Theorem ghmqusnsglem2 19355

Description: Lemma for ghmqusnsg 19356. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmqusnsg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
ghmqusnsg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
ghmqusnsg.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
ghmqusnsg.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
ghmqusnsg.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
ghmqusnsg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ 𝐾)
ghmqusnsg.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
ghmqusnsglem2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑄))

Assertion

Ref	Expression
ghmqusnsglem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑌 (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞,𝑥   𝐾,𝑞,𝑥   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝜑,𝑞,𝑥   𝑥,𝑁   𝑌,𝑞,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥, 𝑞)   𝐽(𝑥, 𝑞)   0 (𝑥, 𝑞)

Proof of Theorem ghmqusnsglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmqusnsglem2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑄))
2		ghmqusnsg.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁)))
4		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5		ovexd 7445	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V)
6		ghmqusnsg.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
7		ghmgrp1 19292	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9	3, 4, 5, 8	qusbas 17603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁)) = (Base‘𝑄))
10	1, 9	eleqtrrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁)))
11		elqsg 8757	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (Base‘𝑄) → (𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)))
12	11	biimpa 481	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
13	1, 10, 12	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
14		ghmqusnsg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
15		nsgsubg 19228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
16		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
17		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
18	16, 17	eqger 19250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺))
19	14, 15, 18	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺))
20	19	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺))
21		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
22		ecref 8736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
23	20, 21, 22	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑥 ∈ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
24		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
25	23, 24	eleqtrrd 2866	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
26	24	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐽‘𝑌) = (𝐽‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)))
27		ghmqusnsg.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
28	6	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
29		ghmqusnsg.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
30		ghmqusnsg.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
31		ghmqusnsg.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ 𝐾)
32	31	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑁 ⊆ 𝐾)
33	14	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
34	27, 28, 29, 2, 30, 32, 33, 21	ghmqusnsglem1 19354	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐽‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐹‘𝑥))
35	26, 34	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥))
36	25, 35	jca 520	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥)))
37	36	expl 462	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥))))
38	37	reximdv2 3175	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) → ∃𝑥 ∈ 𝑌 (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥)))
39	13, 38	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑌 (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ∪ cuni 4872   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5660   “ cima 5664  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   Er wer 8687  [cec 8688   / cqs 8689  Basecbs 17273  0_gc0g 17496   /_s cqus 17563  Grpcgrp 19004  SubGrpcsubg 19190  NrmSGrpcnsg 19191   ~_QG cqg 19192   GrpHom cghm 19287

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-0g 17498  df-imas 17566  df-qus 17567  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-subg 19193  df-nsg 19194  df-eqg 19195  df-ghm 19288

This theorem is used by:  ghmqusnsg  19356  rhmqusnsg  21434