Theorem egt2lt3 16164

Description: Euler's constant e = 2.71828... is strictly bounded below by 2 and above by 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
egt2lt3	⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Proof of Theorem egt2lt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
2		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
3	1, 2	ege2le3 16046	. . . 4 ⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)
4	3	simpli 484	. . 3 ⊢ 2 ≤ e
5		eirr 16163	. . . . . 6 ⊢ e ∉ ℚ
6	5	neli 3040	. . . . 5 ⊢ ¬ e ∈ ℚ
7		nnq 12903	. . . . 5 ⊢ (e ∈ ℕ → e ∈ ℚ)
8	6, 7	mto 198	. . . 4 ⊢ ¬ e ∈ ℕ
9		2nn 12245	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
10		eleq1 2827	. . . . . 6 ⊢ (e = 2 → (e ∈ ℕ ↔ 2 ∈ ℕ))
11	9, 10	mpbiri 259	. . . . 5 ⊢ (e = 2 → e ∈ ℕ)
12	11	necon3bi 2960	. . . 4 ⊢ (¬ e ∈ ℕ → e ≠ 2)
13	8, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ e ≠ 2
14		2re 12246	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		ere 16045	. . . 4 ⊢ e ∈ ℝ
16	14, 15	ltleni 11255	. . 3 ⊢ (2 < e ↔ (2 ≤ e ∧ e ≠ 2))
17	4, 13, 16	mpbir2an 717	. 2 ⊢ 2 < e
18	3	simpri 486	. . 3 ⊢ e ≤ 3
19		3nn 12251	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
20		eleq1 2827	. . . . . 6 ⊢ (3 = e → (3 ∈ ℕ ↔ e ∈ ℕ))
21	19, 20	mpbii 234	. . . . 5 ⊢ (3 = e → e ∈ ℕ)
22	21	necon3bi 2960	. . . 4 ⊢ (¬ e ∈ ℕ → 3 ≠ e)
23	8, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 3 ≠ e
24		3re 12252	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
25	15, 24	ltleni 11255	. . 3 ⊢ (e < 3 ↔ (e ≤ 3 ∧ 3 ≠ e))
26	18, 23, 25	mpbir2an 717	. 2 ⊢ e < 3
27	17, 26	pm3.2i 471	1 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1c1 11030   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  3c3 12228  ℕ₀cn0 12428  ℚcq 12889  ↑cexp 14014  !cfa 14226  eceu 16018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-ico 13295  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-e 16024

This theorem is referenced by:  epos  16165  ene1  16168  cxploglim2  26960  harmonicbnd3  26989  bposlem7  27271  bposlem9  27273  chebbnd1lem2  27451  chebbnd1lem3  27452  chebbnd1  27453  dchrvmasumlema  27481  mulog2sumlem2  27516  pntpbnd1a  27566  pntpbnd2  27568  pntlemb  27578  pntlemk  27587  hgt750lem  34835  subfacval3  35417  aks4d1p1p7  42559  etransclem23  46700