
13	8, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ e ≠ 2
14		2re 11387	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		ere 15155	. . . 4 ⊢ e ∈ ℝ
16	14, 15	ltleni 10445	. . 3 ⊢ (2 < e ↔ (2 ≤ e ∧ e ≠ 2))
17	4, 13, 16	mpbir2an 703	. 2 ⊢ 2 < e
18	3	simpri 480	. . 3 ⊢ e ≤ 3
19		3nn 11392	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
20		eleq1 2866	. . . . . 6 ⊢ (3 = e → (3 ∈ ℕ ↔ e ∈ ℕ))
21	19, 20	mpbii 225	. . . . 5 ⊢ (3 = e → e ∈ ℕ)
22	21	necon3bi 2997	. . . 4 ⊢ (¬ e ∈ ℕ → 3 ≠ e)
23	8, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 3 ≠ e
24		3re 11393	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
25	15, 24	ltleni 10445	. . 3 ⊢ (e < 3 ↔ (e ≤ 3 ∧ 3 ≠ e))
26	18, 23, 25	mpbir2an 703	. 2 ⊢ e < 3
27	17, 26	pm3.2i 463	1 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971   class class class wbr 4843   ↦ cmpt 4922  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  1c1 10225   · cmul 10229   < clt 10363   ≤ cle 10364   / cdiv 10976  ℕcn 11312  2c2 11368  3c3 11369  ℕ₀cn0 11580  ℚcq 12033  ↑cexp 13114  !cfa 13313  eceu 15129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-ico 12430  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-fac 13314  df-bc 13343  df-hash 13371  df-shft 14148  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-limsup 14543  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-ef 15134  df-e 15135

This theorem is referenced by:  epos  15271  ene1  15274  logblog  24874  cxploglim2  25057  emgt0  25085  harmonicbnd3  25086  bposlem7  25367  bposlem9  25369  chebbnd1lem2  25511  chebbnd1lem3  25512  chebbnd1  25513  dchrvmasumlema  25541  mulog2sumlem2  25576  pntpbnd1a  25626  pntpbnd2  25628  pntlemb  25638  pntlemk  25647  hgt750lem  31249  subfacval3  31688  etransclem23  41217