Theorem egt2lt3 15553

Description: Euler's constant e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
egt2lt3	⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Proof of Theorem egt2lt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
2		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
3	1, 2	ege2le3 15437	. . . 4 ⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)
4	3	simpli 486	. . 3 ⊢ 2 ≤ e
5		eirr 15552	. . . . . 6 ⊢ e ∉ ℚ
6	5	neli 3125	. . . . 5 ⊢ ¬ e ∈ ℚ
7		nnq 12355	. . . . 5 ⊢ (e ∈ ℕ → e ∈ ℚ)
8	6, 7	mto 199	. . . 4 ⊢ ¬ e ∈ ℕ
9		2nn 11704	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
10		eleq1 2900	. . . . . 6 ⊢ (e = 2 → (e ∈ ℕ ↔ 2 ∈ ℕ))
11	9, 10	mpbiri 260	. . . . 5 ⊢ (e = 2 → e ∈ ℕ)
12	11	necon3bi 3042	. . . 4 ⊢ (¬ e ∈ ℕ → e ≠ 2)
13	8, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ e ≠ 2
14		2re 11705	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		ere 15436	. . . 4 ⊢ e ∈ ℝ
16	14, 15	ltleni 10752	. . 3 ⊢ (2 < e ↔ (2 ≤ e ∧ e ≠ 2))
17	4, 13, 16	mpbir2an 709	. 2 ⊢ 2 < e
18	3	simpri 488	. . 3 ⊢ e ≤ 3
19		3nn 11710	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
20		eleq1 2900	. . . . . 6 ⊢ (3 = e → (3 ∈ ℕ ↔ e ∈ ℕ))
21	19, 20	mpbii 235	. . . . 5 ⊢ (3 = e → e ∈ ℕ)
22	21	necon3bi 3042	. . . 4 ⊢ (¬ e ∈ ℕ → 3 ≠ e)
23	8, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 3 ≠ e
24		3re 11711	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
25	15, 24	ltleni 10752	. . 3 ⊢ (e < 3 ↔ (e ≤ 3 ∧ 3 ≠ e))
26	18, 23, 25	mpbir2an 709	. 2 ⊢ e < 3
27	17, 26	pm3.2i 473	1 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  1c1 10532   · cmul 10536   < clt 10669   ≤ cle 10670   / cdiv 11291  ℕcn 11632  2c2 11686  3c3 11687  ℕ₀cn0 11891  ℚcq 12342  ↑cexp 13423  !cfa 13627  eceu 15410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-ico 12738  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-e 15416

This theorem is referenced by:  epos  15554  ene1  15557  cxploglim2  25550  harmonicbnd3  25579  bposlem7  25860  bposlem9  25862  chebbnd1lem2  26040  chebbnd1lem3  26041  chebbnd1  26042  dchrvmasumlema  26070  mulog2sumlem2  26105  pntpbnd1a  26155  pntpbnd2  26157  pntlemb  26167  pntlemk  26176  hgt750lem  31917  subfacval3  32431  etransclem23  42536