MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmqusnsglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ghmqusnsglem2 19300
Description: Lemma for ghmqusnsg 19301. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmqusnsg.0 0 = (0g𝐻)
ghmqusnsg.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
ghmqusnsg.k 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
ghmqusnsg.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
ghmqusnsg.j 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞))
ghmqusnsg.n (𝜑𝑁𝐾)
ghmqusnsg.1 (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
ghmqusnsglem2.y (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑄))
Assertion
Ref Expression
ghmqusnsglem2 (𝜑 → ∃𝑥𝑌 (𝐽𝑌) = (𝐹𝑥))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞,𝑥   𝐾,𝑞,𝑥   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝜑,𝑞,𝑥   𝑥,𝑁   𝑌,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑞)   𝐽(𝑥,𝑞)   0 (𝑥,𝑞)

Proof of Theorem ghmqusnsglem2
StepHypRef Expression
1 ghmqusnsglem2.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑄))
2 ghmqusnsg.q . . . . . 6 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁)))
4 eqidd 2737 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5 ovexd 7467 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V)
6 ghmqusnsg.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
7 ghmgrp1 19237 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
93, 4, 5, 8qusbas 17591 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁)) = (Base‘𝑄))
101, 9eleqtrrd 2843 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁)))
11 elqsg 8809 . . . 4 (𝑌 ∈ (Base‘𝑄) → (𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)))
1211biimpa 476 . . 3 ((𝑌 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
131, 10, 12syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
14 ghmqusnsg.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
15 nsgsubg 19177 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
16 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
17 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
1816, 17eqger 19197 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺))
1914, 15, 183syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺))
2019ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺))
21 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
22 ecref 8791 . . . . . . 7 (((𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
2320, 21, 22syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑥 ∈ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
24 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
2523, 24eleqtrrd 2843 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑥𝑌)
2624fveq2d 6909 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐽𝑌) = (𝐽‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)))
27 ghmqusnsg.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝐻)
286ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
29 ghmqusnsg.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
30 ghmqusnsg.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞))
31 ghmqusnsg.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝐾)
3231ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑁𝐾)
3314ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
3427, 28, 29, 2, 30, 32, 33, 21ghmqusnsglem1 19299 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐽‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐹𝑥))
3526, 34eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐽𝑌) = (𝐹𝑥))
3625, 35jca 511 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝑥𝑌 ∧ (𝐽𝑌) = (𝐹𝑥)))
3736expl 457 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝑥𝑌 ∧ (𝐽𝑌) = (𝐹𝑥))))
3837reximdv2 3163 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) → ∃𝑥𝑌 (𝐽𝑌) = (𝐹𝑥)))
3913, 38mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑌 (𝐽𝑌) = (𝐹𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wrex 3069  Vcvv 3479  wss 3950  {csn 4625   cuni 4906  cmpt 5224  ccnv 5683  cima 5687  cfv 6560  (class class class)co 7432   Er wer 8743  [cec 8744   / cqs 8745  Basecbs 17248  0gc0g 17485   /s cqus 17551  Grpcgrp 18952  SubGrpcsubg 19139  NrmSGrpcnsg 19140   ~QG cqg 19141   GrpHom cghm 19231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17487  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-subg 19142  df-nsg 19143  df-eqg 19144  df-ghm 19232
This theorem is referenced by:  ghmqusnsg  19301  rhmqusnsg  21296
  Copyright terms: Public domain W3C validator