Theorem ghmqusnsglem2 19522

Description: Lemma for ghmqusnsg 19523. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmqusnsg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
ghmqusnsg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
ghmqusnsg.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
ghmqusnsg.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
ghmqusnsg.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
ghmqusnsg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ 𝐾)
ghmqusnsg.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
ghmqusnsglem2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑄))

Assertion

Ref	Expression
ghmqusnsglem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑌 (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞,𝑥   𝐾,𝑞,𝑥   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝜑,𝑞,𝑥   𝑥,𝑁   𝑌,𝑞,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥, 𝑞)   𝐽(𝑥, 𝑞)   0 (𝑥, 𝑞)

Proof of Theorem ghmqusnsglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmqusnsglem2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑄))
2		ghmqusnsg.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁)))
4		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5		ovexd 7475	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V)
6		ghmqusnsg.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
7		ghmgrp1 19458	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9	3, 4, 5, 8	qusbas 17743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁)) = (Base‘𝑄))
10	1, 9	eleqtrrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁)))
11		elqsg 8809	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (Base‘𝑄) → (𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)))
12	11	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
13	1, 10, 12	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
14		ghmqusnsg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
15		nsgsubg 19394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
16		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
17		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
18	16, 17	eqger 19416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺))
19	14, 15, 18	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺))
20	19	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺))
21		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
22		ecref 8788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ~QG 𝑁) Er (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
23	20, 21, 22	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑥 ∈ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
24		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
25	23, 24	eleqtrrd 2867	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
26	24	fveq2d 6909	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐽‘𝑌) = (𝐽‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)))
27		ghmqusnsg.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
28	6	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
29		ghmqusnsg.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
30		ghmqusnsg.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
31		ghmqusnsg.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ 𝐾)
32	31	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑁 ⊆ 𝐾)
33	14	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
34	27, 28, 29, 2, 30, 32, 33, 21	ghmqusnsglem1 19521	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐽‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐹‘𝑥))
35	26, 34	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥))
36	25, 35	jca 521	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥)))
37	36	expl 463	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) → (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥))))
38	37	reximdv2 3176	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) → ∃𝑥 ∈ 𝑌 (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥)))
39	13, 38	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑌 (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ∪ cuni 4870   ↦ cmpt 5189  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   Er wer 8739  [cec 8740   / cqs 8741  Basecbs 17413  0_gc0g 17636   /_s cqus 17703  Grpcgrp 19170  SubGrpcsubg 19356  NrmSGrpcnsg 19357   ~_QG cqg 19358   GrpHom cghm 19453

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-ec 8744  df-qs 8748  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-0g 17638  df-imas 17706  df-qus 17707  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-subg 19359  df-nsg 19360  df-eqg 19361  df-ghm 19454

This theorem is used by:  ghmqusnsg  19523  rhmqusnsg  21608