Theorem egt2lt3 16115

Description: Euler's constant e = 2.71828... is strictly bounded below by 2 and above by 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
egt2lt3	⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Proof of Theorem egt2lt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
3	1, 2	ege2le3 15997	. . . 4 ⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)
4	3	simpli 483	. . 3 ⊢ 2 ≤ e
5		eirr 16114	. . . . . 6 ⊢ e ∉ ℚ
6	5	neli 3034	. . . . 5 ⊢ ¬ e ∈ ℚ
7		nnq 12860	. . . . 5 ⊢ (e ∈ ℕ → e ∈ ℚ)
8	6, 7	mto 197	. . . 4 ⊢ ¬ e ∈ ℕ
9		2nn 12198	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
10		eleq1 2819	. . . . . 6 ⊢ (e = 2 → (e ∈ ℕ ↔ 2 ∈ ℕ))
11	9, 10	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (e = 2 → e ∈ ℕ)
12	11	necon3bi 2954	. . . 4 ⊢ (¬ e ∈ ℕ → e ≠ 2)
13	8, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ e ≠ 2
14		2re 12199	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		ere 15996	. . . 4 ⊢ e ∈ ℝ
16	14, 15	ltleni 11231	. . 3 ⊢ (2 < e ↔ (2 ≤ e ∧ e ≠ 2))
17	4, 13, 16	mpbir2an 711	. 2 ⊢ 2 < e
18	3	simpri 485	. . 3 ⊢ e ≤ 3
19		3nn 12204	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
20		eleq1 2819	. . . . . 6 ⊢ (3 = e → (3 ∈ ℕ ↔ e ∈ ℕ))
21	19, 20	mpbii 233	. . . . 5 ⊢ (3 = e → e ∈ ℕ)
22	21	necon3bi 2954	. . . 4 ⊢ (¬ e ∈ ℕ → 3 ≠ e)
23	8, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 3 ≠ e
24		3re 12205	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
25	15, 24	ltleni 11231	. . 3 ⊢ (e < 3 ↔ (e ≤ 3 ∧ 3 ≠ e))
26	18, 23, 25	mpbir2an 711	. 2 ⊢ e < 3
27	17, 26	pm3.2i 470	1 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1c1 11007   · cmul 11011   < clt 11146   ≤ cle 11147   / cdiv 11774  ℕcn 12125  2c2 12180  3c3 12181  ℕ₀cn0 12381  ℚcq 12846  ↑cexp 13968  !cfa 14180  eceu 15969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-ico 13251  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-e 15975

This theorem is referenced by:  epos  16116  ene1  16119  cxploglim2  26916  harmonicbnd3  26945  bposlem7  27228  bposlem9  27230  chebbnd1lem2  27408  chebbnd1lem3  27409  chebbnd1  27410  dchrvmasumlema  27438  mulog2sumlem2  27473  pntpbnd1a  27523  pntpbnd2  27525  pntlemb  27535  pntlemk  27544  hgt750lem  34664  subfacval3  35233  aks4d1p1p7  42115  etransclem23  46303